精品解析：2026年广西壮族自治区崇左市龙州县一模数学试题

2026年广西初中学业水平考试模拟卷 数 学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，创造了全球直播观看人次的纪录．截至9月5日10时，全媒体渠道总触达人次约33940000000次，其中数据“33940000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据“33940000000”用科学记数法表示为； 故选D． 2. 若与是同类项，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，解题思路是根据同类项“相同字母的指数相同”的性质列方程，求出和的值，再计算的结果． 【详解】解：∵同类项定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式， ∴可得方程：，， 解得：，， ∴． 3. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在6和7之间． 故选：C． 4. 已知不等式组的解集是x≥2，则a的取值范围是( ) A. a＜2 B. a＝2 C. a＞2 D. a≤2 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式①可得出x≥，结合不等式组的解集为x≥2即可得出a=2，由此即可得出结论． 【详解】， ∵解不等式①得：x≥， 又∵不等式组 的解集是x≥2，∴a=2． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键． 5. 在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可． 【详解】解：点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ，即， 点的横坐标和纵坐标相等， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 6. 如图，，点是的平分线上一点，点是射线上一点，，于点E，于点，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得，进一步可得，根据平行线的性质可得的度数，再根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据角平分线的性质可得的长． 【详解】解：点是的平分线上一点， ， ， ， ∴， ， ，， ， 点是的平分线上一点，，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 7. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，平行线的性质，熟知对顶角的性质是解题的关键．根据对顶角相等得出，进而求出的度数即可得解． 【详解】解：如图， ∵ ∵， ∴， ∴ 故选：C． 8. 如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠BCE=40°，则∠ANM等于（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，过点M作，垂足为F，根据“”可证得，所以，所以． 【详解】解：过点M作，垂足为F， ∵正方形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴， 所以， 故选：C． 9. 如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置．若，且．则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理及折叠的性质．根据折叠可知，，再由三角形的内角和定理即可计算出的度数，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再在中，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是折叠而成， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ， 在中，， 由勾股定理得，即， 解得， 则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 10. 已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，，则，所以，从而得到，然后根据一次函数的性质得到，所以，从而确定一次函数解析式． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故选：B． 11. 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC的长度是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接OD，BD．首先证明O，D，C共线，进而利用三角函数解答即可． 【详解】如图，连接OD，BD． 由题意：OA＝OD＝AD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠ADO＝∠AOD＝60°， ∵∠ADC＝∠AOB＝120°， ∴∠ADO+∠ADC＝180°， ∴O，D，C共线， ∵∠AOD＝∠DOB＝60°，OD＝OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BDO＝60°， ∵DC＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC＝30°， ∴∠OBC＝90°， ∴BC＝OB＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转变换，等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P． 设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点， 设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选： A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 按下面的程序计算：若开始输入的x值为正整数，x最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有_____个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，理解题意是解题的关键． 由，解得，即开始输入的为111，最后输出的结果为556；当开始输入的值满足，最后输出的结果也为556，可解得；当开始输入的值满足，最后输出的结果也为556，但此时解得的的值为小数，不合题意，由此解答即可． 【详解】解：因为输出的结果为556，所以，解得； 而，当时，最后输出的结果为556，即，解得； 当时，最后输出的结果为556，即，解得（不合题意，舍去）， 所以开始输入的值可能为22或111． 故答案为：2． 14. 某中学九年级数学活动小组对新入学的300名学生如何到校问题进行了一次调查并得到下列数据： 步行 骑自行车 坐公共汽车 其他 60人 100人 130人 10人 同学们想把这组数据制成统计图，并能清楚地表示出各部分人数占总人数的百分比，那么他们应该选择_____________统计图 【答案】扇形 【解析】 【分析】根据扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目作出选择． 【详解】解：根据统计图的特点，得：要求直观能清楚地表示出各部分人数占总人数的百分比，应选择扇形统计图． 故答案为扇形． 【点睛】本题主要考查统计，熟练掌握各个统计图是解题的关键． 15. 如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】由于点B与点D关于对称，连接，交于点P，那么的周长最小，此时的周长．在中，由勾股定理先计算出的长度，再得出结果． 【详解】解：如图所示,连接， 当点三点共线时,的周长最小, 即当点在处时,的周长最小. 因为为的中点, 所以在Rt中, 连接, 因为四边形是正方形, 所以垂直平分, 所以, 所以周长的最小值的周长 ． 16. 如图，直线经过点和点，交反比例函数的图像于点，过点作轴于点，若，则反比例函数表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数解析式、待定系数法确定反比例函数解析式等，先由题中条件求出点横坐标，再由待定系数法确定一次函数解析式，将点横坐标代入求出点坐标，再由待定系数法列式求出反比例函数解析式即可，掌握一次函数及反比例函数图象与性质，灵活运用待定系数法确定函数解析式是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ，即， 过点作轴于点， 点的横坐标为， 直线经过点和点， 设直线，将点和点代入得， 解得， 直线， 直线交反比例函数的图像于点， 当时，，即， ，即反比例函数表达式为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 按要求解题： （1）解方程： ①； ②． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）①；② （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：①， ， ， ； ②， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：原式； 将，代入，原式． 18. 如图，已知，平分，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若于点D，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，点C在的边上，过点C的直线，平分，于点C． （1）若，求； （2）求证：平分； （3）当时，求的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的判定和性质、垂线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据，只要求出即可解决问题． （2）利用等角的余角相等证明即可． （3）设，则，根据平角的定义即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ， ， ，即平分； 【小问3详解】 解：设，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 20. 近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ （3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）5台 （3）共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型（10－）台，根据需要每天分拣快递不少于200万件列出不等式，解不等式即可得到答案； （3）设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人．根据总费用不超过750万元列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元． ，解得 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购进A型台，B型（10－）台， 由题意得，， 解得， 故满足要求的最小整数解为：． 答：至少购进5台A型智能机器人． 【小问3详解】 解：设购买台A型号机器人，则购买（10－）台B型号机器人． 由题意得， 解得， 由（2）得 ∴ 又∵是整数 ∴＝5或6或7 答：共有3种方案，A型号5台、B型号5台；A型号6台、B型号4台；当A型号为7台时、B型号为3台． 21. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． 【小问1详解】 解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问3详解】 解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 22. 应用与探究 [情境呈现] 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，他把三角板固定好后，将三角板从图所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒． [问题应用] （1）请直接写出图中线段的值； （2）如图，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； （3）在（）的条件下，分别取，的中点，，连接，，求四边形的周长． 【答案】（1）； （2）秒； （3）． 【解析】 【分析】（）由，，得，又，故线段的值为； （）当四边形是矩形时，可得， 即得，即旋转角为，可得的值为秒； （）由四边形是矩形，得，，，勾股定理得，则，通过中位线定理的，又由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，然后代入即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的值为； 【小问2详解】 当四边形是矩形时，如图， 此时， ∵， ∴，即旋转角为， ∴（秒）， ∴的值为秒； 【小问3详解】 由（）知四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，根据勾股定理得 ， ∵，的中点，， ∴是的中位线， ∴， 又∵中，为的中点， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了所对直角边是斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 课题学习：用函数模型解几何题． （1）【方法体会】如图1，正方形和正方形中，点在上，，，是与的交点，那么的长是多少？ 下面让我们一起来用函数模型来解这个题目，要好好体会这种解法哟！ 解：以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图2，以为一个单位长度，则由题意可知点坐标为，点的坐标为，则直线的表达式为 ；请同学们根据点是与的交点，求出点的坐标为 ；进而求得的长为 ． （2）【解决问题】请仿照上述建立平面直角坐标系的方法解决下面的问题． 如图3，在中，，，，四边形为长方形．、是边、上的动点，、在边上，当长方形的长宽比为时，求的长度． （3）如图4，等腰中，，过点作，连接，为中点，连接、，若，，则 ． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查待定系数法求一次函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线等内容．建立合适的平面直角坐标系，设出关键点坐标，是本题解题关键． （1）根据给出的点坐标，设出直线表达式，利用待定系数法，求出直线表达式，求出点坐标，在中，利用勾股定理求线段长即可； （2）仿造（1），建立平面直角坐标系，依次求出直线，的表达式，设出点坐标，表达出点坐标或，代入直线表达式，求出的值，可求出线段的长； （3）延长交于点，连接，证明是的垂直平分线，得是的中点，，然后证明是的中位线，得， ，所以四边形是平行四边形，得，设，则，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：如图2，设直线的表达式为， 点坐标为，点的坐标为， ， 解得， ， 点是与的交点， 点的横坐标为2，此时， ， ， 在中，，， 由勾股定理可得，， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：如图3，以点为坐标原点，所在的直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 中，，，， 由勾股定理可得， ， 过点作轴于点， 的面积， ， ， 在中，，，， 由勾股定理可得，， ， 设直线的表达式为， ， 解得， 直线的表达式为， ， 设直线的表达式为， ， ， 直线的表达式为：， 设点的横坐标为，则， 则， 长方形的长宽比为， 或， 或， 或， 或， 解得或， 或， 的长度为或． 【小问3详解】 解：如图4，延长交于点，连接， ，为中点， ， ， 是的垂直平分线， 是的中点，， 为中点， 是△的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， （负值已经舍去）， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西初中学业水平考试模拟卷 数 学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 2025年9月3日举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，创造了全球直播观看人次的纪录．截至9月5日10时，全媒体渠道总触达人次约33940000000次，其中数据“33940000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若与是同类项，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 4. 已知不等式组的解集是x≥2，则a的取值范围是( ) A. a＜2 B. a＝2 C. a＞2 D. a≤2 5. 在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，，点是的平分线上一点，点是射线上一点，，于点E，于点，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠BCE=40°，则∠ANM等于（ ） A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 9. 如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置．若，且．则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10. 已知一次函数的图象过点，，且函数图象经过第二、四象限，当时，，则该一次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC的长度是（　　） A. 4 B. C. 2 D. 3 12. 如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 以上都不正确 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 按下面的程序计算：若开始输入的x值为正整数，x最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有_____个． 14. 某中学九年级数学活动小组对新入学的300名学生如何到校问题进行了一次调查并得到下列数据： 步行 骑自行车 坐公共汽车 其他 60人 100人 130人 10人 同学们想把这组数据制成统计图，并能清楚地表示出各部分人数占总人数的百分比，那么他们应该选择_____________统计图 15. 如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 16. 如图，直线经过点和点，交反比例函数的图像于点，过点作轴于点，若，则反比例函数表达式为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 按要求解题： （1）解方程： ①； ②． （2）先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知，平分，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）若于点D，，求的度数． 19. 如图，点C在的边上，过点C的直线，平分，于点C． （1）若，求； （2）求证：平分； （3）当时，求的度数． 20. 近年来随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展．某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件： B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A型号智能机器人？ （3）要使在（2）的基础上购买机器人的总费用不超过750万元，则有哪几种购买方案？ 21. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 22. 应用与探究 [情境呈现] 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中，，，他把三角板固定好后，将三角板从图所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒． [问题应用] （1）请直接写出图中线段的值； （2）如图，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； （3）在（）的条件下，分别取，的中点，，连接，，求四边形的周长． 23. 课题学习：用函数模型解几何题． （1）【方法体会】如图1，正方形和正方形中，点在上，，，是与的交点，那么的长是多少？ 下面让我们一起来用函数模型来解这个题目，要好好体会这种解法哟！ 解：以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图2，以为一个单位长度，则由题意可知点坐标为，点的坐标为，则直线的表达式为 ；请同学们根据点是与的交点，求出点的坐标为 ；进而求得的长为 ． （2）【解决问题】请仿照上述建立平面直角坐标系的方法解决下面的问题． 如图3，在中，，，，四边形为长方形．、是边、上的动点，、在边上，当长方形的长宽比为时，求的长度． （3）如图4，等腰中，，过点作，连接，为中点，连接、，若，，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $