2026年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷

**基本信息** 2026年济南天桥区中考数学二模卷，以ChatGPT、盖碗茶等真实情境为载体，覆盖函数、几何等核心知识，通过基础-提升-创新三级设问，考查数学眼光、思维与语言，适配中考二模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|有理数、三视图、科学记数法等|结合“泉城”概率、“和谐点”定义，考查抽象能力与创新意识| |填空题|5/20|因式分解、扇形面积、行程问题等|以正方形综合题压轴，体现空间观念与推理能力| |解答题|10/90|函数综合、几何证明、统计分析等|机器人玩具购进（模型意识）、倍边矩形探究（创新思维），适配中考综合能力要求|

2026年山东省济南市天桥区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，是有理数的为(    ) A. B. C. 0 D. 2.盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人，寓意天地人和.如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是(    ) A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.已知，则下列不等式变形不正确的是(    ) A. B. C. D. 7.若是关于x的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 8.将分别标有“大”、“美”、“泉”、“城”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回后再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“泉城”的概率是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中， ①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N； ②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线AP交BC于点D； ④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，H； ⑤作直线GH，分别交AC，AB于点E， 依据以上作图，若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 10.定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”.若二次函数为常数在的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.因式分解：      . 12.一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是      . 13.如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为______. 14.A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地.甲、乙两人离开A地的距离单位：与时间单位：之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距        15.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若，，则线段EP的长是          . 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 计算： 17.本小题7分 解不等式组：，并写出它的所有整数解. 18.本小题7分 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且求证： 19.本小题8分 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别，其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都为，摄像头高度，识别的最远水平距离 小玲站在离摄像头水平距离80cm点M处，恰好能被识别头的顶部恰好在仰角线AP处，请问小玲的身高约为多少厘米？ 身高145cm的小婷，头部高度为16cm，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由结果精确到参考数据：，， 20.本小题8分 如图，已知AB是的直径，直线DC是的切线，切点为C，，垂足为E，连接 求证：AC平分； 若，，求的半径. 21.本小题9分 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来.为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩单位：分进行了统计分析： 【收集数据】 随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本.下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：______请填写序号 ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩. 【整理数据】 将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理如表： 组别 A B C D 成绩分 【描述数据】 根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图. 【分析数据】 根据以上信息，解答下列问题： ①抽取学生竞赛成绩的样本容量为______；请补全频数分布直方图； ②抽取的样本数据中位数所在组别是______组； 扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______度； 若竞赛成绩80分以上含80分为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数. 22.本小题10分 【问题背景】 2026央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱.为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具. 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元. 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍. 【问题解决】 求购进A，B两种机器人玩具的单价； 因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 23.本小题10分 如图1，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，点C为线段AB中点，连接AO， 求一次函数与反比例函数的表达式； 求的面积； 如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”.在平面内是否存在点P、点P在直线AB上方，使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 24.本小题12分 如图，二次函数的图象经过点和点，与x轴交于另一点 求二次函数的表达式； 在x轴上方的二次函数图象上有一动点 ①如图1，作射线BC，当BC平分时，求点C的坐标； ②如图2，连接BC，AC，设点C的横坐标为m，当为锐角三角形时，求出m的取值范围. 25.本小题12分 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点 【问题发现】 如图1，四边形ABCD是正方形，，______； 如图2，四边形ABCD是矩形，，，，______； 【拓展探究】 如图3，四边形ABCD是平行四边形，，求证： 请写出完整的证明过程，以下思路仅供参考. 思路一：在AD的延长线上取点M，使… 思路二：在线段DF上取点N，使… 【解决问题】 如图4，，，，，求 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是无限不循环小数，属于无理数，故此选项不符合题意； C、0是整数，属于有理数，故此选项符合题意； D、是无理数，故此选项不符合题意； 故选： 根据有理数和无理数的定义逐个判断即可． 本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的定义是解题关键．整数和分数统称有理数，初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像…，等有这样规律的数． 2.【答案】A  【解析】解：这个几何体的俯视图与主视图和左视图不相同，主视图与左视图相同， 故选： 直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3.【答案】D  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】A  【解析】解：选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B.选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 5.【答案】D  【解析】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选： 根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：A、在的两边同时加上1，不等号的方向不变，即，此项正确；  B、在的两边同时乘以再加3，不等号的方向改变，即，原变形错误；  C、在的两边同时乘以再减1，不等号的方向改变，即，此项正确；  D、在的两边同时除以2，不等号的方向不变，即，此项正确；  故选： 根据①不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变逐项判断即可． 本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质，解题的关键是掌握相关知识． 7.【答案】B  【解析】解：设该方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系，得， 解得， 即该方程的另一个根为 故选： 设该方程的另一个根为t，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则， 8.【答案】C  【解析】解：列表如下： 大 美 泉 城 大 大，大 大，美 大，泉 大，城 美 美，大 美，美 美，泉 美，城 泉 泉，大 泉，美 泉，泉 泉，城 城 城，大 城，美 城，泉 城，城 共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“泉城”的结果有：泉，城，城，泉，共2种， 两次摸出的球上的汉字可以组成“泉城”的概率为 故选： 列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球上的汉字可以组成“泉城”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：如图，连接由作法得AD平分，EF垂直平分AD，连接DE， 平分，， ， 垂直平分AD，， 在中，， ， 的面积 故选： 利用基本作图得到AD平分，EF垂直平分AD，连接DE，如图，先利用等腰三角形的判定方法得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理可计算出 本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 10.【答案】B  【解析】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， ， 解得 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， 故选： 由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 应用平方差公式进行计算即可得出答案． 本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解决本题的关键． 12.【答案】6  【解析】解：根据题意知，袋中球的总个数为个， 黑球个数为个， 故答案为： 用白球个数除以白球的概率求出球的总个数，继而可得答案． 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 13.【答案】  【解析】解：， ， ， 故答案为： 由，根据圆周角定理得出，根据可得出结论． 本题考查的是圆周角定理、扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设甲的解析式为，代入、， 得， 解得， 则， 设乙的解析式为，代入， 得， 解得， 则， 当时，，， 则， 则3h时，甲、乙两人相距40km， 故答案为： 根据图象获得信息后，利用待定系数法求解一次函数解析式及路程=速度时间的等量关系来判断即可． 本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，作于 四边形ABCD是正方形，， ，， ，， ， ， ，， ， 在中，， ， ，G，F，C四点共圆， ， ， ， ∽， ， ， 故答案为 如图，作于利用勾股定理求出EF，再证明∽，可得，由此即可解决问题． 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16.【答案】  【解析】解： 先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、算术平方根的定义计算，再合并即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17.【答案】，不等式组的整数解为，0，  【解析】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为， 则不等式组的整数解为，0， 根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，据此写出所有整数解即可． 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 18.【答案】证明：四边形ABCD是菱形， ， ， ， 即， 在和中， ， ≌，   【解析】由菱形的性质得，再证明，然后证明≌，即可得出结论． 本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19.【答案】小玲的身高约是厘米  小婷能被摄像头识别， 如图，过Q作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H， 由可知四边形POQH是矩形， ，， 在中，，， ， 同理， ， ， 小婷头部以下的高度为：， ，且小婷身高， 小婷整个头部都在摄像头视角范围内， 小婷能被摄像头识别  【解析】解：如图，过M作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F， 由题意知， 四边形POMF是矩形， ，， 在中，，， ， ， 答：小玲的身高约是厘米； 小婷能被摄像头识别，理由如下： 如图，过Q作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H， 由可知四边形POQH是矩形， ，， 在中，，， ， 同理， ， ， 小婷头部以下的高度为：， ，且小婷身高， 小婷整个头部都在摄像头视角范围内， 小婷能被摄像头识别． 根据题意，结合图形，在中求出PF，即可得ME长即可； 根据题意，结合图形，在中求出CH，同理得到GH长，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 20.【答案】证明：连接OC， 直线DC是的切线，切点为C， ， 又，垂足为E， ， ， ， ， ， 平分； 解：连接BC， 是的直径， ， 又， 由得：， ， 在中，， ， ， 在中，， 是半径， 半径， 即的半径为  【解析】连接OC，由切线的性质得到，进而得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论； 连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用的结论可得，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答． 本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21.【答案】④    108  730人  【解析】解：分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩，覆盖全校不同层次，避免因单一班级或年级的特殊性导致偏差，其他选项均存在局限性如仅抽取一个班级、年级或性别； 故答案为：④； ①总样本容量为， 因此A组的人数， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：150； ②样本容量150，那么中位数为第75，76人成绩的平均数，由于A组人数20人，B组人数57人， 抽取的样本数据中位数所在组别是B组； 故答案为：B； 扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是； 故答案为：108； 人， 答：估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数是730人． 根据抽样调查的可靠性，样本具代表性，即可得出答案； ①根据B组人数及其百分比求出抽取的学生人数，进而可求出A组的人数，即可补全频数分布直方图； ②根据中位数定义求出中位数在第几组； 用乘以C组人数的占比即可求解； 用1500乘以80分以上含80分的人数占比即可求解． 本题主要考查了频数率分布直方图，扇形统计图，中位数，抽样调查的可靠性以及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从频数率分布直方图，扇形统计图中得到准确的信息． 22.【答案】购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元  购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元  【解析】解：设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元 答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元； 设购进A种m个，则B种个，由题意：， ， ， 解得， 且，， 即，m为整数， 设总花费为w元：， ，w随m增大而减小， 取最大值30时，花费最少， 此时：A：30个，B：个， 最少花费：元； 答：购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元． 设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元，利用数量=总价单价，结合玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即购买一个A种机器人玩具的价格，再将其代入中，即可求出购买一个B种机器人玩具的价格； 设购进y个A种机器人玩具，则购进个B种机器人玩具，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，可列出关于y的一元一次不等式，然后结合一次函数求解． 本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数． 23.【答案】，   存在， 由题意得，，AP：， 过点P作x轴的平行线分别交过点A、B和y轴的平行线于点M、N， 则和的相似比为1：2或2：1， 当和的相似比为1：2时， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点；即、点；当和的相似比为2：1时， 同理可得：且， 解得：，， 则、点 综上，、点或、点  【解析】解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 即点， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：； 连接OA、OB， 由一次函数的表达式知，点， 则， 点C为线段AB中点， ， 则； 存在，理由： 由题意得，，AP：， 过点P作x轴的平行线分别交过点A、B和y轴的平行线于点M、N， 则和的相似比为1：2或2：1， 当和的相似比为1：2时， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点； 即、点； 当和的相似比为2：1时， 同理可得：且， 解得：，， 则、点 综上，、点或、点 由待定系数法即可求解； 根据三角形的面积公式和线段中点的定义即可得到结论； 当和的相似比为2，得到且，进而求解．当和的相似比为1：2时，同理可解． 主要考查了反比例函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 24.【答案】  ①；②  【解析】解：将、代入， ， 解得， ； ①当时，， 解得或， ， ，， ，， 是等腰三角形， 平分， 的中点在直线BC上， 的中点为， 直线BC的解析式为， 当时，解得或， ； ②设AB的中点为， 点C的横坐标为m， ， 当时，， ， 解得或， 时为锐角三角形． 用待定系数法求函数的解析式即可； ①判断出是等腰三角形，则AM的中点在直线BC上，求出AM的中点为，可得直线BC的解析式为，直线BC与抛物线的交点为所求； ②设AB的中点为，当时，，可得，解得或，则时为锐角三角形． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25.【答案】1   证明：思路一：在AD的延长线上取点M，使， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ；思路二：在线段DF上取点N，使，CN与DG交于点H， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ∽，    【解析】解：四边形ABCD是正方形，， ，，， ，，，≌， ， 故答案为：1； 解：四边形ABCD是矩形，，，， ，， ，， ，，，∽， ， 故答案为：； 证明：思路一：在AD的延长线上取点M，使， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ； 思路二：在线段DF上取点N，使，CN与DG交于点H， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ； 如图，连接BD，过点C作，，M，N为垂足，CN与DE交于点H，设 ，，，， ≌， ， ， 四边形ANCM是矩形， ，， ， ，又， ∽， ， ，，根据勾股定理得，解得，舍去， ， ， ， ，， ， ∽， 推导≌； 推导∽； 结合提示的信息作出辅助线推导三角形相似； 连接BD，推导≌，过点C作，，设，推导∽，求出a，再推导∽ 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练判定与性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $