6.3.1 平面向量基本定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理，课堂导入通过复习向量加法法则、共线定理及数乘运算，结合物理中力的分解情境，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，如从力的分解抽象出定理内涵，拓展基底系数几何意义推导，体现数学眼光与思维。例题涵盖多选、几何应用，小结归纳三种表示方法，培养学生用数学语言表达的能力。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助系统流程和实例优化教学。

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 第六章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 复习引入 1.向量加法有哪两种几何运算法则？ 2.向量共线定理是什么？ 3.数乘运算λ (λ∈R)的基本含义是什么？ 4.在物理中，力可以分解，也可以合成，任何一个大小不为零的力，通过作平行四边形，都可以分解成两个不同方向的分力之和.由此受到启发，结合向量共线定理，我们如何将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 1. 向量加法有哪两种几何运算法则？ 三角形法则 平行四边形法则 在平面内任取一点A，作，， 在平面内任取一点O，作，， 规定：=. + + A B C O A B C 则向量+ 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则向量. 2.向量共线定理是什么？ 向量（ ≠ ）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得= 3.  数乘运算λ (λ∈R)的基本含义是什么？ 实数λ与向量的乘积是一个向量，记作λ . （1） = . （2）①当 ＞0时， 与方向相同； 数乘运算的基本含义 ②当 ＜0时， 与方向相反； ③当 0时， = 4.在物理中，力可以分解，也可以合成，任何一个大小不为零的力，通过作平行四边形，都可以分解成两个不同方向的分力之和.由此受到启发，结合向量共线定理，我们如何将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 以为对角线，分别作与， 平行的直线，构成平行四边形，得到的两个邻边就是在， 上的分向量. 【问题】设向量， 是同一平面内不共线的向量， 是这一平面内与， 都不共线的向量，根据平行四边形法则，将向量按， 的方向分解，你有什么发现？ 向量可以表示为， 的线性组合，即，其中λ1 λ2 唯一确定的实数. 教材导学 阅读教材： 1. 平面向量基本定理是什么？ 2. 当与共线， 与共线， = 时，λ₁，λ₂如何取值？ 3. 基底的含义？ 1. 平面向量基本定理是什么？ 平面向量基本定理 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ₁, λ₂，使： = λ₁ + λ₂ . 9 2.当与共线， 与共线， = 时，λ₁，λ₂如何取值？ ①当与 共线 ⇒λ₂ = 0； ②当与 共线 ⇒λ₁ = 0； ③当= ⇒λ₁ = 0, λ₂ = 0. = λ₁ + λ₂ . 10 3.基底的含义？ 若， 不共线，我们把 ，叫做表示平面内所有向量的一个基底. 基底确定，实数对唯一； 基底改变，同一向量对应的实数对也会改变 ；实数对改变，向量随之改变. 注意基底不共线，非零，不唯一的特点. 11 拓展探究 设向量 不共线，向量 = x +y . (1)基底系数x，y的几何意义是什么？ (2)基底系数和x+y的几何意义是什么？ 12 设向量，不共线，向量 = x +y . (1)基底系数x，y的几何意义是什么？ 使四边形OMCN是平行四边形， 又. |x| = ，|y| . A O C N M B 分别在直线，上取点M、N， 则向量 = +. 13 A B C ①设直线OC与AB相交于点D， = λ ， 则向量 = = + . 由A、B、D共线可得： + = 1，即x+y = λ. 当向量OC与向量OD同向时，x+y = ； 当向量OC与向量OD反向时，x+y = - . O A B C O D 设向量 不共线，向量 = x +y . (2)基底系数和x+y的几何意义是什么？ ②直线OC与AB平行，则k，使得=k =k(- ) =-k,已知， = x +y . x=-k，y=k，则x+y=0. 14 例1 (多选)若， 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ）. A. λ+μ(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B.对于平面α中的任一向量，使= λ+μ的实数λ，μ有无数多对 C.若λ₁，μ₁，λ₂，μ₂均为实数，且向量λ₁ +μ₁与λ₂ +μ₂ 共线，则有且只有一个实数λ，使λ₁ +μ₁=λ(λ₂ +μ₂ ) D.若存在实数λ，μ，使λ+μ= ，则λ=μ=0 巩固应用 【解】由平面向量基本定理可知A，D说法正确，B说法不正确. 对于C，当λ₁=λ₂=μ₁=μ₂=0时，这样的λ有无数个，故C说法不正确. BC 例2 已知= - +3，= 4+，=-3+1，若用 ， 表示，则= . - 【解】设= λ+μ(λ,μ∈R)， 则- +3=λ(4+2)+μ(-3+12)=(4λ-3μ) +(2λ+12μ) ， 故(4λ-3μ+1) +(2λ+12μ-3) =0， ∴4λ-3μ+1=0,且2λ+12μ-3=0, 解得λ=- ,μ=, 故=- + . 例3 如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点， = -2 ，若= x + y ，则x+y=（ ）. A.1 B.6 C. D. 【解】∵ = -2 ，∴ = ， 在平行四边形ABCD中，F为BC的中点， ∴ = + = + = . 又 = x + y ， ∴x = ，y=- ，则x+y= - = .故选C. C A B C D E F 例4 如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且 = ，BN与CM相交于点E，设= ， = ，则=（ ）. A. + B. + C. + D. + 【解】由题意得向量 = = = ， = = ， 由N，E，B三点共线可知，存在实数m， 满足 = m+ (1-m) = m + (1-m) . 由C，E，M三点共线可知，存在实数n， 满足 = n + (1-n) = n + (1-n) . m + (1-m) = n + (1-n) ， ， 为基底， 1-m = n, m = 1-n,解得m= , n= , 向量 = + ，故选A. E A B C N M A 18 小结 1.平面内任何两个不共线的向量都可以作为一个基底，用几何法将一个向量用基底表示时，应结合向量的线性运算. 2.平面向量基本定理是建立在向量的加法和数乘运算基础之上的，其物理背景是力的分解. 3.基底表示向量的常用方法： ①线性运算法:利用向量的加减、数乘运算，将目标向量转化为基底的线性组合. ②待定系数法:设＝x + y 再通过向量相等的条件（坐标对应相等或几何关系）列方程求解x,y. ③几何法:通过作平行线，将目标向量分解为两个基底方向上的分向量，再结合几何关系确定系数. 19 作业 《课时作业》 6.3.1 平面向量基本定理 $