2026年山东省济南市济阳区中考数学二模试卷

**基本信息** 2026年济南济阳中考数学二模卷以“科技前沿+文化传承”为情境特色，覆盖初中数学核心知识，梯度设计适配中考复习，突出抽象能力、推理意识与模型意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、图形变换、概率等|以《丙午年》邮票科学记数法、传统纹样对称性考查数感与几何直观| |填空题|5/20|函数、多边形、统计等|正五边形内接等边三角形计算、数据平均数概率问题体现空间观念与数据意识| |解答题|10/90|几何综合、函数应用、统计分析等|人形机器人采购方案、二次函数动态问题考查模型意识，几何变换综合题发展推理能力|

2026年山东省济南市济阳区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，数轴上被遮挡住的整数是(    ) A. 1 B. C. D. 0 2.蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母U，又叫U形磁铁.如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是(    ) A. B. C. D. 3.2026年，农历丙午年，也是马年.中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量.此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 4.中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知、下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，，当时，的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.3月14日是国际数学日.某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏.如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，按如下步骤作图： ①在AC和AB上分别截取AD，AE，使，分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点F，作射线AF； ②分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交射线AF于点P，连接 根据以上作图，若，，则线段BP的长为(    ) A. B. C. D. 10.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过和两点，且点M在点N的左侧，其中，有下列结论： ①； ②； ③若，则； ④关于x的一元二次方程无实根； ⑤点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，都有，则 以上结论正确的有(    ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.若代数式有意义，则x的取值范围是      . 12.如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边，则的度数为      . 13.从这一组数据“2，3，4，7，9”中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为        . 14.黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处.周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”.两人所行路程千米随时间小时变化的图象全程如图所示.当爸爸到达终点时，小明距离终点还有        千米. 15.在▱ABCD中，已知，，点E为BC边上任意一点，将沿直线AE折叠，点B的对应点为，连接，当是以为直角的直角三角形时，则线段的长度为        . 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题7分 计算： 17.本小题7分 解不等式组：，并写出它的所有整数解. 18.本小题7分 已知：如图，在矩形ABCD中，E，F是BC上的点，且，连接AE，求证： 19.本小题8分 如图1是我区路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图.路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面EF，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂AP与路灯AB夹角，折臂PC与底座CD的夹角，上折臂 求折臂转折点P到路灯的距离； 求路灯AB的高. 结果精确到，参考数据：，， 20.本小题8分 如图，已知AB是的直径，，交于点D，CD的延长线交BA的延长线于点 求证：CD是的切线； 若，，求的半径长. 21.本小题9分 2026年5月5日是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织八年级学生观看庆祝大会实况并进行团史学习知识竞赛百分制为了解学生答题情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩成绩用x表示，单位：分，并对数据成绩进行统计整理.数据分为五组： A：； B：； C：； D：； E： 下面给出了部分信息： a：C组的数据： 70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79， b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： 求随机抽取的八年级学生人数； 扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； 请补全频数分布直方图； 抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是______分； 该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数. 22.本小题10分 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音.某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍. 求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ 该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 23.本小题10分 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，D两点. 求a，k的值； 点Q为反比例函数的图象上的点，若是以OQ为斜边的直角三角形，求点Q的坐标； 如图2，点M为直线CD下方反比例函数图象上的一动点，过点M作x轴的平行线交直线CD于点N，过点M作OC的平行线交y轴于点P，连接求面积的最大值，并求出此时点M的坐标. 24.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点 求二次函数的表达式； 如图，直线经过点B交抛物线于点E，点M是线段BE上一点，作轴交抛物线于点N，若，求点M的坐标； 点G为抛物线上的一个动点，且横坐标为n，点H的横坐标为，且线段轴，当线段GH与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围. 25.本小题12分 如图1，在中，，，点D是边AC上一动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转得到射线BF，过点D作交射线BF于点E，连接AE，则的值为______； 如图2，在中，，，点D是边AC上一动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转得到射线BF，过点D作交射线BF于点E，连接若，求AE的长； 如图3，在菱形ABCD中，，，点E是边CD上一动点，将线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为，得到射线BM，过点E作交射线BM于点F，连接当线段DF取得最小值时，求线段CE的长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：观察数轴可知：被遮挡住的整数大于且小于0， ，B，D选项中的数不符合题意，C选项中的数符合题意， 故选： 观察数轴可知：被遮挡住的整数大于且小于0，再根据各个选项中的数进行判断即可． 本题主要考查了数轴，解题关键是熟练掌握有理数的大小比较和整数的定义． 2.【答案】D  【解析】解：这个几何体的俯视图为： 故选： 根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可． 本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键． 3.【答案】B  【解析】解： 故选： 把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 本题考查科学记数法-表示较大的数，关键是掌握用科学记数法-表示较大数的方法． 4.【答案】D  【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断如下： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 5.【答案】A  【解析】解：根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐项分析判断如下： A.，原计算正确，符合题意； B.，原计算错误，不符合题意； C.，原计算错误，不符合题意； D.，原计算错误，不符合题意； 故选： 根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一计算后判断即可． 本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式．熟练掌握以上知识点是关键． 6.【答案】B  【解析】解：根据题意得，， ， ， ， ， 故选： 结合三角形外角性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：取格点H，连接BH， 由图知，，则， ，则， ， ， 是直角三角形，且， ， 则的值为， 故选： 取格点H，连接BH，利用勾股定理及其逆定理得到是直角三角形，且，然后利用正切定义求解即可． 本题考查勾股定理及解直角三角形，构造直角三角形是解答的关键． 8.【答案】B  【解析】解：记三个游戏分别为1，2，3， 列表如下： 1 2 3 1 2 3 可知一共9种情况，其中两人选择相同游戏的结果有3种，即，，， 选择相同游戏的概率， 故选： 画出表格，列出所有等可能的情况数，然后根据概率求解即可． 本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：如图，设AP，BC交于点T，MN交BC于点J，交AB与点L，过点T作于点 由作图可知MN垂直平分线段BC， ， ， ， ，， 由作图可知AP平分CAB， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ≌， ，， ， 设，则有， 解得， ，， ， ，， ∽， ， ， 故选： 如图，设AP，BC交于点T，MN交BC于点J，交AB与点L，过点T作于点证明≌，推出，，，设，利用勾股定理构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出 本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 10.【答案】B  【解析】解：抛物线经过，，且， 对称轴为直线， 抛物线草图如图， ，， ， 故①正确； 对称轴为直线， ， 由图象易得，当时，， 故②正确； ，， ， ， ， 故③正确； ，可写成， 的实根可以看成和交点问题， ， ， 抛物线和直线有两个交点， 即，有两个不相等的实数根， 故④错误； ， 两点的水平距离恒定为2， 由图象可知，当开口向上时，离对称轴越近，则越小， 总有， 点或在顶点处时为临界点， 如在顶点，则时，或时，有最小值， ，， ， ， 故⑤正确； 故选： 由M、N两点可得出对称轴为直线，进而根据所给图象可以画出抛物线草图，即可判断①； 根据对称轴可得到，进而代入特殊值得到，即可判断②； 根据，，，即可判断③； 将有无实根问题转化为和交点问题，即可判断④； 由图象可知，当开口向上时，离对称轴越近，则越小，所以点或有一个在顶点时，取最小值，即可判断⑤． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与x轴的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：代数式有意义， ， 解得：， 故答案为： 根据有意义得出，再求出答案即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，能根据有意义得出是解此题的关键． 12.【答案】  【解析】解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为： 根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可． 此题考查了多边形的内角与外角，等边三角形的性质，掌握等边三角形的每个内角都是和多边形的内角和公式是关键． 13.【答案】  【解析】解：该组数据平均数， 小于该组数据平均数的数有3个， 选中的数小于该组数据平均数的概率为 故答案为： 首先根据已知条件求出已知数据的平均数，然后利用概率公式即可求解． 此题分别考查了概率公式和算术平均数的计算，关键是求出已知数据的平均数，然后利用概率公式即可解决问题． 14.【答案】  【解析】解：由图象可得， 爸爸的速度为：千米/小时， 全程为：千米， 设AB段对应的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即AB段对应的函数解析式为， 将代入，得：， 点B的坐标为， 当时，设小明所行路程千米与时间小时的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，小明所行路程千米与时间小时的函数解析式为， 将代入，得：， 千米， 即当爸爸到达终点时，小明距离终点还有3千米， 故答案为： 根据题意和图象中的信息可以计算出全程和各段对应的函数解析式，再将代入相应的函数解析式，即可得到当爸爸到达终点时，小明距离终点的距离． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 15.【答案】4或  【解析】解：连接AC，过点A作于点H，如图1所示： ， 是直角三角形， 在中，， ， ， 由勾股定理得： ， ， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当点E于点C重合时，由翻折性质得：，， ， 是以为直角的直角三角形，如图2所示： 此时点在平行四边形ABCD的外部，线段的长度为4； 当点E在BC上，点在平行四边形ABCD的内部时，延长交AD于点F，如图3所示： 为直角， ， 四边形ABCD是平行四边形， ， ，， ，， 和都是直角三角形， 在中， ， ， 由勾股定理得： ， ， ，， 由折叠性质得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 综上所述：线段的长度为4或 故答案为：4或 连接AC，过点A作于点H，解得，，进而得，则是等腰直角三角形，则，由此得当点E于点C重合时，由翻折性质得，，则，符合题意，此时点在平行四边形ABCD的外部，线段的长度为4；当点E在BC上，点在平行四边形ABCD的内部时，延长交AD于点F，解得，，进而得，在中，由勾股定理求出得，综上所述即可得出线段的长． 此题主要考查了图形的翻折变换，平行四边形的性质，解直角三角形，理解图形的翻折变换，熟练掌握平行四边形的性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 16.【答案】  【解析】解： 先根据二次根式的性质，乘方，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行化简，再计算即可． 本题考查了实数的运算等知识点，熟练掌握运算方法是解此题的关键． 17.【答案】不等式组的所有整数解为、0、1、  【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为、0、1、 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案． 本题考查的是解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18.【答案】四边形ABCD是矩形， ，， 点E，F是BC上的点，且， ， ， 在和中， ， ≌，   【解析】证明：四边形ABCD是矩形， ，， 点E，F是BC上的点，且， ， ， 在和中， ， ≌， 由矩形性质得，，再证明，进而可依据“SAS”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 19.【答案】折臂转折点P到路灯的距离为  路灯AB的高约为  【解析】解：如图，过点P作于点G， 在中，，， ， ， ， 答：折臂转折点P到路灯的距离为； 如图，过点P作于点H，过点C作于点Q， ， 又， 四边形CDHQ是矩形， ，， ， 四边形BHPG是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 答：路灯AB的高为 根据题意，结合图形，在中求出AP长，根据，得到结果； 结合图形，在中求出PQ，在中求出AG，即可得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 20.【答案】证明：如图，连接OD，设OC与BD相交于点F， ，， ， 又， 是BD的垂直平分线， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 为半径， 是的切线  3  【解析】证明：如图，连接OD，设OC与BD相交于点F， ，， ， 又， 是BD的垂直平分线， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 为半径， 是的切线； 解：由知， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， 设的半径为r， ， 由知CD是的切线， ， 由勾股定理得， ， 解得，即的半径为 连接OD，设OC与BD相交于点F，根据等腰三角形三线合一得出，于是得出OC是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，，即可得出，根据即可得证； 先求出DC的长，即可得出CE的长，再利用勾股定理求出BE的长，设的半径为r，在中利用勾股定理即可求出r的长． 本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 21.【答案】50人  72   77  约378人  【解析】解：人， 答：随机抽取的八年级学生人数为50人； 扇形统计图中B组所对应扇形的圆心角为， 故答案为：72； 组频数，补全频数分布直方图如图所示： 从小到大排列，第25、26个数据分别为76分，78分， 中位数为分， 故答案为：77； 人， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数约378人． 用频数分布直方图中A的频数除以扇形统计图中A的百分比可得抽取的人数； 用B组的频数除以总人数，再乘，求出B组对应扇形的圆心角度数； 可求出成绩为D：的人数，补全频数分布直方图即可； 根据中位数的定义可得答案； 根据用样本估计总体，用900乘样本中D组和E组的人数所占的百分比，即可得出答案． 本题考查频数率分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键． 22.【答案】购买甲种机器人需60万元，乙种机器人需65万元  该公司购进甲种机器人26台时花费最少，最少费用是2470万元  【解析】解：设乙种机器人需x万元，则购买甲种机器人需万元， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲种机器人需60万元，乙种机器人需65万元； 由题意，设该公司购进甲种机器人m个， 则乙种机器人个， 甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍， 且m为整数． 又设购买费用为W万元， 又， 随m的增大而减小． 当时，购买费用最少，最少费用万元 答：该公司购进甲种机器人26台时花费最少，最少费用是2470万元． 设购买一个乙种机器人需x万元，则购买一个甲种机器人需万元，再根据“甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程并求解即可； 设该公司购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个，则，可得且m为整数，又设购买费用为W万元，从而，结合，从而可以得解． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 23.【答案】，    面积的面积有最大值10，此时  【解析】解：将代入中， ， 解得， ， 点在反比例函数图象上， ； ， ， 设， 是以OQ为斜边的直角三角形， ，即， 解得舍或， ； 设， 轴， ， 直线OC的解析式为， ， 直线MP的解析式为， ， 面积， 当时，面积的面积有最大值10，此时 代入法求a、k的值即可； 设，根据是以OQ为斜边的直角三角形，可得，求出m即可求点； 设，则，求出直线OC的解析式为，则直线MP的解析式为，得到，再由面积，当时，面积的面积有最大值10，此时 本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． 24.【答案】    或  【解析】解：将，代入， ， 解得， ； 将代入， ， ， 设，则， ，轴， ， 解得或， ； 由题可知，， ， 对称轴为直线， 当时，线段GH与抛物线有两个公共点； 当H点在抛物线上时，， 解得， 时，线段GH与抛物线有两个公共点； 综上所述：或时，线段GH与抛物线有两个公共点． 用待定系数法求函数的解析式即可； 设，则，根据题意可得，求出m点坐标即可 由题可知，，当时，线段GH与抛物线有两个公共点；当H点在抛物线上时，，则或时，线段GH与抛物线有两个公共点． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，找到线段与抛物线有两个交点的临界情况是解题的关键． 25.【答案】    【解析】解：在等腰直角三角形ABC中，， 由旋转可知， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∽， ， 故答案为：； 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 如图，过点C作于点G，连接FG， 四边形ABCD是菱形， ， 又，， ， ，， ∽， ， ， 又， ， ， ， ， ∽， ，， 四边形ABCD是菱形， ， ， 又， ， 的角度大小不变，点F在的边GF上运动， 当时，DF取得最小值在中， 由勾股定理得，， 过点A作， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，， 当时，DF取得最小值， 在中，， 易证∽，即可得解； 证∽，即可得解； 过点C作于点G，连接FG，易得，证∽，再证∽，可得的角度大小不变，点F在的边GF上运动，据此求解即可． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $