备考信息导航演练（五）-【衡水真题密卷】2026年高考数学备考信息导航演练（A版 高难度）

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（五） 一、选择题 6.D【解析】因为AP,⊥BF,cos∠ABF,-专，所 1.D【解析】由于集合A={x∈N|y=√6-2x)= {x∈N|6-2x≥0}={x∈N|x≤3}={0,1,2,3}， BF24 以AB=5,设BF,=4m,则|AB|=5m, 所以A的子集个数为2=16. |AF2|=3m, 2.C【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所 y 以AB=DC,AD=BC,所以EF=EC+C京= 2DC+号成=a话-3A证 3.c【解折1由题志得m+品-a+)(2+日） 2 5+2m+2≥5+22m… 因为AB+|BF2|+|AF2|=4a,所以12m= =9, mn ,所以m-a,所以B邵，=音aAB=号a 2 2mn= 1 mn m一3'时取等号，故” |AF2|=a,又因为|AF1|+AF2|=2a,所以 当且仅当 即 1 2m+-=1,n=3 n AE,=a,周为s∠ABF:=号所以sn∠BAr ×2 的最小值为9. .4 5所以cOs∠BAF23,&sim∠OAF, 4.B【解析】当x≥1时，f(x)=e-1十lnx十7，显 1-cos/BAF:5 2 ，所以C的离心率为5 然为增函数；当x<1时，f(x)=-x2一2ax-a, 为开口向下的二次函数，对称轴为x=一a≥1，即 7.D【解析】对于A,由f)=1 1 1-x-xtk, a-1; 得其定义域为(-∞，0)U(0,1)U(1,十∞)，f'(x) 当x=1时，e+ln1+7≥-1-2a-a,即9≥ =- 1 1 -3a,解得a≥-3，故a的取值范围是[-3，-1]. x-a-x)-1,则当x∈(-∞，0)U 5.B【解析】由题意得，(x十y)(x一y)P=x·(x一y) (0,1)U(1,十∞)时，f'(x)<0恒成立，故f(x)在 十y·(x-y)°，又(x-y)5的通项T,+1=Cx5-· (一∞，0)，(0,1)，(1，十∞)上单调递减，故A (-y)'=(-1)Cx5y,r=0,1,2,3,4,5,所以 正确； x·(x一y)5的通项为(-1)Cgx6-'y,要得到 对FRfc+f-+1)-+中 x3y3,需满足 16-r=3, 即r=3,代入得系数 r=3, 1-1十x-1+k=2k-1,又f)定义城 -x+1x 为(-1)3C%=-10: 为(-∞，0)U(0,1)U(1,十∞)，故曲线y= 又y·(x-y)5的通项为(-1)'Csx5-'y+1,要得 f)关于点日k)对#，即曲线y=fa)足 到ry,需满足3 即r=2,代入得系数 中心对称图形，故B正确； 为（一1）2C号=10，两部分系数相加为一10十10= 对于C,由f(x)在(-∞，0)，(0,1)，(1，+∞)上 0,因此，x3y3的系数为0. 单调递减，且f(x)有三个零点，易知a∈ 数学答案（五）第1页（共6页） A 2026 备考信息导航演练（五） (一∞，0)，b∈(0,1)，c∈(1，+∞)，则b十1∈ 3 1十-b-1+,又 2 sin wx十 (+a)cosar, 1,2),有f6+1)=6+1+6 1 又)最小维为-，则停+（合+a 广b)1-,6b+k=0,即k三b十1-万 11 √3，故a2+a+1=3,即a2+a-2=(a+2)(a 名f6+10=+日-6-1+5+。月 1)=0,解得a=-2或a=1,由图知f(0)=2 1 1 12 6+11+1-611,由be(01),得1 4<0,故a≤7：故a=二2) 2 -∈0.1)，则f6+1)=1-1>1,又c∈ 所以f(x)= (1,十∞)，且f(c)=0,f(x)在(1，十∞)上单调 gmor-casw-5 Ssinu--） 3 递减，故Hk∈R,c>b+1恒成立，故C正确： 又f）=m(-)=-复则 对于D原a=-1=2=日则f)=号 已，+日-0-片日(1)+日 1 1 m货+）=且（子，）在爱成区同 0f2)-}-号-2+日-0，北时c-a+3故 内：所以贤+音-+2张后解释。=2叶 D错误. 8k∈z.又号-0>至剥a<4,且w>0,故a 8.D【解析】由a+1=a十2an十1，得2an=a+i一 =2, a-1,即4，-a17a-1_a21-a1 所以fx)=5sim(2x-）,则T=,f(g）- 2 2 2’ 所以S30=a1十a2十…十a30 5n2×否一）=0，故A错误，B正确： -[(wj-aj)+(j-a)+w+(@j-a)]-15 ga)=f(+）-5in2x为奇画数， -2a-ai)-l5 又g(-）-3sim2x-）=-5cos2x,所 又a,=0,所以S=号ai-301.又由a2 以g(-)为得函数，故CD正确 a十2an十1，得|am+i=an十1，又a1=0,可知 10.BD【解析】假设M在第一象限，如图所示： a2=±1，a3=±2或0，a4=土3或士1，a5=士4 或士2,0，a6=士5，士3或士1，…，所以am是整数， 于是|So|是整数，且a:是偶数的平方，则 15=ai-30≥26-301=3当am-6 时取等号. 下面举例说明a31可以取到6，此时|S3|可为3. 由题意知圆的方程为x2十y2=c2,双曲线C的 a2m-1=0,n∈N*,n≤13，a2m=-1,n∈N*,n≤ b 12;a2s=1,a27=2,a28=3,a29=4,a30=5,a31=6,此 一条渐近线方程为y=一x, a 时|S0=|a1十a2十…十ao=|13X0+12X(-1)+ z+y=cza该=a 1+2+3十4十5|=3，所以|S30的最小值为3. 联立 b得 二、选择题 y=ax, y=by=-6, 则M(a,b),N(-a,-b), 9.BCD【解析】fx)=sin(or+看)十c0s 又因为A1(-a,0),A2(a,0), 数学答案（五）第2页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 所以MA1=(-2a,-b),MA2=(0,-b), Ep 4R2-2R2cos a-2R2cos B=2R2-2R2cos y, AM=4a6,A2M =6,MA.MA2 化简得cosa十c0sB-cosY=1,故C正确； =b2, 对于D由a=6=6=3R,可得a=日=7=智故 又国为∠A,MA:=5,所以2bVa0+B=6, AB=BC=AC=R,由正弦定理可得△ABC的 解得4a2=36,即6=4a 3 外接圆半径为 1 R3 3 R,点O到平面 sin 3 所以c2=a2+b2= ABC的距离h= R2- 3R √6 R,则三棱 对于A,由题意可得e=C 3 3 锥O-ABC的体积Vo-ABC= 1 ,故A错误： √21 3SaAc·h=3X 的 √2 对于B,由对称性可得四边形MA,NA2为平行 4 12 R,又由球面O-ABC的体积 四边形，又因为∠AMA,=3,所以∠MA,N- V>VO-ABC 12R,所以球面0ABC的体积应 行B正喷： 小于以R为高的正四面体的体积 8R,所以 对于C,若M(a,b),N(-a,-b),则|AM= √4a2+b,A2M=b,且4a2=3b2,所以A1M= 2R<V< 8R故D正确. √J4a2+b=√4b=2b,所以MA|=2MA2|, 三、填空题 同理，若N(a,b),则M(-a,-b),可得MA2= 2MA1,故C错误； 12.4【解析】依题意，：=47i-4-77+41 i 2 2 对于D,当a=1时，b= 5- 3,所以 =-7一4i,故=-7十4i,故之的虚部是4. ax++3a-6 1FF:1=2c=2V2 1 x十3 3 ,所以S△，：=2·2c·b 81【得1=o3)- ax-3a+6 2v7 ax十3a-6=lgx-3 ,所以S,=2S,-47, 3,故D 所以f(-x)=1g-x+3 因为f(x)是奇函数，所以f(一x)十f(x)=0, 正确 11.BCD【解析】对于A,因为等边三角形ABC的 p1g+g"-e" x+3 x一3 ax-3a+6 面积为R2,所以AB=BC=AC=R,又因为 x-3 -0,p1gax2-(3a-6) x2-9 =0,所以 0A=OB=OC=R,所以a=月=y-S,则a=b a2x2-(3a-6)2 =1,即a2x2-(3a-6)2=x2-9,所 x2-9 =G=R,故A错误： a2=1, 解得a=l,此时f(x)的定义域为 (3a-6)2=9, 对于B,由a十B2=y2,可得(aR)2十(3R)2 (一∞，一3)U(3,十∞)，关于原点对称，满足奇函数 =(YR)2,所以a2十b2=c2,故B正确； 要求，符合题意」 (BC2=2R2-2R2cos a, 14.3【解析】由余弦定理及基本不等式，得cosA= 对于C,由余弦定理得AC2=2R2-2R2cos3, 6+c-a≥2a AB2=2R2-2R2cos Y, 2bc 2bc -1-所以 ≥4 国为∠ACB=,所以BC+AC=AB, 2a2+bc= 4cosA,于是由正弦定理，得原式=6c5inA 数学答案（五）第3页（共6页） 2026 备考信息导航演练（五） 1 5-4cos A sin A .令tan2 16.(1)证明：因为AB是底面圆O2上的一条直径， =t>0, 所以AP⊥BP, 则5-4cosA 因为O1O2⊥底面圆O2,PQ∥01O2, sin A 所以PQ⊥底面圆O2, 5(sin A 2+cos 因为BPC底面圆O2,所以PQ⊥BP, 因为AP∩PQ=P,AP,PQC平面APQ, 2sin 2 cos2 所以BP⊥平面APQ, 9 tan:A 因为BPC平面BPQ, 十19+12© =3,当且仅当 所以平面APQ⊥平面BPQ. (5分) 、A 2t 2tan 2 (2)解：因为O1O2⊥底面圆O2,AO2,PO2C底 面圆O2, 9=1,即1=tan2=3时等号成立，故原式的 所以O1O2⊥PO2,O1O2⊥AO2, 最小值为3. 所以∠AO2P为二面角A-O1O2-P的平面角， 四、解答题 故∠AO2P=60°， 15.解：(1)由正弦定理，可得sin Csin B=3√7· 又AO2=PO2,所以△APO2为等边三角形， sin Bcos C, 以P为坐标原点，PB,PA,PQ所在直线分别为 x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为sinB≠0，所以sinC=37cosC,(3分) (7分) 两边取平方，可得sinC=1-cos2C=63cos2C, 1 故cosC=64' 因为sinC=37cosC>0,所以cosC (6分) 由AB=2PQ,设AB=2,则AP=AO2=PO2= (2)由1)可得sinC=V-cosC=1-(g) PQ=1,PB=√JAB2-APz=√3， -37 则B(3,0,0),Q(0,0,1),P(0,0,0), 8 由3a=2c,可得3sinA=2sinC, o停号小 则nA-号mc- (9分) 则QB=(W3,0,-1),PQ=(0,0,1),Po 4 2 又a=3c<c,故A为锐角， -停以 设平面PQO1的法向量为m=(x,y,之)， 则cosA=√/1-sin'A=,1- 之=0， 则 m·PQ=0, 即5 解得之= 所以sinB=sin(A+C) m PO:-0. 2x+ 2y十x=0, =sin Acos C+cos Asin C 0,令x=1,得y=-3,故m=(1,-√3,0)， -×+×- =4×8+4 (12分) 设直线BQ与平面PQO1所成的角为0， 2 又因为c=6,所以a=3c=4. 则sin0=cos(QB,m)= QB·m 则AB边上的高为asin B=4X5,7_57 QBm 16 4 W3×1-0×3-1×03 (13分) W3+0+1×W1+3+0 4 数学答案（五）第4页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 √3 即直线BQ与平面PQO,所成角的正弦值为： = (x:-x)(x:-）_50.4 =1 168=0.3, (4分) (15分) 2x,-) 17.解：(1)设P(xy),x≥0， 所以a=之-x=2.9-0.3×24=-4.3,(5分) 则1PF=+号 因此之关于x的线性回归方程为之=0.3.x一 4.3, 由题意.得台-1，解得力=2。 所以产卵数y关于温度x的回归方程为y= e.3s-4.3 (7分) 所以C的方程为y2=4x. (3分) (2)①由题意得，f(p)=Cp2(1-p)”2(0<p (2)设C在点P处的切线l:y=kx十m, <1,n≥3，n∈N“), (8分) 设直线l,OP的倾斜角分别为a,B, 所以f'(p)=2C%(1-p)"-2-(n-2)·C%p2· (1-p)"-3 =C%p(1-p)"3[2(1-p)-(n-2)p] =C%p(1-p)"-3(2-np). (10分) 令f(p)=0,得p=2. n y=kx+m, 联立 y2=4x, 放当p∈6，）时.f)>0,f)单调递增： 得k2x2+(2km-4)x+m2=0, 则△=(2km-4)2-4k2m2=-16km+16=0, 当p∈（房1）时p)<0了)单调递减。 1 得km=1,则m=友 (12分) 2 2k2A,则yp=kxp十 2km-41 12 且xp= 所以f(p)取得最大值时对应的概率p。=元 (n≥3，n∈N). (13分) 放P,》: (8分) 2 ②由①知，当n=5时，p=5' (14分) 则tana=k, 2 即每年需要人工防治的概本为力=号，且X服认 又tanB=kor= =2k, 1 二项分布B6,》: (15分) k 所以tan∠OPQ=|tan(3-a) 所以E(X)=np=5× 5 =2,D(X)=np(1-p) tan B-tan a 2k-k k 1+tanβtana 1十2kXk 1+2k2 -5x号×1--8 (17分) 1 √2 22=4,当且仅当k=士2时 19.(1)解：当m=1时，f(x)=ecosx-x+1, 7kT+21 1 f'(x)=e*(cos x-sin x)-1. (1分) 等号成立， 令函数h(x)=f'(x), h'(x)=[(-sin x-cos x)+(cos x-sin x)]e* 散1an∠OrQ的最大值为 (15分) =-2e"sin x, (2分) 18.解：(1)①. (1分) 当x∈[0，π]时，sinx≥0，e>0,所以h'(x)≤0， 理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的 所以f'(x)在[0，π]上单调递减. (3分) 带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区 (2)证明：g(x)=f(x)十mx=em cos+1, 域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好.(3分) 则g'(x)=er(mcos x-sinx)=-√m2+1· 令x=lny,则乏=a+ix, esin(x+0),其中0满足tan0=-m,m>0, 数学答案（五）第5页（共6页） A 2026 备考信息导航演练（五） 9e(-o小： (4分) 又n(-1)=cos2(-1)-sin2(-1)=cos(-2)= 令g'(x0)=0,得x。=-0,当x∈(0，-0)时， cos2<0a(）=->0，则3x,∈ g'(x)>0,g(x)单调递增； (-1,-）,使nx)=cos2x1十x1sim2x1=0. 当x∈(-0，)时，g')<0g)单调递减。 1 (5分) 解得tanx1=一 ，所以cosx1-√x1-1 所以g(x)在 02 上存在极大值点x,且 (12分) tan xo=tan(-0)=m (6分) 当x∈(x)时nx)0.即gx)<0. (3)证明：由(2)知g(x)在 上的最大值为 p(x)单调递减； 当x∈(x1,0)时，n(x)>0,即p'(x)>0, g(-0)=em8cos(-0)+1=em0cos0+1. p(x)单调递增. (13分) (7分) 所以(x)在x=x1处取得极小值，也是最小值， 要证3x∈0,2 ,使得g(x)>e-+1对任意 (x)]min=(1)=In (cos 1)- 1十 tan x m>0恒成立， 即证e-m CoS0十1>e-+1对任意m>0恒成立， xtam,1=2-1-21-》 即证cos0>em+1对任意m>0恒成立，(8分) (14分) 又m=一tan0,所以即证cos0>eam+1+品对 令函数1)=2V文-1-分1n(1-）,x 任意0(-20)恒成立， ∈(-1，- 即证l(cos9)- 1 >0,其 则t'(x)=一 1 2 1x2 <0 1- 中9e(o (9分) 1 即1女)在(-1，一)上单调递减， 令函数p(x)=ln(cosx) -+xtan x-1, tan x 所以g(x)m=91)=t(x1)>1(-不）， ze(-z.0). (15分) 因为（广-(= sin x sin'r'(tan x)' 又-）=2肾-1+)>-1 sin cos EIn(cos )]=sin 1 \cos x/ COS x -tan x, 所以g'(x)=-tanx+ 即当9c(0)时. 十tanx+ sin2x cos2x In(cos 0)-tan( 1 -cos't+x sin' sin'x cos2x 10分) 令函数n)=cosx+sin∈(-分.0小， 所以3xeo,引使得gc)>e+1对征意 m>0恒成立，命题得证. (17分) 则n'(x)=-2 cos x sin x十sinx十2 x sin xcos x =sin x [sin x+2(x-1)cos x]>0, 则n)在(-分0)上单调递增， (11分) 数学答案（五）第6页（共6页）】2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈Ny=√6-2x},则A的子集个数为 A.2 B.4 C.8 D.16 2.在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则 AE时-A成+Ad BEF-Ai+号Ad 3AD 乐-}丽-d 3.设m>0,n>0,2m十1-1，则n十2的最小值为 n A.7 B.8 C.9 D.10 4.已知函数f(x)= 厂2axa·在R上单调递增，则Q的取值范围是 ex-1+lnx+7,x≥1 A.[3,+∞) B.[-3,-1] C.(-∞，-1] D.[-3,-1) 5.在(x十y)(x一y)5的展开式中，x3y3的系数为 A.-10 B.0 C.10 D.20 6.已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经 猫圆的另一焦点.设椭圆C:1@>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2从 发出的光线，经C上的点A反射后，反射光线再经C上的点B反射.若经过这两次反射 后，AF2⊥BF2,且cos∠ABF,=5,则C的离心率为 A号 C. 5 D.5 11 7.已知函数f(x)= ,1-x一x十k的三个零点为a,b,c,且a<b<c,则下列结论错误 的是 数学试题（五）第1页（共4页） 备考信息 A.f(x)在(0,1)上单调递减 B.曲线y=f(x)是中心对称图形 班级 C.Hk∈R,都有c>b+1 D.Hk∈R,都有c>a+3 8.记数列{am}的前n项和为Sm,若a员+1=a员十2am十1，且a1=0,则|S3o的最小值为 A.0 B.1 C.2 D.3 姓名 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数/)=snax)十m o≥0)的放小值为-8，且过点-至-） 得分 其部分图象如图所示，将∫(x)的图象向左平移无个单位长度得函数g(x)的图象，则 A了)的最小正周期为 Bf(g）=0 C.g-)为偶函数 D.g(x)为奇函数 1a双前纹C装- =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1, A以PF:为直径的圆与C的一条渐近线交于M,V两点，且∠AMA:一，则 7 A.C的离心率为2 B∠MA:N= C.MA=2MA2 D.当a=1时，四边形NPMF,的面积为 11.如图，球O的半径为R,A,B,C为球面上三点，劣弧BC的长度为a,设O。表示以O 为圆心，且过B,C的圆，同理，圆O6,O。的劣弧AC,AB的长度分别记为b,c,曲面 ABC(阴影部分)叫做曲面三角形，若a=b=c,则称其为曲面等边三角形，线段OA, OB,OC与曲面三角形ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC.设 ∠BOC=a,∠AOC=3,∠AOB=Y,则下列结论正确的是 A B 导航演练 数学试题（五）第2页（共4页） A A若平面三角形ABC是面积为R:的等边三角形，则a=b=(=R B.若a2十32=y2,则a2十b2=c2 C.若平面三角形ABC为直角三角形，且∠ACB-,则cosa十c0os月-cosY为常数 D.若a=b=(=R,则球面O-ABC的体积V消足 bR3VV⊙ -R3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若zxi=4一7i,则x的虚部是 1成若两数f红)=e。-9写)是奇丽数则实数4一 2sin2A+sin Bsin C 14.在△ABC中，in Asin Bsin C的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3a=2c,sinB= 3√7 bcos C. (1)求cosC; (2)设c=6,求AB边上的高. 16.(15分)如图，在圆柱O1O2中，AB是底面圆O2上的一条直径，PQ是圆柱的一条母 线，AB=2PQ,且点P不与A,B两点重合. 01 (1)证明：平面APQ⊥平面BPQ. (2)若平面AO1O2与平面PO1O2的夹角为60°，求直线BQ与平面PQO1所成角的正 弦值. 17.(15分)已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,P是C上任意一点，PF的最小 值为1. (1)求C的方程； (2)设坐标原点为O,C在点P(异于点O)处的切线l交x轴于点Q,求tan∠OPQ的 最大值. A 数学试题（五）第3页（共4页） 备考信息导 18.(17分)蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关.现收 集到一只蝗虫的产卵数y(单位：个)和温度x(单位：℃)的8组观测数据，制成图1所 示的散点图.现用两种模型：①y=er+a,②y=cx2十d分别进行拟合，由此得到相应的 回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图 个产卵数个 残差/个 140 30 120 20 100A 80 10 ● 0H 0H 0卤20南268234温度/℃ -1 ，:· 20 -20 -30 0182022242628303234温度x/℃ ·模型①-0-模型② 图1产卵数散点图 图2两种模型的残差图 整理收集到的数据，得到下表： t 2(x,-x) t:-i) =1 含-80-) (y.-y)t,-i) =1 242.9 646 168 422688 50.4 70308 表中之：=lny,之= 8t,=x厅 (1)根据残差图，模型 (填“①”或“②”)的拟合效果更好，说明理由.根据所选 择的模型，利用上表中的数据，求出y关于x的回归方程. (2)据统计，该地每年平均温度达到30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要 人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到30℃以上的概 率为p(0<p<1),该地今后n(n≥3，n∈N)年内恰好需要2次人工防治的概率为 f(p). ①求f(p)取得最大值时对应的概率po； ②当f(p)取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为X,求X的均值和 方差 附：对于一组数据(u1,1),(u2,v2),…,(um,vn),其回归直线)=3u十a的斜率和 截距的最小二乘估计分别为？= 2(u:-u)(v:-0 (u,-u)2 -,a=v-Bu. i=1 19.(17分)已知函数f(x)=em cosx-m.x+1,g(x)=f(x)+mx(m∈R),其中f(x)的 导函数为f'(x). (1)当m=1时，求f'(x)在[0，π]上的单调性. (2)证明：当m>0时，g(x)在 02 上存在极大值点xo,且tan xo=m. (3)证明：3x∈0,2 ,使得g(x)>e-十1对任意m>0恒成立. 航演练 数学试题（五）第4页（共4页）