精品解析：吉林省长春市第二中学2025-2026学年高一上学期第一学程考试数学试卷

2025－2026学年度高一年级第一学程考试数学科试卷 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设，为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. ，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 设为函数图象上动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项使符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列命题中为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 与表示同一个函数 D. 已知集合，，若，则实数的集合为 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12 设函数，则______． 13. 为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为__________. 14. 已知函数，若存在实数，，使得函数在区间的值域为，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若，，且，求的最小值． （2）求的最小值． 16. 已知函数的定义域为，函数，的值域为． （1）若，求集合； （2）若，求； （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. （1）求函数定义域； （2）求函数的值域； （3）已知二次函数满足，且，求的解析式． 18. 已知关于的方程. （1）若该方程解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 19. 小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若、，都有，则称为区间上的下凸函数．例如，函数在上为下凸函数.通过查阅资料，小明同学了解到了琴生（Jensn）不等式：若是区间上的下凸函数，则对任意的、、、，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）． （1）已知在上为下凸函数，若，求的最大值； （2）判断函数在上是否是下凸函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）设、、、，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度高一年级第一学程考试数学科试卷 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的并、补运算求结果即可. 【详解】由，则，故. 故选：A 2. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据全称命题的否定进行判断即可. 【详解】命题否定为. 故选：B 3. 设，为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可以得到，故充分性成立， 当，时满足，但是推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”充分而不必要条件. 故选：A 4. 若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过作差法即可比较大小. 【详解】由题意有， 因为， 所以，， 所以，即． 故选：B 5. ，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程根的情况，得，解不等式即可. 【详解】根据题意，，都有恒成立， 即二次方程至多有一个实数解， 则，解不等式得. 故选：B 6. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 7. 设为函数图象上的动点，若此函数图象与x轴，直线及围成图形（如图阴影部分）的面积为，则的图象可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据函数解析式判断函数图象. 【详解】由题意可知 当时，，且过程中增速变慢， 当时，，且过程中增速变快， 所以的图象可表示为选项B， 故选：B 8. 函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，根据可知，并解出和，表示，根据的范围，再代入分段函数求值域. 【详解】 设， 作出的图象， 由图象知，， 由，得， 由，得， 则， ∵，∴， 则， 即， 此时， 即的取值范围是， 故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域，本题的难点是用表示，并求其范围. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项使符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C. 【详解】对于A，取，但，故A错误； 对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，则，故D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 与表示同一个函数 D. 已知集合，，若，则实数的集合为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式取等条件即可判断A；借助充分不必要条件的定义，结合不等式性质推导可得B；判断两函数定义域与对应关系是否相同即可得C；分类讨论即可判断D. 【详解】对A：， 当且仅当时等号成立，但此时无实数解，故等号无法取到，故A错误； 对B：若，则，充分性成立；若，则或，则必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对C：对，有，解得，即定义域为， 对，有，解得，即定义域为， 又，故与表示同一个函数，故C正确； 对D：， 若，则满足要求； 若，则，解得； 若，则，解得， 所以实数的集合为，D错误. 故选：BC. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断并代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为： 13. 为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为__________. 【答案】50 【解析】 【分析】设，计算图书馆精品阅读区面积，然后计算图书馆精品阅读区面积最小时的值即可. 【详解】依题意，设，得， 图书馆精品阅读区面积为 ， 当且仅当时，等号成立，此时，，解得. 故答案为：50. 14. 已知函数，若存在实数，，使得函数在区间的值域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可得函数在上单调递增，依题意可得，即可得到为方程的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算可得； 【详解】因为，所以在上单调递增， 要使得函数在区间上的值域为， 所以，即，所以为方程的两不相等的非负实数根， 所以，解得，即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若，，且，求的最小值． （2）求的最小值． 【答案】（1）18；（2）32. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. （2）利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，，且，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值18. （2）当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值32. 16. 已知函数的定义域为，函数，的值域为． （1）若，求集合； （2）若，求； （3）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）由求出，再利用二次函数的图像与性质即可求出集合； （2）根据集合的交集和补集的含义即可得到答案. （3）由题设是的真子集，利用二次函数的图象与性质，求出，再利用集合间的包含关系即可求出结果. 【小问1详解】 由，解得或， 所以函数的定义域为集合或. 当时，，对称轴为， 因为， 所以，又当时，， 所以. 【小问2详解】 或，则或. 【小问3详解】 因为 “”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 又因为，， 所以， 又因为或， 所以或，解得或， 故的取值范围为. 17. （1）求函数的定义域； （2）求函数的值域； （3）已知二次函数满足，且，求的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定函数有意义列式求出定义域. （2）利用不等式的性质求出函数的值域. （3）利用待定系数法求出解析式. 【详解】（1）函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. （2） 当时，，则，， 所以所求值域为. （3）设，由， 得，整理得， 则，解得，由，得，则， 所以的解析式为. 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； （2）当时，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由关于的方程， 当时，方程即为，解得，满足题意； 当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足， 即，解得， 综上可得，实数的值为或. 【小问2详解】 解：当时，不等式为，即， 由时，恒成立，即为时，恒成立， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由不等式，可化为， 因，可得，即为， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得： 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若、，都有，则称为区间上的下凸函数．例如，函数在上为下凸函数.通过查阅资料，小明同学了解到了琴生（Jensn）不等式：若是区间上的下凸函数，则对任意的、、、，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）． （1）已知在上为下凸函数，若，求的最大值； （2）判断函数在上是否是下凸函数，若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）设、、、，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）是，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由下凸函数的定义可得出，结合琴生不等式可求得的最大值； （2）判断：是下凸函数，任取、，作差，并判断差值的符号，结合下凸函数的定义即可得出结论； （3）先证明出函数为下凸函数，再结合琴生不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 由在上为下凸函数，得， 因此，当且仅当时取等号，则，即， 当且仅当时取等号，所以的最大值是． 【小问2详解】 判断：是下凸函数， 函数的定义域为，设、， 则 ， 当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数下是凸函数. 【小问3详解】 令， 设、，则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 因此 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $