6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 复习引入 1.平面向量基本定理是什么？ 如果、 是同一平面内的两个 向量，则对这一平面内的任意向量 ， 一对实数λ1，λ2，使＝ . 不共线 有且只有 λ1 + λ2 2 2.基底系数的几何意义是什么？ 设向量, 不共线,=x+y. 分别在直线OA，OB上取点M，N， 使四边形OMCN为平行四边形，则 O A B C M N │x│= │y│= 3 3.基底系数和的几何意义是什么？ （1）若直线OC与AB相交于点D，则 D 当与同向时，x＋y＝ ； 当与反向时，x＋y＝ . O A B C 设向量, 不共线,=x+y. C （2）若直线OC与AB平行，则x＋y＝ . 0 C - 4.如图，在光滑斜面上的物体，其重力G分解为下滑力F1 和正压力F2，此时，{F1，F2}是重力G的一个基底，该基底的显著特点是什么？ G F1 F2 F1⊥F2 5.在向量的分解中，如果两个基向量互相垂直，则称为正交分解. 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴同向的单位向量， ，则{， }为单位正交基底. 结合平面向量基本定理，我们设想用坐标表示向量，如何构建相关理论？请同学们阅读教材. 教材导学 阅读教材： 1.向量正交分解的含义是什么？ 2.如何理解向量的坐标表示？ 3.如何构建点坐标与向量坐标之间的关系？ 4.如何用坐标表示向量的和与差？ 5.如何利用向量的起点和终点坐标表示向量的坐标？ 1.向量正交分解的含义是什么？ 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解. 互相垂直 2.如何理解向量的坐标表示？ a i x y O j 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量， 作为基底，对于平面内的一个向量，设＝x ＋y ，则 叫做向量的坐标，记作＝ . 有序数对(x，y) (x，y) 其中x，y分别叫做a在x轴， y轴上的坐标. A 3.如何构建点坐标与向量坐标之间的关系？ 作=，则终点A的坐标就是向量的坐标. i x y O j x y 4.如何用坐标表示两个向量的和与差？ 设向量＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，则 ＋ ＝ ， － ＝ . 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (x1＋x2，y1＋y2) (x1-x2 ，y1-y2) 5.如何利用向量的起点和终点坐标表示向量的坐标？ 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ . (x2－x1，y2－y1) 拓展探究 1.设{ }为正交基底，则＝λ1 +λ2 的数学意义是什么？ 任意一个向量等于它在两个正交基向量上的投影向量之和 2.在平行四边形ABCD中，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则点D的坐标是什么？ D(x1 ＋x3－x2，y1＋y3－y2) 1.（1）已知向量=(-1,2), =(3,4),则向量的坐标是（ ）. A.(2，6) B.(4，2) C.(－4，－2) D.(－2，4) C 巩固应用 （2）已知向量=(2,-1), 点B(-3,2),则点A的坐标是（ ）. A.(－1，1) B.(5，－3) C.(3，－5) D.(－5，3) D （3）（多选）在平行四边形ABCD中，AC和BD为两条对角线，若=(2,4), =(1，3),则下列结论正确的是（ ）. A. =(-2，4) B. =(1，2) C. =(-1，-1) D. =(-3，-5) ACD 例2 已知点A(2，3), B(5，4),C（2m,m),设向量= + ，若点P在第四象限，求实数m的取值范围. m∈（-，-1） 小结 1. 向量与坐标是两个完全不同的概念，但向量可以用坐标表示.向量＝(x，y)应理解为“向量与坐标(x，y)一一对应”. 2.设， 分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量， ＝x+y ，则x ，y 分别是向量在，上的投影向量.作= ，则点A的坐标是(x，y). 3.向量的坐标表示是基于平面向量基本定理的一个规定，向量加、减法的坐标表示就不是规定，而是向量的坐标表示与字符运算所导出的结果. 作业 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 $