云南曲靖市宣威市第七中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 融合古巴比伦月相数列、空间站宇航员安排等文化与科技情境，梯度覆盖函数、几何、统计等模块，突出数学建模与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、复数、函数单调性、向量、数列、排列组合、双曲线、函数性质|第5题以古巴比伦月相数列考查等比与等差数列综合，体现文化传承| |多选题|3题|二项分布、正态分布、百分位数、解三角形|第9题综合统计知识，考查数据处理与推理意识| |填空题|3题|二项式系数、抛物线与圆、四边形面积范围|第14题结合解三角形求面积范围，发展几何直观| |解答题|5题|数列、统计案例、立体几何、椭圆、导数|第17题立体几何三问递进，第19题导数综合考查逻辑推理，第16题统计案例联系学生生活，体现应用意识|

《宣威七中高二年级2026年春季学期5月月考数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A D A D B ABD ABC 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 2．B 【分析】先应用复数的乘法及减法化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】， 故. 3．D 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 4．A 【分析】应用平行向量的坐标运算计算判断A，应用向量垂直的坐标运算判断B，根据模长公式计算求解判断C，应用夹角余弦公式计算判断D. 【详解】向量，， 若，则，即，A选项不正确； 若，则 ，即，B选项正确； 若，则，所以，解得或3，C选项正确； 若，则向量，，即， 设与的夹角为， 则与的夹角余弦为，则与的夹角为，D选项正确； 5．D 【分析】先根据等比数列通项公式求出，再结合等差数列通项公式求出，进而求出，最后计算第12天月球被太阳照亮部分占满月的比例即可. 【详解】由题意知，数列前5项成公比为的等比数列，首项， 所以， 因为从第5项到第15项成公差为的等差数列，且， 所以， 所以，即， 又因为，所以 若，则，，不合题意， 若，则，解得，符合题意， 若，则，无解， 故 ，，此时 ， 所以 ， 所以占满月的比例为：. 6．A 【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况， 若按人数分为三组，则有种方法， 若按人数分为三组，则有种方法， 共有种不同方法. 7．D 【分析】得出双曲线的渐近线方程，，设双曲线的焦点所在直线方程为，，，利用得出，再利用以及即可求出. 【详解】由的两条渐近线分别为，， 设双曲线的焦点所在直线方程为且， 若分别是，的倾斜角，则，， 因为，所以 即， 整理得，可得（负值舍去）， 所以， 故C的离心率是. 8．B 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 9．ABD 【分析】利用二项分布的期望公式及期望的性质计算判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；求出第70百分位数判断C；利用方差的定义计算判断D. 【详解】对于A，由随机变量X服从二项分布，得， 又，则，A正确； 对于B，随机变量X服从正态分布，则， 因此，B正确； 对于C，由，得所求第70百分位数为，C错误； 对于D，依题意，样本数据的平均数，因此这组样本数据的总和为，D正确. 10．ABC 【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由已知可推出，根据正弦函数的单调性，即可得出C项；，根据诱导公式化简，即可判断D项. 【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确； 对于B项，由A知，. 由正弦定理可得，，所以. 由，根据正弦定理可得， ，所以，所以，故B项正确； 对于C项，由已知可得，，所以， 因为正弦函数在上单调递增，所以，故C项正确； 对于D项，，故D项错误. 故选：ABC. 11．AC 【分析】对于A：设底面中心为，连接，则底面,则，结合底面边长可求解；对于B：过作，连接，则为所求角，结合边长值求解；对于C：作的平分线，易知，即，则线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在中可求解；对于D：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解. 【详解】 对于A：如图，连接，，设交点为，则底面，所以，，所以，所以A选项正确； 对于B：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，易得，，所以，所以B选项不正确； 对于C：作的平分线，交于点，则，所以线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，易得，所以，所以C选项正确； 对于D：作，垂足为点，连接，易得，则为二面角的平面角，由，得，所以，所以D选项不正确. 12． 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有，， 则，， 由， 故所求的系数为. 13．4 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在上，则， 以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又圆与相切且截轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得． 14． 【分析】结合正弦定理及两角和的正弦公式将化简得，所以为等边三角形.将四边形的面积用表示出来，结合，可求得四边形面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 15．(1) (2) 【分析】(1)利用求出数列首项,再通过与作差得到递推关系,判定为等比数列,进而求出通项公式并验证首项符合. (2)由得出,利用错位相减求和即可. 【详解】（1）因为①， 当时,可得，即， 当时，②. 由①②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列，所以, 当时满足上式，所以. （2）因为， 所以， ， 两式相减得， 即，则 故. 16．(1)列联表见解析，有关联； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据已知补全列联表，根据独立性检验，计算的值，与对比即可得出答案； （2）根据已知得出在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为，则随机变量的所有可能取值为，，，，且，计算出对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】（1）补全列联表如下： 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 80 40 120 女 100 20 120 合计 180 60 240 提出零假设：学生课间经常进行体育活动与性别相互独立，即课间是否经常进行体育活动与性别无关， 依题意，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联； （2）由题意得，学生课间经常进行体育活动的频率为，所以在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为， 而随机变量的所有可能取值为，，，，则由题意得， 所以，，，，， ， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 所以的数学期望. 17．(1)证明见解析. (2)证明见解析. (3) 【分析】（1）由平面，证明，结合等腰三角形中线性质和线面垂直的判定定理可得平面. （2） 根据线面平行性质定理可证明. （3）首先建立空间直角坐标系,根据线面角可求的坐标，用空间向量的线面角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后二次函数解出其最大值. 【详解】（1）已知：平面，平面，故， ，是中点，故， 又，且平面， 由线面垂直判定定理，得平面. （2）因为平面，平面， 平面平面，由线面平行性质定理得， 在中，是中点，且， 由三角形中位线定理，得是中点. （3）以为原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴， 如图：   ，，，由，因为，， 所以二面角为，因此， 又是的中点，故，设，， ，则， 设平面的一个法向量为, 由 (1) 知平面， ，可取， 设直线与平面所成角为，则，， ， ， 代入得， ， 令，， ， . 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 18．(1) (2)证明见解析，恒过定点 【分析】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程. （2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点. 【详解】（1）因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. （2）由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 19．(1) (2)4 (3)证明见解析 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，再求导函数零点，根据导数与极值的关系求极小值点 （2）恒成立分离参数，构造新函数后用隐零点简化最小值计算，锁定最值区间，快速取最大整数 （3）令，只需证，再利用导数证明结论. 【详解】（1）的定义域为，，由得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以的极小值点为． （2）法一：等价于， 又，可得， 令，， 记，则， 所以在单调递增． 又，， 故在上有唯一零点， 且， 又在单调递减，在单调递增， 所以， 由可得，又为整数， 所以整数的最大值为4． 法二：令 ， 问题转化为：对任意有，因为 当时， 所以在单调递增， 故，符合题意． 当时， ， 当 单调递减， 当 单调递增， 所以 ， 令 ， 所以在单调递减，又， 所以当时，满足的最大整数的值为4 综上：结合时均满足条件，所以整数的最大值为4． （3）令，，则， 所以，要证，即证， 即证， 等价于证， 设，， 则， 所以在上单调递增，所以， 即， 因此只需证， 即 对于（1）式，只需证， 可设，， 则， 所以在上单调递减，在单调递增． 故，即成立． 对于（2）式，即要证， 设，则， 设，， 则，所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 令，则， 由知， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 则在上递增，所以 综上命题得证． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣威七中高二年级2026年春季学期5月月考数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或3 D．若，则与的夹角为 5．古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分为240份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中且）组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.若在数列中，前5项构成公比为的等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则第12天月球被太阳照亮部分占满月的（   ） A． B． C． D． 6．某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（   ） A．150 B．90 C．60 D．30 7．将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则C的离心率是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（   ） A．若随机变量X服从二项分布，，则 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23 D．若一组样本数据，，…，的方差，则这组样本数据的总和为60 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．若为锐角三角形，则 D． 11．在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（   ） A．该正四棱锥的高为 B．该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C．该正四棱锥的外接球的半径为 D．该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 三、填空题 12．展开式中的系数为________． 13．在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 14．如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 四、解答题 15．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求. 16．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了120名男生和120名女生，通过调查得到以下数据：120名女生中有20人课间经常进行体育活动，120名男生中有40人课间经常进行体育活动. (1)完成如下列联表（单位：人），并判断能否有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联. 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 女 合计 (2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是线段上的一点（不含端点）.    (1)证明：平面； (2)若平面，证明：为的中点； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 19．已知函数． (1)求的极小值点； (2)已知对任意都成立，求整数的最大值； (3)已知，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $