精品解析：黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年度期中考试高二数学试题

哈师大青冈实验中学校2025-2026学年度期中考试 高二学年数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ② D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数关系和相关关系的概念，结合图象作出判断. 【详解】对于①，所有的点都在曲线上，具有函数关系； 对于②，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系： 对于③，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系； 对于④，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系， 故选：D． 2. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 已知的数学期望，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据分布列的概率之和是，得到关于和之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于和之间的一个关系式，联立方程，解得的值. 【详解】由题意可知：， 解得. 故选：B. 【点睛】本题考查期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题． 3. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】在第一次取得白球的条件下，袋子中还有9个球，其中红球5个，白球4个， 所以第二次取到红球的概率是. 故选：A 4. 设随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 5. 学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ） A. 0.67 B. 0.58 C. 0.51 D. 0.37 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】设“参加羽毛球比赛”，“参加乒乓球比赛”，“参加跳绳比赛”， 则. 设“获得冠军”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 6. 已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 7. 自然对数的底数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中6位数字设置一个6位数的密码，则不同的密码个数为（ ） A. 720 B. 180 C. 60 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，从6个位置任取3个放置8，再从余下3个位置任取2个放置1，最后一个位置放置2， 所以不同的密码个数为. 8. 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题设不等式的特点，构造函数，可得其在上单调递减，从而将问题转化成 在上恒成立，参变分离后，只需求在的最大值即可. 【详解】由可得， 设， 依题意，当时，恒成立， 故函数在上单调递减， 因，求导得， 则 在上恒成立，即， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 故当时，， 故实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“数”不排在第一天的不同排法共有600种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D. 课程“御”和“书”相邻的不同排法共有240种 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，优先排课程“数”，从除第一天以外的5天中选1天排课程“数”，再排剩下的课程， 则课程“数”不排在第一天的不同排法共有种，故A正确； 对于B，由于“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等， 则课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有种，故B正确； 对于C，要使课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，产生4个空位，再将“御、书、数”插入空位中， 则课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有种，故C错误； 对于D，要使课程“御”和“书”相邻，先排课程“御”和“书”，将2个课程看作一个整体与另外4个课程排列即可， 则课程“御”和“书”相邻的不同排法共有种，故D正确. 10. 已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（ ） A. B. 展开式中含的项的系数是60 C. 展开式的各二项式系数和为128 D. 展开式的各项系数和为729 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用二项式系数的对称性，根据展开式中只有第四项的二项式系数最大求出的值，再利用展开式通项公式和二项式系数性质逐一计算验证各选项的结论判断正误即可得. 【详解】对A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数， 且最大二项式系数对应中间项，则，即，故A错误； 对B：对，有， 令，解得，则， 即展开式中含的项的系数是，故B正确； 对C：二项式系数和为，故C错误； 对D：对，令，有 ， 故展开式的各项系数和为，故D错误. 11. 已知函数的定义域为，是函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有三个极值点 B. 若，则的极大值点为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数的图象确定其零点，结合图象确定为正为负的解集判断AB；求出及其零点，进而求出参数值判断CD. 【详解】观察图象，得函数的零点为， 对于A，当时，，而，则， 由，得或；由，得或， 因此是的极小值点，0是的极大值点，函数有三个极值点，A正确； 对于B，当时，，由图象得当时，， 当时，，函数的极大值点为，B正确； 对于C，由，求导得，由，得或或， 因此，解得，C错误； 对于D，由，求导得，由，得或或， 因此或，解得或，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】随机变量，得到曲线关于对称，根据曲线的对称性和概率之和为1可得得结果． 【详解】因为随机变量，所以曲线关于对称， 故. 故答案为：. 13. 一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】依题意，的可能值为， ，， ，， 则. 14. 在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为，则数列的通项公式为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为，则没有“黑币”的概率为，进而得到，可得，进而结合等比数列求解即可. 【详解】由题意得； 当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为，则没有“黑币”的概率为， 则， 故. 又，故是为首项，为公比的等比数列， 则，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差后，根据题目所给条件列出方程即可求出，进而得解； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由，可得， 因，代入解得，则， 因此. 【小问2详解】 由， 得 . 16. 已知双曲线：的左右顶点分别为、． （1）求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； （2）直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解； （2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程； 【小问1详解】 由题意可得，，，则， 又，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，点恰为弦的中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 17. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. 【小问1详解】 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． （1）求甲连续打前四局比赛的概率； （2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； （3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【小问1详解】 由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. 【小问2详解】 设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. 【小问3详解】 由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 19. 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先化简，求导得，按与分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【小问1详解】 由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学校2025-2026学年度期中考试 高二学年数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ② D. ②③ 2. 某射手射击所得环数的分布列如下： 7 8 9 10 已知的数学期望，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 设随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为（ ） A. 0.67 B. 0.58 C. 0.51 D. 0.37 6. 已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 自然对数的底数也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，的近似值约为，若用欧拉数的其中6位数字设置一个6位数的密码，则不同的密码个数为（ ） A. 720 B. 180 C. 60 D. 30 8. 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“数”不排在第一天的不同排法共有600种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D. 课程“御”和“书”相邻的不同排法共有240种 10. 已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（ ） A. B. 展开式中含的项的系数是60 C. 展开式的各二项式系数和为128 D. 展开式的各项系数和为729 11. 已知函数的定义域为，是函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，有三个极值点 B. 若，则的极大值点为 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，，则________． 13. 一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则__________. 14. 在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为，则数列的通项公式为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知双曲线：的左右顶点分别为、． （1）求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； （2）直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 17. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． （1）求甲连续打前四局比赛的概率； （2）前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； （3）如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 19. 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $