备考信息导航演练（五）-【衡水真题密卷】2026年高考数学备考信息导航演练（B版 低难度）

2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Ny=√6-2x},则A的子集个数为 A.2 B.4 C.8 D.16 2.在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则 A-A成+吉Ad B旺-}a+ad c酥a-ad n床A-ad 3.设m>0m>0,2m+-1,则n+品的最小值为 A.7 B.8 C.9 D.10 4.已知函数f(x)= -x2-2a.x-a,x<1, e-1+lnx+7,x≥1 在R上单调递增，则a的取值范围是 A.[3,+∞) B.[-3,-1] C.(-∞，-1] D.[-3,-1) 5.在(x+y)(x一y)5的展开式中，x3y3的系数为 A.-10 B.0 C.10 D.20 6.已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经 过椭圆的另一焦点.设椭圆C:十2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,从F 发出的光线，经C上的点A反射后，反射光线再经C上的点B反射.若经过这两次反射 后，AF:lBF:,且os∠ABF,=,则C的离心率为 图 c. √5 D.5 7.若函数f(x)= 2x3-6x+3,x≤0， 则g(x)=2[f(x)]2-13f(x)+21的零点个数为 l3e,x>0, A.2 B.3 C.4 D.5 数学试题（五）第1页（共4页） 备考信息 8.在等比数列{an}中，a1十a2=2十4√2，a2十a3=16十4√2，若不等式log2a1-log2a2 班级 十log2a3-log2a4十…十(-1)+11og2am>19成立，则n的最小值为 A.24 B.25 C.26 D.27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 姓名 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f)=sinr+)十co>0)的最小值为-尽，且过点(-于，-》 π 得分 其部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移厂个单位长度得函数g(x)的图象，则 6 A了女)的最小正周期为 Bf(g）=0 C.g-)为偶函数 D.g(x)为奇函数 10.已知F1,F2分别是双曲线C:x2一y2=2的左、右焦点，点M是圆A:(x一2)2+ (y一3)2=1上的动点，则下列说法正确的是 A.△AF1F2的周长是10 B.若焦点在y轴上的双曲线E与C有相同的渐近线，且E的焦距为4，则E的方程为 y2-x2=4 1QE+QP三6，则点Q的轨迹方程是。十 1y2 D.若点P是C右支上的动点，则PF2+PM的最小值是2 11.如图，球O的半径为R,A,B,C为球面上三点，劣弧BC的长度为a,设O。表示以O 为圆心，且过B,C的圆，同理，圆O6,O.的劣弧AC,AB的长度分别记为b,c,曲面 ABC(阴影部分)叫做曲面三角形，若a=b=c,则称其为曲面等边三角形，线段OA, OB,OC与曲面三角形ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC.设 ∠BOC=a,∠AOC=3,∠AOB=Y,则下列结论正确的是 A B A.若半面三角形AC是商积为R:的等边三介形，则a=b-(R B.若a2+32=y2,则a2+b2=c2 C.若平面三角形ABC为直角三角形，且∠ACB=?,则cosa十c0s月-cosY为常数 D.若a=h=C孕R,则球面OABC的体积V满足RY<令 R 导航演练 数学试题（五）第2页（共4页） B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若i=4一7i,则之的虚部是 18若数，)=g。一年写)足奇面数则实数 14.在△ABC中， sin Asin Bsin C的最小值为 2sin2A+sin Bsin C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3a=2c,csin B= 3√7 bcos C. (1)求c0sC; (2)设c=6,求AB边上的高. 16.(15分)如图，在圆柱O1O2中，AB是底面圆O2上的一条直径，PQ是圆柱的一条母 线，AB=2PQ,且点P不与A,B两点重合. 0 0 02. - (1)证明：平面APQ⊥平面BPQ. (2)若平面AO1O2与平面PO1O2的夹角为60°，求直线BQ与平面PQO1所成角的正 弦值 17.(15分)如图，已知抛物线C:x2=2py(p>0)过点(-4,2)，直线1经过C的焦点F,且 l与C在第一象限的交点为A.以F为圆心，FA为半径的圆与y轴负半轴交于点B. (1)求C的方程； (2)若坐标原点O到1的距离为√2，求1的方程； (3)试判断直线AB与C的位置关系，并说明理由. B 数学试题（五）第3页（共4页）】 备考信息导 18.(17分)蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收 集到一只蝗虫的产卵数y(单位：个)和温度x(单位：℃)的8组观测数据，制成图1所 示的散点图.现用两种模型：①y=ex+a,②y=cx2十d分别进行拟合，由此得到相应的 回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 个产卵数个 残差/个 140 ● 30 120H 1004 80 0 60 =10 情0点右衣0234温度/℃ 0 40H 20 ● -20 。是电g -30 0182022242628303234温度x/℃ ◆模型①0-模型② 图1产卵数散点图 图2两种模型的残差图 整理收集到的数据，得到下表： (x,-x) = 含a,-0 含，-80- 含yu-0 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中之：=lny2= 81 81 (1)根据残差图，模型 (填“①”或“②”)的拟合效果更好，说明理由.根据所选 择的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程。 (2)据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要 人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到30℃以上的概 率为p(0<p<1),该地今后n(n≥3，n∈N*)年内恰好需要2次人工防治的概率为 f(p). ①求f(p)取得最大值时对应的概率p。; ②当f(p)取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为X,求X的均值和 方差 附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线=u十a的斜率和 2(u:-u)(u:-0) 截距的最小二乘估计分别为B= ,a=v-Bu. (u:-u)2 =1 19.(17分)已知函数f(x)=ax+1n(x+1),x>-1. (1)讨论f(x)的单调性. (2)若不等式f(x)≤0在x∈（一1，十∞）上恒成立，求实数a的取值范围. (3)当a=1时，定义数列{bn}满足：b1=1,bn=f(bm+1),n∈N*. )证明：Vn∈Nb,-2>2 《)结合(1)的结论，证明：VnN,2b,<2w,. 航演练 数学试题（五）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（五）】 一、选择题 6.D【解折】因为AF:上BF:cOs∠ABF:=号，所 1.D【解析】由于集合A={x∈Ny=√6-2x〉= {x∈N6-2x≥0}={x∈Nx≤3}={0,1,2,3}， |BF2|4 以AB=5,设|BF:=4m,则AB=5m, 所以A的子集个数为24=16. AF2|=3m, 2.C【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所 以AB=DC,AD=BC,所以EF=E+CF= 2D+成-号-3Ad, 3.C【折】尚运环n品-(a一)ea+》 5+2m+25+2,/2m·2 因为|AB+|BF2|+AF2|=4a,所以12m= =9, mn m 2 a,所以m=a,所以F=AB到=月， 2mn=- 1 mn m=3'时取等号，故n |AF2|=a,又因为|AF1|+AF2|=2a,所以 当且仅当 即 7-1,m=3 1 2m+ 1A,=a,周为ea∠ABf,=号所以m∠BAF 2的最小值为9. 5,所以cos∠BAF=3,S 5’a =sin∠OAF2= 4.B【解析】当x≥1时，f(x)=e-1十lnx+7,显 /I-cos∠BAF2_W5 然为增函数；当x<1时，f(x)=-x2-2ax一a, 3/ 2 ，所以C的离心率为 为开口向下的二次函数，对称轴为x=一a≥1，即 7.D【解析】令g(x)=0,则2[f(x)]-13f(x)+ a≤-1； 21=0,即[2f(x)-7]f(x)-3]=0,解得f(x) 当x=1时，e°+ln1+7≥-1-2a-a,即9≥ 7 =2或f(x)=3. -3a,解得a≥-3，故a的取值范围是[-3，-1]. 当x≤0时，f(x)=2x3-6x十3，求导得f'(x)= 5.B【解析】由题意得，(x十y)(x一y)=x·(x一y) 6x2-6,令f'(x)=0,即6x2-6=0,解得x=-1, 十y·(x一y)5,又(x-y)5的通项T,+1=Cx5-· 故当x<-1时，f'(x)>0,当-1<x<0时， (-y)r=(-1)Cx5-「y,r=0,1,2,3,4,5,所以 f'(x)<0,所以f(x)在（一∞，-1）上单调递增， x·(x一y)的通项为（一1）rCx-ry,要得到 在(-1,0)上单调递减，且f(-1)=-2+6+3= x3y3,需满足 6-r=3, 即r=3,代入得系数 7,f(0)=3; x=3, 当x>0时，f(x)=3e在(0，十o∞)上单调递增， 为(-1)3C%=-10; 又y·(x一y)5的通项为(-1)Cx5-'y+1,要得 且fc)>f0)-3-3,所以于)-号有3个 到1 解，f(x)=3有2个解，所以g(x)的零点个数为5. 即r=2,代入得系数 8.D【解析】设{an}的公比为q,由a1十a2=2十4√2， 为(-1)2C=10,两部分系数相加为-10+10= 0,因此，x3y3的系数为0. a:十a:=16+42,得g=a:十a=16+42 a1+a22+4√2 数学答案（五）第1页（共5页） B 2026 备考信息导航演练（五） 2W2,a1=2,则a.=2X(22)”-1=2号.令b.= 以g一)为锅函教，故CD正确. （-》6gaa=(-1n2记S.=lga 10.CD【解析】对于A,由题意得圆心A(2,3), -log2a2十l0g2a3-log2a4十…十(-1)+log2am, F1(-2,0),F2(2,0),则F1F2=4,AF1= 当n为偶教时，b.1十b.3(n-1）=1_3m-1 √/(-2-2)2+(0-3)7=5， 2 2 |AF2=√(2-2)2十(3-0)=3，所以△AF1F2 光时S,=2×受>10无压整其解： 、3 的周长为4十3十5=12，故A错误； 对于B,C的渐近线方程为y=士x,所以设E的 当n为大于2的奇数时，，1十6.=-30m-1)-1 2 方程为y 的。一=1，因为E的焦距为4，所以2c +3n-1_3 2=2,由S.=b1+(b:+b)+(b,+)十 =4,解得c=2,所以4=a2十a2,解得a2=2,所 …+6,1+b)=1+)×2>19,解得n>25, 以E的方程为)-)三1，即y2一x2=2,故B 2 错误； 又n为奇数，所以n的最小值为27. 对于C,因为|QF1|+QF2|=6>|F1F2|=4, 二、选择题 所以Q的轨迹为以F1,F?为焦点的椭圆，所以 9.BCD【解析】fx)=sin(ax十) acos wx 长轴2a1=6,即a1=3,焦距2c1=4,即c1=2,又 2 sin wx+ 1 6i=ai-c=9-4=5,所以Q的轨连方煜是写 2 又f(x)最小值为一√3，则 3 十5=1，故C正确； 2 +(3+a) 对于D,因为P是C右支上的动点，所以PF2|十 √5，故a2+a+1=-3,即a2+a-2=(a+2)(a |PM≥|PF2|+PA|-1≥AF2|-1=3-1 1 =2,故D正确. 1)=0,解得a=-2或a=1,由图知f(0)= 11.BCD【解析】对于A,因为等边三角形ABC的 1 a<0,故a<-2,故a=-2, 面积为 R,所以AB=BC=AC=R,又因为 5 所以(x)=mor一 3 0A=0B=0C=R,所以a=月=7=子，则a=b 又)s(”-)=-9则 -C=R,故A错误； 对于B,由a2+B2=Y2,可得(aR)2+(R)2 如（贤+）=7且点（子、）在晚减区间 =(yR)2,所以a2+b2=c2,故B正确； 内，以+骨-警+2长解容=8+ (BC2=2R2-2R2cos a, 对于C,由余弦定理得AC2-2R2-2 R"cos B, 8k,k∈Z,又2 AB2=2R2-2R2cos Y, T=之则u<4,且u>0,故0 =2, 国为∠ACB=2,所以BC+AC=AB Ep 4R2-2Rcos a-2R'cos B=2R2-2R'cos Y, 所以fx)=5sin2x-）,则T=,f() 化简得cosa十c0sB-cosy-1,故C正确； 5n2×否）=0，故A错误，B正确， 对于D,由a=b=c=3R,可得a=B=y=3,故 AB=BC=AC=R,由正弦定理可得△ABC的 g(c)=f(x+)=3in2x为奇画数， 又g(-T）=5in2x-）=-3cos2x,所 外接回半径为日·R。- :元3 R,点O到平面 B 数学答案（五）第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 √6 ABC的距离h= R 3R R,则三棱 9r=1,即1=tan2=3时等号成立，故原式的 3 最小值为3. 锥O-ABC的体积VO-ABC= 3 S△ABc·h= 四、解答题 RX6 √ R=12R,又由球面O-ABC的体积 15.解：(1)由正弦定理，可得sin Csin B=3√7· sin Bcos C, V>p- R3,所以球面O-ABC的体积应 因为sinB≠0，所以sinC=3√7cosC,(3分) 12 两边取平方，可得sinC=1-cos2C=63cos2C, √ 小于以R为高的正四面体的体积 -R3,所以 8 1 故cos2C=64 R<V<R,故D正 2 因为inC=37cosC>0,所以cosC= 1 三、填空题 (6分) 12.4【解析】依题意，：=4-7i_4-7i7+4i i 2 (2)由(1)可得sinC=W/1-cosC= =-7一4i,故之=一7十4i,故之的虚部是4. 11【解折们/r)=ea字)=g“十09， 3√7 8 x十3 所以f(-)=1gar+3a-6=1gax-3a+6, 由3a=2c,可得3sinA=2sinC, 一x十3 x-3 (9分) 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)十f(x)=0, 中+“，g5-。 2 又a=3c<c,故A为锐角， ax-3a+6 x-3 =0,即1gx-36》=0,所以 x2-9 则cosA=√/1-sin'A=, ( =4 a2x2-(3a-6)2 x2-9 =1,即a2x2-(3a-6)2=x2-9,所 所以sinB=sin(A+C) a2=1, =sin Acos C++cos Asin C 以 解得a=1,此时f(x)的定义域为 (3a-6)2=9, (一∞，一3)U(3,十∞)，关于原点对称，满足奇函数 、8-161 要求，符合题意 2 又因为c=6,所以a=3c=4. 14.3【解析】由余弦定理及基本不等式，得cosA= 公+城《2-1-片以号 a2≥4 bc 则AB边上的高为asin B=4X5,万_57 2bc 2bc 164 2a2+bc (13分) 4cosA,于是由正弦定理，得原式=6inA 16.(1)证明：因为AB是底面圆O2上的一条直径， 所以AP⊥BP, sinA令an分t≥0， 因为O1O2⊥底面圆O2,PQ∥O1O2, 则5-4cosA 所以PQ⊥底面圆O2, sin A 因为BPC底面圆O2,所以PQ⊥BP, 因为AP∩PQ=P,AP,PQC平面APQ, AA 2sin 2cos2 所以BP⊥平面APQ, 因为BPC平面BPQ, 9tam22+1912+1、2w92 所以平面APQ⊥平面BPQ, (5分) A 2 =3,当且仅当 2t (2)解：因为O1O2上底面圆O2,AO2,PO2C底 2tan 2 面圆O2, 数学答案（五）第3页（共5页） B 2026 备考信息导航演练（五） 所以O1O2⊥PO2,O1O2⊥AO2, 所以1的方程为x一y十2=0或x十y一2=0. 所以∠AO2P为二面角A-O1O2P的平面角， (8分) 故∠AO,P=60°， (3)直线AB与C相切. (9分) 又AO2=PO2,所以△APO2为等边三角形， 理由如下： 以P为坐标原点，PB,PA,PQ所在直线分别为 设A(x0,yo),B(0,t),则x8=8ya x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由FA=|FB,得yo+2=2-t,解得t=-yo, (7分) 即B(0,-yo), 2ya 所以直线AB的方程为y= x-y.(12分) 2yo 02 y x-yo 沙 本 联立 x2=8y, 由AB=2PQ,设AB=2,则AP=AO2=PO2= 消去y得x2- 16y -x+8yo=0, PQ=1,PB=√AB2-APz=√3， 所以△=（ 16y)2 则B(3,0,0),Q(0,0,1),P(0,0,0), -4X8=32(8-】 o停小 =32(y0-y0)=0, 所以直线AB与C相切. (15分) 则QB=(3,0,-1),PQ=(0,0,1),PO 18.解：(1)①. (1分) 停小 理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的 带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区 设平面PQO1的法向量为m=(x,y,之)， 域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好.(3分) 之=0， 令之=lny,则之=a+ix, 则/m·PQ=0·即 1 解得之= m·Po=0,2x+2y+x=0, 2(x,-x)(x,-2) 50.4 =0.3, (4分) (x.-x) 168 0,令x=1,得y=-√3，故m=(1,-3,0), =1 (12分) 所以a=:-x=2.9-0.3×24=-4.3,(5分) 设直线BQ与平面PQO1所成的角为0， 因此之关于x的线性回归方程为之=0.3x一 4.3, 则sin0=|cos(QB,m)= 1QB·m QBm 所以产卵数y关于温度x的回归方程为y= e0.3-4.3. (7分) W3×1-0×W3-1×0_ (2)①由题意得，f(p)=C%p2(1-p)”-2(0<p √3+0+1×W/1+3+0 4, <1,n≥3，n∈N*), (8分) 即直线BQ与平面PQ0,所成角的正弦值为 所以f'(p)=2C%p(1-p)”-2-(n-2)·C%2· (15分) (1-p)”3 17.解：(1)因为点(-4,2)在C:x2=2py(p>0)上， =C%p(1-p)"-3[2(1-p)-(n-2)p] 所以(-4)2=2p×2,解得p=4, =Cp(1-p)"-3(2-np). (10分) 所以C的方程为x2=8y. (3分) 2 令f'(p)=0,得p= n (2)由(1)知F(0,2),设1的方程为y=kx+2, 即kx-y十2=0， (5分) 放当∈，号)时)≥0)单罚递增： 2 因为坐标原点O到1的距离为√2，所以 k2+1 当pE(层.1)时)<0于)单调递减。 =√2，解得k=士1， (12分) B 数学答案（五）第4页（共5页）】 ·数学· 参考答案及解析 所以∫()取得最大值时对应的概率p。= (3)证明：(i)当a=1时，bn=bm+1十ln(1十b+1), 由(1)知f(x)=x十ln(1十x)在(-1，+∞)上 (n≥3，n∈N). (13分) 单调递增，且f(0)=0, ②由①知，当n=5时，p。=5' (14分) 因为b1=1>0,所以f(b2)=b1>0,所以b1>b2 >0. 即每年需要人工防治的概率为p= 2 5 ,且X服从 于是Hn∈N°，bn>bn+1>0. (8分) 二项分布B6,）· 设t=bn+1>0,则bn=t+ln(1十t), (15分) 所以E(X)=np=5× 2 》 5 =2,D(X)=np(1-p) 要证b+1 即证 1 t (17分) t+ln(t+1)-2 即证1+1 2 1 19.(1)解：f(x)=a+x+' 21+In(t+1) 不等式两边同时乘2t[t十ln(t+1)], ①当a≥0时，f'(x)>0,f(x)在(-1，+o)上 整理得t2-2t+(t+2)ln(1+t)>0, 单调递增； 令g(t)=t2-2t+(t+2)ln(1+t)(t>0),容易 ②当a<0时，令f'(x)=0,解得x=-1-1. 验证g(0)=0, 当x∈(-1，-是-1时fx)>0f)单调 8'z)=21-2+n1+t)+本， 递增； 1 令h4)=g'(),则h'u)=2+1中11+) 当x∈(-是-1，+∞)时f)<0f)单调 >0,所以g'(t)在(0，十∞)上单调递增， 递减， 又g'(0)=h(0)=0,故g'(t)>0,所以g(t)在 综上，当a≥0时，f(x)在（一1，+∞）上单调递增； (0,十∞)上单调递增， 当a<0时f)在(-1，一号-1上单调递增。 所以g(t)>g(0)=0,原不等式得证.(13分) 在(--1.+∞)上单调递减 (3分) (1)当m=1时6=1，清足2<，<2是 (2)解：若a≥0，当x→十∞时，f(x)>十∞，显 当2时1。侵》 然不满足f(x)恒小于等于0，因此a<0. 由1)知，当a<0时，f)m=f(日-) -1-a+ln(-）0. (4分) 令s=-a,则s>0,只需s-1-lns≤0， 所以>2+号因此6，<2 b (15分) 令h(s)=s-1-lns,则h′(s)=1- 1-1 易证ln(1十bn+1)≤bn+1,bn=bn+1+ln(1十bn+1) 由h'(s)>0,得s>1,由h'(s)<0,得0<s<1, ≤2b.+1,于是b+1≥2b. 故h(s)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 1 1 递增， 所以当n≥2时，b,≥2b,1>…>2b, 所以h(s)在s=1处取到最小值0，于是h(s)=s 1 -1-lns≥0，故s=1, 2- 所以a=一1，即实数a的取值范围为{一1}. 综上.aN2< 1 (17分) (7分) 数学答案（五）第5页（共5页）】 B