精品解析：吉林珲春市第二高级中学校2025-2026学年高一上学期第一学程考试数学试卷

2025-2026学年度高一上学期第一学程考试 数学试题 命题人：魏荻 审题人：朴颖 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（共8题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 2. 下列整式由左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式. A.该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故A错； B.把化为与的积的形式，故B对； C.右边不是积的形式，故C错； D.只是交换了两个因式的位置，不是因式分解，故D错. 3. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ） A. {2，4} B. {3，5} C. {5} D. {2，3，4，5} 【答案】C 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，然后可选出答案. 【详解】因为集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}， 所以图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合，即 故选：C 4. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定格式改写即可． 【详解】存在量词命题的否定格式：首先存在量词改为全称量词，然后否定命题的结论，故原命题的否定为：，. 故选：A. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性. 【详解】由不能推出，但由必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 7. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 8. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由可用基本不等式直接判断；对于B，由于，利用A的结论判断；对于C，由，利用基本不等式直接判断；对于D，，利用A的结论判断. 【详解】对于A，因为，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，由A可知，， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，由A可知，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD 二、多项选择题（共3题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. -3 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据常见数集的符号表示逐一判断即可. 【详解】表示整数集，故A不正确、C不正确； 表示自然数集，故B正确； 表示有理数集，故D正确. 故选：BD 10. 命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由存在量词命题为真求出的范围，再利用必要不充分条件的定义求得答案. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 由命题“，”是真命题，得， 显然，，，ABC是； ， D不是. 故选：ABC 11. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ） A. 23 B. 38 C. 128 D. 233 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】因为，故，故A正确； 因为，则，故B错误； 因为，故，故正确； ，故，故D正确． 故选：ACD 三、填空题（共3题，每小题5分.把正确答案填写在横线上） 12. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再求出其真子集个数. 【详解】依题意，，所以的真子集的个数是. 故答案为：3 13. 若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，列出关于的方程求解即可，但是要注意集合中元素的互异性. 【详解】依题意可得或，且， 所以，. 故答案为：. 14. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 【答案】15 【解析】 【分析】 由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解. 【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现， 当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个； 当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个. 当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个. 则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个. 故答案为：15. 四．解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 请回答下列问题． （1）已知 ，求 的值． （2）已知 ，，，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 原式 ． ，， 所以原式 ． 【小问2详解】 原式， ， 当 ，， 时， 原式 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用交集的定义直接求解. （2）利用补集的定义，结合交集的结果求出的范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，显然，由， 得，解得， 所以a的取值范围是. 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）变换得到，再利用均值不等式计算得到答案； （2）变换，展开利用均值不等式即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， ，，故，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为8； 【小问2详解】 证明： ， 当且仅当，即时取等号，所以. 18. 已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数的取值集合； （2）设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由根的判别式大于0，得到不等式，求出实数的取值集合； （2）根据题意得到⫋，进而得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 若命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题， 则，解得或， 故实数的取值集合. 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， 又， 故，等号不能同时取得，解得， 故的取值范围为. 19. 设集合．求证： （1）一切奇数属于集合； （2）偶数不属于； （3）属于的两个整数，其乘积仍属于． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） 证明见解析；（3） 证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据奇数的表达式，结合集合元素描述等式进行证明即可； （2）根据与的奇偶性，结合反证法进行证明即可； （3）根据集合元素描述等式进行证明即可. 【详解】证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，．由的任意性知，一切奇数属于． （2）首先我们证明如下命题： 设：，则与具有相同的奇偶性． 以下用反证法证明． 假设，则存在，使得．若与同为奇数，则（）（ ）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（ ）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾． 综上所述，形如的偶数不属于． （3）设，则存在，使得． = =， 又因为，均为整数， ． 【点睛】方法点睛：证明偶数不属于，可以运用反证法来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一上学期第一学程考试 数学试题 命题人：魏荻 审题人：朴颖 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（共8题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列整式由左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合A={2，3，4），集合B={2，4，5}，则如图中的阴影部分表示（ ） A. {2，4} B. {3，5} C. {5} D. {2，3，4，5} 4. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 7. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. -3 D. 10. 命题“，”是真命题的必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ） A. 23 B. 38 C. 128 D. 233 三、填空题（共3题，每小题5分.把正确答案填写在横线上） 12. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 13. 若，则_______. 14. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 四．解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 请回答下列问题． （1）已知 ，求 的值． （2）已知 ，，，求 的值． 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：． 18. 已知命题“关于的方程有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数的取值集合； （2）设集合，其中，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 19. 设集合．求证： （1）一切奇数属于集合； （2）偶数不属于； （3）属于的两个整数，其乘积仍属于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $