6.3.1 平面向量基本定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 温州科技高级中学 张明 6.1.3 相等向量与共线向量 方向相同或相反的向量称为平行向量，记为//. 我们规定：零向量与任意向量平行，即// 你复习了吗？ 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（egual vector）.如图6.1-6，用有向线段表示的向量与相等：记作=， 任意两个相等的非零向量：都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时：两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量：因为向量完全由它的模和方向确定。 为什么平行向量与共线向量是一回事？ 那是因为平移不改变向量的大小和方向，而向量只跟大小和方向有关，向量平移后还是原来的向量。 你复习了吗？ 如图6.1-7，，，是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线l，在l上 任取--点O，则可在l上分别作出=，==这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上：因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）。 （一）向量的加法： O B C A O A B 平行四边形法则：两向量起点重合。 三角形法则：首尾相接，再首尾相连，由起点指向终点。 你复习了吗？ 如果 两个向量 共线，用数乘角度你能得到什么结论？ ①问学习数学是记住定理然后去套吗？ 答：不是记住定理去套，而是要深刻理解定理的本质。 答：先分类讨论： ①,则0且唯一。 ② ③ ④，则，=0 6、定理：向量 你复习了吗？ 湖南省长沙市一中卫星远程学校 设基本向量，大小方向固定不变，且。是任意向量，大小在变。若////，则,且唯一，也就是用一个非零向量表示出来。随着的变化而变化。，则确定。 同学们，人天生具有迁移和类比能力。我们知道直线是一维，平面是二维，空间是三维。那我们就会想，既然一维有这个结论，那二维、三维是否有相似的结论？我们先学习二维，三维高二学。 上一节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示？ 规律：一维一个，二维两个，三维三个，都不共线。 也就是由力的分解想到向量的分解。 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力：反过来，一个力可以分解为两个力，如图6.3-1，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 问两向量不共线，其中一向量可能是零向量吗？ 答：只要两向量不共线，则这两向量都不是零向量。 探究 如图6.3-2（1)，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作=，==.将按，的方向分解，你有什么发现？ O C A B M N 动态展示 如图6.3-3，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，则=十.由与 共线，与共线可得，存在实数，，使得=，=，所以=十．也 就是说，与都不共线的向量都可以表示成 当与非零向量时，也可以表示成的形式；当是零向量时，同样可以表示成，的形式，（为什么？） 对于是与或共线的非零向量情况，如果是与共线的非零向量，那么=，可以写成十0，所以也可以表示成十的形式：类似地，如果是与共线的非零向量，也可以表示成的形式.当是零向量时，把成00，所以同样可以表示成的形式 上述讨论表明，平面内任一向量都可以按，的方向分解，表示成十的形式，而且这种表示形式是唯一的.事实上，如果还可以表示成十的形式，那么，得（一）十（）=0.由此式可以推出全为0（假设，不全为0，不妨假设-≠0，则=，由此可得，共线，这与已知不共线矛盾)，即=，=,也就是说，有且只有一对实 数,使=+ 平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使 共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不 a = + 这一平面内所有向量的一组基底。 我们把不共线的向量 、 叫做表示 平面向量基底核心性质 基底向量的非零性与不共线性 如果两向量不共线，则两向量都是非零向量。这是构成基底的前提条件，因为零向量与任意向量共线，且无法张成二维空间；共线的非零向量仅能生成一维子空间，故不共线性直接保证了线性无关性和二维张成能力。 基底的非唯一性与无穷多解 基底不唯一，只要两向量不共线，则都可以当基底。因此满足条件的向量对有无数组，例如任意旋转后的标准正交基、不同长度与夹角的线性无关向量对等，均能作为同一平面的基底。 基底的静态性与向量的动态性 基底一旦选定，其大小和方向就固定不变；而是平面内任意向量，可取任意位置、长度和方向，因此是动态变化的。这种‘基底静、动’的关系凸显了基底作为坐标参照系的稳定性与基础性。 坐标系数λ₁、λ₂的唯一性与依赖性 λ₁、λ₂随的变化而变化，但当确定时，其在给定基底下的坐标表示唯一，即λ₁、λ₂被唯一确定。这体现了平面向量在二维基底下坐标表示的存在性与唯一性定理。 基底张成空间的完备性 由、的所有线性组合构成的集合{λ₁+λ₂ | λ₁,λ₂∈ℝ}就是平面内的全体向量，即该集合等于整个二维向量空间ℝ²。这说明不共线的两向量构成的基底具有完备张成能力，是平面空间的线性生成元。 反思：O、A、B固定不动，P动。虽然P动，但总保证P、A、B三点共线。t随着P的变化而变化，P确定，则t确定。 若则m+n=1 例1 如图6.3-4，,不共线，且（t），用,表示 解：因为, 所以 =+ =+t =+t() =(1-t)+t 观察=(1-t)+t。你有什么发现？ 例1还可以如下解答：由于，，，所以=t(-).由上式可得.这个解答的思路是：用,,表示,从而将，满足的关系式写成,,满足的关系式，进而用,表示. 例2如图6.3-5，CD是△ABC的中线，CD=用向量方法证明ABC是直角三角形。 分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取{,}为基底，用它表示，.证明·=0，可得，从而证得△ABC是直角三角形 证明：如图6.3-6，设=，=，则=, =一，于是= =(=. 因为CD=AB. 所以 CD=DA 因为 =CD²，b²=DA² 所以 因此 CACB 于是 ABC是直角三角形 例2还可以如下解答：如图6-20，设=，=，则=， =+=++-(). 由，得 =,即=. 所以 =， 即+,由上式可得 ，所以⊥.于是C=90°，即△ABC是直角三角形 几何法：,== 所以 $