备考信息导航演练（二）-【衡水真题密卷】2026年高考数学备考信息导航演练（B版 低难度）

2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设a,b>0,2a十b2i=b十2ai,则ab= B.-2 1 A.-1 1 C.2 D.1 2.“1<1"是“2x-1川>1"的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数fx)=am:一p)g>0)的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原 点对称，则实数的最小值是 A是 Ba c π D.3 4.已知曲线y=ae2x在x=0处的切线与直线x十y一1=0垂直，则a= A.-1 B 1 C.2 D.1 5.某地区将举办演唱会，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，准备使用安检门进 行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为5，若观众携带，安检 门亮灯提示的概率为写：若观众没有携带，安检门依旧有。的概率因误检其他物品而亮 灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 A 1 c号 0.5 4 B.2 6.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过 抛物线y2=4x焦点F的一条弦为AB,则阿基米德三角形PAB满足点P必在抛物线 的准线上，且PF⊥AB,若点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为 A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0 C.x+2y1=0 D.2x-y-2=0 数学试题（二）第1页（共4页） 备考信息 7.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x一1)关于(1,0)中心对称，f(x+2)是偶函数，且 班级 f(x)在[0,2]上是增函数，则 A.f(10)<f(19)<f(13) B.f(10)<f(13)<f(19) C.f(13)<f(10)<f(19) D.f(13)<f(19)<f(10) 姓名 8.某同学将一个直角三角形硬纸板ABC绕斜边BC所在的直线进行旋转，得到如图所示 的旋转体.测量出AA'=2,上、下旋转面的面积比是2：1，则BC= 得分 C33 D.3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,1,3},B={0,2,4,6},则 A.A∩B={0} B.CB={1,3,5} C.AUB=U D.A的真子集个数为8 10.在△ABC中，sinA=sinB(1+2cosC),cos Acos B= 4则 A.C=2B 、B.cosB的值可能是1 C.cos B+cos C5 AB 5+1 2 D.AC-2 11.如图所示，圆锥的轴截面△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，PA=4,C为 PA中点.若点M为底面圆O所在平面上以OA为直径的圆上一点，过点O作OH垂 直PM于H,则 A B A.当点M不与点A,O重合时，有AM⊥平面POM B.点H形成的轨迹的长度为2π CBH与平面PAB所成角的正弦值的最大值为 6 D.AH十HO的最大值为4 导航演练 数学试题（二）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(x,1),b=(3,x),若a∥b,则a= 图，已知双曲线C无是a>0b>0的左有焦点分别为F,P,点P在C上里 ∠FPF:-,PF-2PF,,则C的离心率e= 14.设函数f(x)=(x-1)(e-e),g(x)=e-ax-1,其中a∈R.若Hx2∈[0，+∞)，都 ]x1∈R,使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，则a的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=mln(x+1)- 22 (1)若f(x)在x=1处取得极值，求m的值； (2)在(1)的条件下，求f(x)在[0,4幻上的最小值. 16.(15分)近几年，我国促进新能源汽车产业发展的政策频出，积极推动新能源汽车市场 的迅速发展.某新能源汽车公司为了解其对A型充电桩进行投资后所获得的利润y (单位：百万元)与投资金额x(单位：百万元)之间的关系，统计得到10组样本数据，根 据统计数据计算得到公y,=40,x,=70,利润的方差S:=3.6,投资金额的方差S i=1 =1 =12,样本相关系数r=0.96. (1)根据样本相关系数r判断利润y与投资金额x的相关性强弱，并求出y关于x的 经验回归方程（精确到0.01，注：√30≈5.477）. (2)为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度的情况，该公司随机调查了150 名车主，其中男性车主90名(60名满意，30名不满意)，女性车主60名(60%满意). 将频率视为概率，用样本估计总体 ①为了解车主对充电桩的满意情况，从150名车主中随机抽取一位，若该车主表示 满意，求该车主是男性的概率； ②有人认为“车主性别与满意度有关”，请根据上述数据，依据小概率值α=0.05的 卡方独立性检验，判断这一观点是否成立，并给出结论依据 2(x,-x)(y:一y） = 附：样本相关系数r= ，当r|∈[0.75,1]时，相关性较 x:-x)2/(y,-y)2 N=1 V=1 强，当r∈[0.3,0.75)时，相关性一般； 经验回归方程y=ā十x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= 2(x,-x)(y:一y -,a=y-bx; 2(x:-x) n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b十c+d. x= B 数学试题（二）第3页（共4页） 备考信息导 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC,点A1在底面ABC上 的投影为BC的中点O,点M满足C1M=C1B1(0≤A≤1). (1)当A=时，证明：平面A,MC1平面A,BC 《②)已知AA=2AB=4,若平面ABC与平面A1MC夹角的余弦值为3，求X 的值 18.(17分)在信息论中，嫡是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息嫡、信 源熵、平均自信息量.1948年，克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的嫡，引入到信息论， 因此它又被称为香农嫡.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯· 麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.对 于正整数n,定义n的信息嫡H(n)= 2a,lga,(2a,=1.0a,≤1i=12…w）. (1)若n=2,a1=2,求H(n), (2)若数列{a:}满足：a1=a2= ,a+1=2a,(i=2,3,…,n). ①求此时的信息嫡H(n); ②若对任意的n≥2，n∈N*,不等式a1入(n一4)≥n[H(n)-2]恒成立，求实数入的 取值范围. 19.(17分)在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),点P为圆C:(x+1)2+y2=16上任意 一点，线段PA的垂直平分线l交半径PC于点Q,当点P在圆上运动时，记点Q的轨 迹为W. (1)求W的方程. (2)若点P(一1,4)，试判断直线1与W的位置关系，并说明理由. (3)设点P为圆C上异于(3,0)和（一5,0）的任意一点，若直线1与直线x=士2分别交 于点M,N,证明：M,N两点的纵坐标之积为定值. 航演练 数学试题（二）第4页（共4页）2026 备考信息导航演练（二） 参考答案及解析 2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（二） 一、选择题 6.A【解析】由题意可知，抛物线y2=4x的焦点F [2a=b, 的坐标为(1,0)，准线方程为x=一1，又点P在抛 b2=2a, 1 a= 物线的准线上，所以点P(一1,4)，所以直线PF 1.C【解析】由题意得 解得 2’所以 a>0, b=1, 4-0 的斜率为 b>0, -1-1=一2，又因为PF⊥AB,所以直 ab= 1 2 线AB的斜率为2，所以直线AB的方程为y-0 2.C【解析】因为2x一1>1，即2x-1>1或2x 1 =2(x-1),即x-2y-1=0. -1<-1,解得x>1或x<0,由1<1，解得< 7.D【解析】因为f(x一1)关于(1,0)中心对称，所 0或x>1,所以“1<1”是“2x-1>1”的充要 以f(x)对称中心是(0,0)，故f(-x)=-f(x), 因为f(x十2)是偶函数，所以f(x)的对称轴是x 条件 =2,即f(2+x)=f(2-x),所以f(x)= 3.B【解析】由题意得f)关于点(-答0对格， f(4-x),故f(-x)=-f(4-x),所以f(4-x) =-f(8-x),所以f(-x)=f(8-x),因此f(x) 所以一吾-9-管∈2，整理得g=-吾-经 的周期为8，所以f(10)=f(2),f(19)=f(3)= 3-2 f(1),f(13)=f(5)=f(-1),因为f(x)在 (k∈Z),又因为9>0，所以当k=-1时，9取得 [0,2]上单调递增且f(x)是奇函数，所以∫(x)在 蓝小位：最小值为一号+至-后 [-2,2]上单调递增，所以f(-1)<f(1)<f(2), 4.C【解析】因为y=ae2,所以y'=2ae2x,可得 即f(13)<f(19)<f(10). y'1x==2a,即曲线y=ae2r在x=0处的切线的 8.B【解析】设AA'与BC的交，点为O,OB=x,OC 斜率k1=2a,又直线x十y-1=0的斜率k2=-1, =y,则OA=1,AB=√x十1，AC=√y2+1. 由题客得1k:=一2a=-1,解得a= 5.C【解析】设事件A:该观众私自携带应援物品， 事件B:安检门亮灯提示，则P(A)-号，P(B1A) -gPA)=号PBA)OtPB)=PA· P(BA)+P(A)P(BA)一，若某观众通过安 由∠BAC是直角，得AB2+AC2=BC2,即x2+1 检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物 十y2十1=(x十y)2,得xy=1①.由上、下旋转面 品的概率为P(AB)= P(AB)P(A)P(BA) 的面积比是2：1，得AB=2AC,即√x2+1= P(B) P(B) 2√Jy2+1,所以x2=4y2+3②，①②两式联立，整 理得x1一3x2一4=0，解得x2=4,则x=2(负值 63 1 5 25 舍)，所以y=2,则BC=x十y=2 B 数学答案（二）第1页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 对于B,AM⊥平面POM,OHC平面POM,则 9.AB【解析】由题意得，A∩B={O},故A正确； AM⊥OH,又OH⊥PM,PM∩AM=M,AM, CvB={1,3,5},故B正确；AUB={0,1,2,3,4, PMC平面PAM,则OH⊥平面PAM,又HCC 6},故C错误；因为A有3个元素，所以其真子集 平面PAM,PAC平面PAM,则OH⊥HC,OH 个数为23-1=7，故D错误. ⊥PA,由△PAB是以P为直角顶，点的等腰直角 10.ACD【解析】对于A,在△ABC中，sinA=sin(B 三角形，PA=4,可得PO=OA=2√2，所以PA +C)=sin Bcos C+cos Bsin C,代入sinA= ⊥OC,OC=2,又OH∩OC=O,OH,OCC平面 sinB(1十2cosC),可得sinB=sin Ccos B- OHC,则PA⊥面OHC,又OH⊥HC,过点C与 cos Csin B,即sinB=sin(C-B),因为B,C∈ PA垂直的平面仅有一个，则H点形成的轨迹为 (0,π)，所以C-B=B,即C=2B,故A正确；对于 以OC为直径的圆，周长为2π，故B正确； B,A=元一C-B=π-3B,则cosA=-cos3B,代 对于C,过点H作HH,⊥CO于点H1,过点B 入ooB=子符ose3BasB=-子于是 作BB1⊥CO于点B1,连接BH1, cos 4B+cos 2B=cos(3B+B)+cos(3B-B)= 2cos3 BcosB=-号 .1 2,则2Cos2B+cos2B-2 =0,解得c0s2B=一1±5 4 因为C=2B,所以0 B <C+B=3B<,所以B∈(0，)，故2B∈ 则BH与平面PAB所成角即为∠HBH1, （6.s2B>-g所以m2B-1中，由 又∠BOB1=45°，BO=2√2，则∠BOH1=135°， 4 2cosB-1=-1+5 4巴，可得c0sB=3十5 I2C02Q乙1 8 则tan∠HBH,=BH,≤BH,<BO=22 (W5+1) ,又cosB> 2,所以c0sB=5+1 ,故 √6 16 4 ,所以BH与平面PAB所成角的正弦值的最 B错误；对于C,因为C=2B,所以cosC=cos2B 6 =-1+ 大值小于6，故C错误： 4 ,因此cosB+cosC=5 ,故C正确： 对于D,连接AH, 对于D,由正孩定理得A已=n5=nB 2sin Bcos B =2cos B= w5+1 2 ,故D正确. sin B 11.ABD【解析】对于A,连接OC,CH,OM, M B 设OH=x,x∈[0,2]，则AH=√OA-OH √8-x2,则AH十HO=x十√8-x2≤√2· H :=B √x2+8一x2=4(当且仅当x=2时等号成立)， 则AH+HO的最大值为4，故D正确. 由，点M为底面圆O所在平面上以OA为直径的 三、填空题 圆上一，点，可得AM⊥OM,由题得PO⊥底面圆 12.2【解析】由向量a=(x,1),b=(3,x),a∥b, O,AMC底面圆O,所以AM⊥PO,又OM∩PO= O,OM,POC平面POM,所以AM⊥平面POM, 可得x2-3=0,解得x=士√3，所以|a= 故A正确； √（±3）2+12=2. 数学答案（二）第2页（共5页） B 2026 备考信息导航演练（二） 13.√3【解析】设PF2=x,则PF1=2x,由双 故当x∈[0,1)时，f'(x)>0,当x∈1,4]时， 曲线定义可得|PF1|-PF2|=2x一x=2a,即 f'(x)<0, x=2a,所以|PF2|=2a,|PF1|=4a,又 所以f(x)在[0,1)上单调递增，在[1,4]上单调 递减， (10分) IFF,=2c,∠FPF,=3,在△PF,F:中，由 又f(0)=0,f(4)=2ln5-8=2(1n5-4)<0, 余弦定理得cos∠F,PF,=（4a)+(2a)2-(2c) 所以f(x)在[0,4]上的最小值为21n5-8. 2·4a·2a (13分) 2,解得c=5a,故C的高心率e=C=5. 16.解：(1)由r=0.96,可知利润y与投资金额x相 关性较强， 2(x:-x)y:-y) i=1 b 2(x:一x)9 i=1 又 (x-x)(y-y) =1 14.1【解析】Hx2∈[0，十∞)，都3x1∈R,使得不 等式f(x1)≤g(x2)成立，等价于f(x1)mm≤ g(x2)mm当x<1时，x-1<0,e-e<0,所以 ②w f(x)>0,当x≥1时，x-1≥0，e-e≥0，所以 √含) f(x)≥0，所以f(x)≥0恒成立，当且仅当x=1 时，有f(x)mm=0,所以Hx2∈[0，十o∞)， 71i=1 n=] g(x2)≥0恒成立，即e-ax-1≥0恒成立.当 所以-ss, x=0时，g(0)=1-0-1=0符合题意.当x>0 /nS: 时，c一a-1≥0恒成立，即4≤位成主. 又S￥=12，S=3.6,所以6 S·rs 3.6 W12 设函数h(x)=e一x-1(x>0),则h'(x)=e 0.96=30×0.096≈0.53， (6分) 一1>0恒成立，所以h(x)在(0，十∞)上单调递 增，又h(0)=0,所以h(x)=e一x一1>0恒成 由题意得x= 1x:=7y- 10=1 点=4所以。 立，即c-1>,即>1z>0),所以4≤1， =y-7x≈4-7×0.53=0.29， x 故a的最大值为1. 则y关于x的经验回归方程为y=0.53x十0.29. (8分) 四、解答题 (2)①设事件A=“抽取到的是男性车主”，事件 15.解：(1)由题可得f'(x)= x+1-x B=“该车主表示满意”。 =二x2-x十m 605 x>-1, (2分) P(AB)=968,故所求概率为8 (11分) x+1 m 因为f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)= ②零假设H。:车主性别与满意度无关，将所给数 2 据进行整理，得到性别与满意度的列联表， -1=0,解得m=2. (5分) 性别 1 (2)由(1)可得f(x)=21n(x+1)- x,此时 满意度 合计 男性 女性 f(x)=-x+2_ 满意 60 36 96 (x+2)(x-1) ,x>-1, x+1 x+1 不满意 30 24 54 (7分) 合计 90 60 150 B 数学答案（二） 第3页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 则x=150X60×24-30X36) x=(2λ-1)y, ≈0.694， 90×60×54×96 解得 y=-√7， (13分) 令之=1，则y=-√7，x=一√7(2x一1)，可得m 因为0.694<3.841，所以没有充分证据推断H。 不成立，可以认为车主性别与满意度无关，因此 =(-√7(2λ-1)，-√7,1) (11分) 可以认为“车主性别与满意度有关”这一观点不 由题意可知，n=(1,0,0)为平面A1BC的一个法向 成立. (15分) m·n 量，所以|cos(m,n>|= √72λ-1 1.1)证明：当A-言时M为线段B,C的中点， mn √7(2λ-1)2+8 V553 因为△ABC≌△A1B1C1,且AB=AC,所以 79, A1B1=AC1,所以BC1⊥AM, (2分) 2 又BC∥B1C1,所以BC⊥A1M, 解得入=3或入=3· 又因为AO⊥平面ABC,平面A:B:C1∥平面 所以X的值为支号 (15分) ABC,所以A1O⊥平面A1B1C1, 又AMC平面A1BC1,所以A,O⊥AM, 18解：)当n=2时，由a,= 2a1十a2=1,得a (4分) 1 因为A1O∩BC=O,A1O,BCC平面A1BC,所 =a22' 以A1M⊥平面A1BC. 所以H()=一 又因为A1MC平面A1MC, a.log:a 1.1 所以平面A1MC⊥平面A1BC. (5分) (4分) (2)解：因为AB=AC=2,O为BC的中点，所以 AO⊥BC,又A1O⊥平面ABC,故以O为坐标原 (2)①a1=a2= 2a+1=2ai∈N*,i≥2，则 点，OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,之轴，建 当i≥2时，a,=a,·2-8=2-2 立如图所示的空间直角坐标系， (6分) 2=2-中，故 1 1 n-i+1 a:log:a;=2 log:2 2n-+1, 1 1 n-1 a1 logza1=2-Tlog:2-T- (7分) 于是Hm)-”+aoga =2 =n-14n-11n-2, 因为AA1=2AB=4,所以OA=OB=OC=√2， 2-1 2-1十7+…十22十2 A1O=√JAA-AO=√14， n-2,nn-1n-2, 2 202-+2+…+ 21.(8分) 所以A(W2,0,0),B(0W2,0),C(0,-√2,0)， 令s.=++++号+ 12,3 A1(0,0,√14)，可得CB=C1B1=(0,2√2,0)， 2-可千2” C1M=λC1B=(0,2√2A,0),CC=AA1= 12,3 则5s=22十2十…十w大0 2” 2n+1, (-√2,0，W14),CA1=(0,√2，√14)，所以CM 1 1,1,1 =CC+C1M=(-√2,22λ，√14). (8分) 两式相减得2S。=2十2十2十…十 1n 2”2+7 设平面A1MC的法向量为m=(x,y,z), mCi=0m2+22ay+m=0, -》 2+1 n+2 则 1 2m+1, m·CA=0,2y+14x=0, 12 数学答案（二）第4页（共5页） B 2026 备考信息导航演练（二） 因此S.=2-”+2 (2)解：P(-1,4),A(1,0),所以kA=-2,所以 2” 1 1 所以1w”225.=” n+2 直线1过(0,2)，斜率为2，即1：y=2x+2, +2 =2 2” 2n (5分) (11分) 1 202. y= 2x+2, 联立 可得x2+2x+1=(x+1)2= ②由①知，H(n)=2 2,对任意的n≥2，n∈ x2,y2 4+3 1, 1 N,不等式aA(n-4)≥[H(n)-2],即2· 0,只有一个解，所以直线1与W相切. (8分) (3)证明：设P(xo,yo),A(1,0),则线段PA的 1 A(n-4)≥-n‘2,即a(n-4)≥-2m, 中点8，》-所以直线： (13分) yo xo-1/ 2人即y=- x01 当n=4时，入·0≥一8恒成立，因此入∈R:当n -x 2m=6,当n -28时以≤0n而当-3时 +x+好-1 2yo (11分) 2m=2,因此入≤2；当n>4,n∈N时， =2时，4一n 当x=一2时，yN= (x0-1),x8+y8-1 2yo 2n 入≥- n-4’ 2(m-4)+8=-2 yo n-4 n-4 当x=2时，yM= 2(x,-1D+8+y8-1 yo 2yo 8 n-4 所以yMyN= 「 易知数列-2”》单调递增，且恒有一」 2(xo-1)x6+y8-1[2(x-1),x6+y8-1 n-4月 4-2, 2n L yo 2ya」Lyg 2yo 因此入≥一2， (x8+y8-1)24(x0-1)2 4ya yo 所以实数入的取值范围是[一2,2]. (17分) (x8+y8-1)2-16(x0-1)2 19.(1)解：圆心C(一1,0)，半径r=4,因为线段PA 4yb (15分) 的垂直平分线I交半径PC于点Q,所以QA|= 又因为(x。+1)2+y=16, QP|,所以|QC|+QA|=|QC|+|QP|= -12x6-24x0+180 PC|=4>CA|=2. (2分) 所以yMyN= 4yo 所以点Q的轨迹是以C,A为焦点的椭圆，其方 -3[(x+1)2-16_-3(-y8)=3.17分) w为听等1 y (4分) B 数学答案（二）第5页（共5页）