2026年云南省丽江市二模数学试题

**基本信息** 立足云南地域特色，融合红色教育、非遗文化等现实情境，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配初中学业水平二模检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|科学记数法（2）、反比例函数图象（3）、解直角三角形（11）|结合云南生物物种数据（2）、红色教育报名增长率（10），考查抽象能力与运算能力| |填空题|4/8|因式分解（17）、扇形统计图（18）、矩形性质（19）|以鲜花饼口味统计（18）为素材，体现数据意识与几何直观| |解答题|8/62|分式方程应用（22）、菱形证明（24）、圆的切线与探究（27）|非遗文化概率问题（23）、树苗购买方案设计（25），突出模型意识与推理能力，适配中考综合题命题趋势|

云南省2026年初中学业水平考试 数学模拟试卷参考答案 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A C B D D A B A C D C B D A C 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．2 17．x(x＋4)(x－4) 18．100 19．8 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20.（7分） 计算：（）2－－1＋20＋|－4|－tan45°. 解：原式＝5－3＋1＋4－1 ………………………………………………………………5分 ＝6． ………………………………………………………………………………………7分 21.（6分） 如图，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E．求证：AD=AE． 证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E， ∴∠ADB=∠AEC=90°，…………………………………2分 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（AAS），…………………………………5分 ∴AD=AE．…………………………………6分 22.（7分） 快递行业的飞速发展要求更高效，某快递中心引进一种新的快递商品打包系统，一分钟打包的数量是原来的3倍，打包60个快递商品比原来打包40个时间还少4分钟，求新系统每分钟打包快递商品的数量． 解：设原系统每分钟打包快递商品的数量为x个，则新系统每分钟打包快递商品的数量为3x个， ………………………………………………………………1分 由题意得＝－4， ………………………………………………………………3分 解得x＝5， ………………………………………………………………………………4分 经检验，x＝5是原方程的解且符合题意， ……………………………………5分 ∴3x＝3×5=15. ……………………………………6分 答：新系统每分钟打包快递商品的数量为15个． ……………………………………7分 23.（6分） 云南为我国非遗大省，为丰富学生课余生活，了解非遗文化，某校组织甲、乙两个班去本地区“彝族海菜腔”和“白族扎染”两个非遗社团学习，老师通过游戏方式确定去哪个非遗社团． 游戏规则如下： 制作如图所示的两个转盘，每个转盘分别等分为两部分和三部分，第一个转盘上的两种颜色记为a，b，第二个转盘上的三种颜色记为c，d，e，各转动两个转盘一次，第一个转盘的转动结果为x，第二个转盘的转动结果为y．已知红色和蓝色配成紫色，若最终两个转盘的结果配成紫色则甲班去“彝族海菜腔”社团，乙班去“白族扎染”社团，若不能配成紫色，则甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团． 转盘一 转盘二 红 黄 蓝 c d e 红 蓝 a b （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数. （2）求甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团的概率． 解：（1）画树状图如下： …………………………………………………………………2分开始 a b c e d c e d 共有6种等可能的结果总数，即（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e）． ………………………………………………………………………………………4分 （2）由树状图可知共有6种等可能的情况，其中符合条件的情况有4种， ∴P（甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团）＝＝． ………6分 24.（8分） 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB∥CD，AB＝CD，∠BAC＝∠BCA． A B C D O （1）求证：四边形ABCD为菱形． （2）若AC＝6，BD＝8，求四边形ABCD的周长． 解：（1）∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD为平行四边形． ………………………………………………………2分 ∵∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD为菱形．…………………………………………………………………4分 （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴AO⊥BO，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4， …………………………………………6分 ∴AB＝＝5， ∴菱形ABCD的周长为5×4＝20． ……………………………………………………8分 25.（8分） 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 口袋公园计划在园内空地处打造一片混合林． 素材一 乙种树苗单价为甲种树苗单价的2倍． 素材二 购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需50元． 素材三 共购买甲、乙两种树苗90棵，且购买甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍． 请完成下列任务： 任务一 分别求甲种树苗和乙种树苗的单价. 任务二 给出最节省费用的购买方案． 解：任务一：设甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元， 由题意得，…………………………………………………………………2分 解得， 答：甲种树苗的单价为10元，乙种树苗的单价为20元． ………………………………4分 任务二：设购买甲种树苗m棵，购买乙种树苗（90－m）棵共花费w元， 根据题意得w＝10m＋20（90－m）＝－10m＋1800， ………………………………5分 ∵k＝－10＜0， ∴w随m的增大而减小．…………………………………………………………………6分 ∵m≤2（90－m）， 解得m≤60， ……………………………………………………………………………7分 ∴当m＝60时，w取得最小值，此时90－m＝90－60＝30（棵）． 答：当购买甲种树苗60棵，乙种树苗30棵时，总费用最低． ………………………8分 26.（8分） 已知m是不为0常数，函数y＝m2x2－3x－m，记T＝·（＋m）－6． （1）当m＝1，求抛物线的顶点坐标． （2）当抛物线经过点（1，0）时，比较T与的大小． 解：（1）当m＝1时，y＝x2－3x－1＝（x－）2－， ……………………………2分 ∴抛物线的顶点坐标为（，－）． ………………………………………………3分 （2）当抛物线经过点（1，0）时， m2－m－3＝0， ∴m2＝m＋3， ……………………………………………………………………………4分 ∴T＝·（＋m）－6 ＝·（＋m）－6 ＝·－6 ＝·－6 ＝·－6 ＝2（m＋3）－6 ＝2m． ……………………………………………………………………………………6分 ∵m2－m－3＝0， ∴m＝， 当m＝时，T＝2m＝1＋， ∴T＞； ………………………………………………………………………………7分 当m＝时，T＝2m＝1－＜0， ∴T＜． ………………………………………………………………………………8分 27.（12分） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点P在BA延长线上，CQ⊥BP，垂足为点Q，连接CP和OC，∠OCQ＝∠CPQ． · B C P O A E D Q （1）如图，连接OA，若∠CAP＝100°，∠ACB＝60°，求∠COA的度数． （2）求证：直线CP是⊙O的切线． （3）探究，发现与证明： 如图，D是BC的中点，PD交AC于点E．已知PC2＝PA•PB，猜想是否存在常数a，b，使aPC2·AE－bPA2·CE＝0，若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式aPC2·AE－bPA2·CE＝0成立；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵∠CAP＝100°，∠ACB＝60°， ∴∠B＝∠CAP－∠ACB＝40°， ………………………………………………………2分 ∴∠COA＝2∠B＝80°．…………………………………………………………………3分 （2）∵CQ⊥BP， ∴∠CQP＝90°， ∴∠CPQ＋∠QCP＝90°．………………………………………………………………4分 ∵∠OCQ＝∠CPQ， ∴∠OCQ＋∠QCP＝90°， ∴∠OCP＝90°， ∴OC⊥CP． ………………………………………………………………………………6分 ∵OC是⊙O的半径， ∴直线CP是⊙O的切线． ………………………………………………………………7分 （3）存在常数a＝1，b＝1，使aPC2·AE－bPA2·CE＝0，…………………………8分 理由如下： 如图，过点A作AF∥BC，交PD于点F， ∴△PAF∽△PBD，△AEF∽△CED， ∴＝，＝． ……………………………………………………………9分 ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∴＝， ∴＝． ……………………………………………………………………………10分 ∵PC2＝PA•PB， ∴＝＝＝， ∴PC2·AE＝PA2·CE， ∴PC2·AE－PA2·CE＝0．………………………………………………………………12分 · B C P O A E D Q F 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年云南省初中学业水平考试 数学模拟试卷 (全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效. 2.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在括号中. 1.-3的相反数是（ ） A.3 B.－3 C. D.－ 2.云南省生物物种种类及特有类群数量居全国之首，全省已知高等植物约19 300多种，19 300用科学记数法可以表示为（ ） A．193×102 B．1.93×103 C．1.93×104 D．0.193×105 3.反比例函数y＝的图象位于（ ） A．第一、第二象限 B．第一、第三象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4.某同学收到的初中毕业礼物是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ） 主视图 左视图 俯视图 A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．球 5.若在实数范围内有意义，则实数x可以是（ ） A．－2 B．－1 C．0 D．2 6.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，若∠BAC＝40°，则∠BAD的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．80° 7．下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 8.如图，AB∥CD，＝，则＝（ ） A B C D O A． B． C． D． 9.窗花是我国民间传统剪纸艺术．马年新春，某同学设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 10.我省某地开展红色教育活动，第一天报名人数为600人，第三天报名人数为726人，设每天报名人数的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A．726（1－2x）＝600 B．600（1＋2x）＝726 C．600（1－x）2＝726 D．600（1＋x）2＝726 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 12.《义务教育课程标准（2022年版）》要求“中小学生要学煮饭炖汤、种菜养禽、维修家电……”为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成统计图如图所示（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 13.已知直线L1∥L2，将正五边形ABCDE按如图所示的位置摆放，顶点D在直线L1上，若∠1=135°，则∠2的度数是（ ） A．65° B．60° C．57° D．63° 14.某校学生参加综合实践课，学习制作圆锥型油纸伞．若这种圆锥的母线长为10分米，底面半径为6分米，则该圆锥的侧面积为（ ） A．60π平方分米 B．80π平方分米 C．100π平方分米 D．120π平方分米 15.一列单项式按以下规律排列：x，－3x2，5x3，－7x4，9x5，－11x6，13x7，…，则第n个单项式是（ ） A．(－1)n(2n－1)xn B．(－1)n(2n+1)xn C．(－1)n+1(2n－1)xn D．(－1)n+1(2n+1)xn 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分. 16.点（1，2）到x轴的距离为__ ___． 17.分解因式：x3－16x＝__ ___． 18.鲜花饼是云南美食名片，某食品厂在传统口味的基础上进行创新，如图所示的为抽查的1000块鲜花饼口味占比的扇形统计图，则1000块鲜花饼中奶香味鲜花饼有__ ___块． 经典 玫瑰味 清新 抹茶味 奶香味 香糯 紫薯味 10% 20% 30% 40% 19.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E为AC上一点，BE＝3，CE＝5，则△BOE的周长为__ ___． A B C D O E 三、解答题：本题共8小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20.（7分） 计算：（）2－－1＋20＋|－4|－tan45°. 21.（6分） 如图，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E．求证：AD=AE． 22.（7分） 快递行业的飞速发展要求更高效，某快递中心引进一种新的快递商品打包系统，一分钟打包的数量是原来的3倍，打包60个快递商品比原来打包40个时间还少4分钟，求新系统每分钟打包快递商品的数量． 23.（6分） 云南为我国非遗大省，为丰富学生课余生活，了解非遗文化，某校组织甲、乙两个班去本地区“彝族海菜腔”和“白族扎染”两个非遗社团学习，老师通过游戏方式确定去哪个非遗社团． 游戏规则如下： 制作如图所示的两个转盘，每个转盘分别等分为两部分和三部分，第一个转盘上的两种颜色记为a，b，第二个转盘上的三种颜色记为c，d，e，各转动两个转盘一次，第一个转盘的转动结果为x，第二个转盘的转动结果为y．已知红色和蓝色配成紫色，若最终两个转盘的结果配成紫色则甲班去“彝族海菜腔”社团，乙班去“白族扎染”社团，若不能配成紫色，则甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团． 转盘一 转盘二 红 黄 蓝 c d e 红 蓝 a b （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数. （2）求甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团的概率． 24.（8分） 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB∥CD，AB＝CD，∠BAC＝∠BCA． A B C D O （1）求证：四边形ABCD为菱形． （2）若AC＝6，BD＝8，求四边形ABCD的周长． 25.（8分） 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 口袋公园计划在园内空地处打造一片混合林． 素材一 乙种树苗单价为甲种树苗单价的2倍． 素材二 购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需50元． 素材三 共购买甲、乙两种树苗90棵，且购买甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍． 请完成下列任务： 任务一 分别求甲种树苗和乙种树苗的单价. 任务二 给出最节省费用的购买方案． 26.（8分） 已知m是不为0常数，函数y＝m2x2－3x－m，记T＝·（＋m）－6． （1）当m＝1，求抛物线的顶点坐标． （2）当抛物线经过点（1，0）时，比较T与的大小． 27.（12分） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点P在BA延长线上，CQ⊥BP，垂足为点Q，连接CP和OC，∠OCQ＝∠CPQ． · B C P O A E D Q （1）如图，连接OA，若∠CAP＝100°，∠ACB＝60°，求∠COA的度数． （2）求证：直线CP是⊙O的切线． （3）探究，发现与证明： 如图，D是BC的中点，PD交AC于点E．已知PC2＝PA•PB，猜想是否存在常数a，b，使aPC2·AE－bPA2·CE＝0，若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式aPC2·AE－bPA2·CE＝0成立；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $