备考信息导航演练（一）-【衡水真题密卷】2026年高考数学备考信息导航演练（B版 低难度）

2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合M={x2x-1>5},N={1,2,3,4,6},则M∩N= A.{1,2,3} B.{3,4,6} C.{4,6} D.{6 2.已知平面向量a=(1,k十1)，b=(2k一1,2k2),若a∥b,则k= A.-1 B.1 C.2 D.3 3.tan240° 1+tan75° 1-tan 75 A.0 B.23 C.2 D.-2√3 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂 足为B,若直线BF的方程为y=x一2，则|AF|= A.1 B.2 C.4 D.6 5.函数f(x)= 。的大致图象为 x2- D 6.某校安排高一年级(1)~(6)班共6个班去A,B,C,D,E五个劳动教育基地进行社会实 践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一(1)班恰被安排到E基地的排 法种数为 A.240 B.300 C.360 D.480 数学试题（一）第1页（共4页） 备考信息 7.已知点A,B在直线x十y+2=0上，且AB=2,点C在圆M:(x-2)2+(y+2)2=1 班级 上，则△ABC面积的取值范围是 A.[22-2,22+2 姓名 。。。-。。。 B.[2-1,2+1] C.[2,6] 得分 D.[1,3] L............... 8,函数fu)=名+1nx十ab∈R)的两个极值点1：满足x1<x:≤2x1,则x1十 2x2的最大值为 A.21n 2 B.31n 2 C.4ln 2 D.51n 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某厂生产的一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示测量体温误差， 且X~N(0.3,0.2),则（附：P(4-o≤X<u十o)=0.6827,P(μ-2o≤X<4十2o)=0.9545) A.E(X)=0.3 B.P(X≥0.3)=0.5 C.P(X≥0.5)=0.3173 D.D(X)=0.04 10.将函数f(x)=sin wx+1(w>0)的图象向左平移p(p>0)个单位长度，得到函数g(x)= COsx十1的图象.设函数h(x)=fx)十g(x),若g的最小值为，则 A.w=3 B.直线工=是A:)图象的一条对称轴 C点(-122)是A(x)图象的一个对称中心 D.h(x)在0，)上单调递增 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M,则 A.OM∥平面AB1D B.M,O,C1三点共线 C.OA1⊥BC1 D.平面A1C1B⊥平面B,CD 导航演练 数学试题（一）第2页（共4页） B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 3+ 13.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当x∈(0,1]时，f(x)=3-1+1, 则f(227)= y2 14.已知点A是椭圆C:a十=1(a>b>0)的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C 于点B,若AF=2FB,则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且sin Acos B+sin Bcos A +√3cosC=0. (1)求C; (2)已知∠ACB的角平分线CD交AB于点D,若a+b=4,c=√13，求△ABC的面积 及CD的长. 16.(15分)已知数列{am}为等差数列，Sn为{amn}的前n项和，且a1十a4=8,S5=25. (1)求{am)的通项公式； (2)若bn=an十2，求数列{bn}的前n项和Tm. 吃.(15分)已知函数fx)三J 3-4x2-ae'(a∈R. (1)若a=0,讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围. B 数学试题（一）第3页（共4页） 备考信息 18.(17分)某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有 关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别 2 ,马甲校友回答篮球，足球，排球这三类向题中每个题的正确率 31 5’2 (1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率. (2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得一1 分.设该校友回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望 (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖 励.现以获得奖励的概率大小为依据，甲校友在n=4和n=5之中选择一个，则他 应如何选择？并说明理由. 9.(17分)已知双曲线C无-1a>0,b>0)的焦距为22，且C过点(-3，一2 (1)求C的方程， (2)设点A为C的左顶点，若过点(3,0)的直线1与C的右支交于P,Q两点. (ⅰ)证明：直线AP和AQ斜率的乘积为定值， (i)若直线AP,AQ与圆O:x2+y2=a2分别交于M,N两点，记四边形PQNM 的面积为S,△AMN的面积为S:,求的取值范周 导航演练 数学试题（一）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（一） 一、选择题 值范围是2-1,2+1]· 1.C【解析】因为M={x|2x-1>5}={xx>3), N={1,2,3,4,6},所以M∩N={4,6}. 8.D【解析】由函数f(x)=a+1nx十b(a,b∈R), e 2.B【解析】根据题意，平面向量a=(1,k十1)，b= (2k-1,2k2),且a∥b,所以2k2=(k+1)(2k-1), 8r)-8- ,令f′(x)=0,得 解得k=1. ax=e,因为f(x)有两个极值点x1,x2,所以 3.B【解析】tan240°=tan(180°+60°)=tan60°= e1=a1'可得e=①，设=1，则1E 后，共得-高=m5+3 e'2=ax2, In t tlnt =一√3，所以原式=√3-(-√3)=23 (1,2]且x2=x1,代入①得x1=1-i=:-1' 4.C【解析】由于1r:y=x-2,令y=0,得x=2, In t 2tn t(1+20)nt, 所以x1+2x:=-11-1 t-1 所以F(2,0),p=4,即抛物线C:y2=8x,故C的 准线方程为x=一2，故B(-2,一4)，则yA=一4， 函数g(x)= 1+2x)lnx1<x≤2)，则g'（x) x一1 代入y2=8x,得xA=2,所以|AF|=AB=xA 2x-3ln 2-4. (x-1) —(1<x≤2)，令h(x)=2x- 5.B【解析】函数fx)--g的定义城为(-∞， 3nx- x -1(1<x≤2)，则'a)=2-3+1 -3)U(-3,3)U(3,+∞)， (2x-1)(x-1) >0,所以h(x)在(1,2]上单调 x 又f-x)=-x-9=x9=-f),所 递增，所以h(x)>h(1)=0,从而g'(x)>0,所以 以f(x)是奇函数，图象关于原，点对称，故排除D; g(x)在(1,2]上单调递增，所以g(x)≤g(2)= 当x>3时，f(x)>0,故排除C； 5ln2,即x1+2x2≤5ln2,故x1+2x2的最大值 当0<x<3时，f(x)<0,故排除A. 为5ln2. 6.C【解析】先在6个班中随机挑选两个班为一 二、选择题 9.ABD【解析】由题意得=E(X)=0.3,o2=D(X) 组，共有CX5种排法，房将合高一(1）班 =0.2=0.04,故A,D正确；P(X≥0.3)=P(X≥μ)= 的这个组安排到E基地，有1种方法，最后将剩下 0.5,故B正确；P(X≥0.5)=P(X≥4十o)= 的4个组全排列，有A=4×3×2×1=24种排 1-P(u-o≤X<十o)=0.15865,故C错误. 法，所以共有CA=15×24=360种排法. 7.B【解析】圆心M(2,一2)到直线x十y+2=0 10.AC【解析】由题可得sin(wx十og)+1=cOS w.x 的距离为d=12+（-2)+2=2,则点C到直 2+26元 √/12+1 十1，则w0=2+2k,k∈Z,解得p , 线的距离h的取值范围为[2-1，√2+1]，由于 ∈Z,因为9>0，所以当k=0时，9有最小值，即 1 S△ABc=2AB|·h,AB|=2,所以S△ABc的取 乙-吾到w-3就A正确： 数学答案（一）第1页（共5页） B 2026 备考信息导航演练（一） 因为h(x)=sin3x十cos3x+2=2m3x+正) 三、填空题 1+2 2.2【解析】由题意得：=一i(3十i)=1一3品 =1≠2士反，所以直线x=不是h(x)图象的 所 3生4=1-=+-0=2 13.-2【解析】因为f(2-x)=f(x),所以f(一x) 一条对称轴，故B错误； =f(x十2)，又因为f(x)是定义在R上的奇函 h-冠)=2sin(+）+2=2sin0+2= 数，所以f(-x)=一f(x),所以一f(x)=f(x十 2),所以-f(x十2)=f(x十4)，所以f(x)=f(x十 2,故点(22)是()图象的-个对称中心， 4),故∫(x)是周期为4的周期函数，所以∫(227) 故C正确； =f(4×56+3)=(3)=-f(1),又因为f(1) 当x∈(o,）时，3x+牙∈（任，）所以Ax) =3°+1=2，所以f(227)=-2. 在(0，）上不单调，故D错误。 14.3 【解析】设C的焦距为2c,B(mn),则A(0,一b), F(c,0),所以AF=(c,b),FB=(m-c,n), 11.ABD【解析】对于A,因为BD1∥DB,DBC平 面C1BD,B1D1寸平面C1BD,所以B1D1∥平面 因为A京=2F丽，所以仁=2m-c)·解得 C1BD,又因为AD1∥BC1,BC1C平面C1BD, b=2n, AD1丈平面C1BD,所以AD1∥平面C1BD,又 m= 2C B1D1∩AD1=D1,B1D1,AD1C平面AB1D1,所以 即B(3。b ,因为点B在C上，所以 b （2c,2 平面ABD1∥平面C1BD,因为OMC平面C1BD, 2 所以OM∥平面AB1D1,故A正确； 对于B,因为O为DB的中点，所以O为DB与 AC的交，点，又因为平面ACC1A1∩平面CBD a2 1,得1 a=3,所以C的离心率 =C1O,直线A1C交平面C1BD于点M,所以M c3 ∈C1O,所以M,O,C1三点共线，故B正确； e= a 3" 对于C,因为BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1,B1C∩ 四、解答题 A1B1=B1,B1C,A1B1C平面A1DCB1,所以 15.解：(1)因为sin Acos B+sin Bcos A+√3cosC BC1⊥平面A1DCB1,而OA1中平面A1DCB1, 则OA1⊥BC1不成立，故C错误； =0,所以sin(A+B)+√/3cosC=0, 对于D,因为A,C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,B1D 又因为A+B=元-C,所以sinC+√3cosC=0, ∩BB1=B1,B1D1,BB1C平面BB1D1D,所以 可得tanC=-√3， A1C1⊥平面BB1D1D,因为BD1C平面 BBD1D,所以AC1⊥B1D,同理，BC1⊥B1D, 又因为0<C<,所以C- 3 (5分) 又因为A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1C平面 A,CB,所以BD⊥平面A1C1B,文B1DC平 2)由知C又c=√3，利用余弦定理得 面B1CD,所以平面A1C1B⊥平面B1CD,故D c2=a2+b2-2 abcos C,可得(a+b)2-ab=13, 正确」 因为a十b=4,所以ab=3, 所以△ABC的面积S= 2×3X 2 absin C=1 =3/3 4 (10分) 又因为∠ACB的角平分线CD交AB于点D,所 以S△ABC=S△ACD十S△BCD, B 数学答案（一）第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 可草 1 1 XCDXsinXCDXsin3 当>3或<时h()<0A)单调递减， 解得CD=3 41 (13分) 故当x=时，h(x)取得极小值，也是最小值 16.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 由a1十a4=8,S5=25, 2e a,当x=3时，h(x)取得极大值23一a, 2a1+3d=8, (10分) 可得 ,5d-a 解得a1=1,d=2, 又Ao)十a=（）十a=0,当2>时 所以am=1+(n-1)×2=2m-1. (5分) x2- 3 x>0,所以h(x)十a>0,当x→-oo时， (2)由(1)知an=2m-1, 所以bn=am十2m=2n-1十22m-1, (7分) h(x)>+∞，当x→+∞时，h(x)>-a, 则Tm=b1十b2十…十bn 作出h(x)十a大致图象如图所示： =(1十21)+(3+23)+…+(2n-1+22m-1) g =(1+3+…+21-1)+(21+23+…+22m-1) 23 2 V= 2e =n(1十2n-1)2·(1-22") 2 1-22 E 2e =n24212 3-3 (15分) 要使得h(x)=0有两个不同的根，只需y=a,y 1 3 x2-2 17.解：1)当a=0时.函数f)=3x3 有两个不同交点，由图可得a∈ e 所以r)=x-多=(-》 {-d小u 显然当r>或x<0时，f)>0f)单调 3 递端：当0<<时，x)0,f)单调避减。 注意到当a 2e时，在x=3附近， e 即h(x)<0,不符合题意，舍去， 故f)在（一0,0）.（月+）上单调递增，在 所以a的取值范围是（一0 (15分) (0,)上单调递减。 (4分) 18.解：(1)设B=“甲校友所选的题目回答正确”，A1 (2)易知f'(x)=x2- 3 2x-ae =“所选的题目为篮球相关知识的题目”，A2= “所选的题目为足球相关知识的题目”，A,=“所 选的题目为排球相关知识的题目”， 则2=A1UA2UA3,且A1,A2,Ag两两互斥. 若f(x)有两个极值点，则f'(x)有两个不同的 由题查得PA,)=高PA,)=号PA=高 3 .2 变号零点， 3 x2-2 P(BIA)-- PBA)=PBA,)= 1 令h(x)= --a,即h(x)有两个不同的 P(B)=P(A:)P(BA)+P(A2)P(BA2 ) 变号零点， (7分) 则h'(x)= (2x-1)(x-3) 2e 159 1 2-100’ 易知当2<x<3时，h'（x)>0,h(x)单调递增： 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正 数学答案（一）第3页（共5页） B 2026 备考信息导航演练（一） 确的授率为品 59 (3分) 因为p=100,所以126p-70>0,即P:>P1, 2)X的所有可能取值为-3,1,5,9， 所以甲校友应选n=5. (17分) P(x=-3)=(1-)×(1-)×(1-2）=5 2c=2√2， a=1, px=1)=号×(1-)×(1-2)+(1-】 181据：出题在得，名-号=1留怒6=。 c=√2， a2+b2=2, x号x1-2)+-)×1-)×g-品 所以C的方程为x2-y2=1. (3分) (2)(i)证明：由(1)知，A(-1,0), Px=5)-号×号×1-)+号x(1-)x 由题意可知直线1的斜率不为0，设直线l:x= }+1-)×gx分品 ty+3,P(x1y1),Q(x2y2), x=ty+3, 联立 得(t2-1)y2+6ty+8=0, 3 P(X=9)= 11 x2-y2=1, 3×5×2=5 (7分) 因为直线1与C的右支交于两点， 则X的分布列为 (t2-1≠0， -3 1 所以A=(6)2-4X8×(12-1)>0, 8 P 3 13 15 10 30 y:=2-1<0, 13 解得-1<t<1, (5分) 所以E(X)=(-3)X15+1× 10 +5× 30 +9X -6t 8 161 又y+y=e-7yy:-2- 515 (9分) 则·k0一行‘市 y2 (3)当n=4时，设Y为甲校友答对题目的数量， 59 yiy2 由题意可知Y~B(8,p),其中p=100, (ty1+4)(ty2+4) 故当n=4时，甲校友获得奖励的概率P1= yiy2 P(Y=4)+P(Y≥5)， ty1y2+4t(y1+y2)+16 则当n=5时，甲校友获得奖励的情况可以分为 8 t2-1 如下三种情况： 8 -6t t2。 ①前8题答对题目的数量大于等于5； ‘e-十4t‘1十16 ②前8题答对题目的数量为4，且最后2题至少 P 1 (9分) 答对1题； 8t2-24t2+16t2-1621 ③前8题答对题目的数量为3，且最后2题全部 （ii)解：设AP:x=m1y-1,AQ:x=m2y-1, 答对， 且|m1>1,m2|>1, 故当n=5时，甲校友获得奖励的概率P2=P(Y≥ x=m1y-1, 5)+P(Y=4)1-(1-)]+P(Y=3)2,(13分)》 联立 x2-y2=1, 所以P2-P1=P(Y=4)(2p-p2)+P(Y=3)p 得(m号-1)y2-2m1y=0, -P(Y=4) 2m2 =P(Y=3)p2-P(Y=4)(1-p)2 以y同理可得y。m-1 =p2C8p3(1-p)5-(1-p)2Cp(1-p) x=m1y-1, 联立 =p(1-p)5[56p-70(1-p)] x2+y2=1, =p(1-p)5(126p-70), 得(m7+1)y2-2m1y=0, B 数学答案（一）第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 2m1 m十同理可得yN= 2m2 所以yM= 令n=m+m,由m1·m2|=2,1<|m1< m+1' 2,得n=m+4∈[4,5)， (12分) m 所以SaAn 3API,AQsn∠PAQ 所以SAAe=5+n10 `S△AMN5-n5-n -1,n∈[4,5， S△AMN 2AM·AN sin∠MAN (15分) 10 =AP.AQyr.ye 令f(n) 5-n 1,n∈[4,5) AM·AN-yM‘yN 因为f(n)在区间[4,5)上为增函数， 2m1 2n2 m-1m2-1 所以∫(n)的取值范围为[9，十∞)， 2m1 2m2 因为S1 S AAPO AAMN=S△C m+1m+1 S△AMN S△AMN (m+1)(m2+1) 所以的取值范用为8，十) (17分) (m-1)(m2-1) nim十m+m经+1 mimi-mi-m+1' 因为·-所以mm一2 m m2 所以m1·m2=2, 所十部 又因为m:之1，所以1之m,<2 数学答案（一）第5页（共5页） B