精品解析：2025年山东省济南市济阳区中考二模数学试题

九年级模拟考试 数学试题 本试卷共8页．满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图是用6个大小相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 根据从左面看得到的图形是左视图即可得到答案． 【详解】解：从左面看，可以看到图形分为上下两层，下面一层有两个小正方形，上面一层左边有一个小正方形， 故选：A． 2. 华为Mate605G手机采用的是国产麒麟9000S芯片，它能在1平方厘米的尺寸上集成12100000000个晶体管，将12100000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 3. “巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 4. 已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、单项式除以单项式、同底数幂的乘法，根据合并同类项法则；幂的乘方：底数不变，指数相乘；单项式除以单项式法则；同底数幂相乘：底数不变，指数相加；逐项计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项原计算错误，不符合题意； B、，故此选项原计算错误，不符合题意； C、，故此选项原计算正确，符合题意； D、，故此选项原计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 在同一平面内，将直尺、含 角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由 ，可得，即可求解． 【详解】∵ ， ∴， ∵ ，则， ∴， 故选：A． 7. 已知函数的图象经过点，，如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，正确判断出反比例函数图象经过的象限是解题的关键． 先判断进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 故选：B． 8. 周末早上，小康和小明两人准备从澄波湖公园、黄河公园、安大广场三个景点中分别选择一个景点游玩，他们两人去同一景点游玩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，解题的关键是掌握概率公式．设分别用A、B、C表示澄波湖公园、黄河公园、安大广场三个景点，画树状图得出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示澄波湖公园、黄河公园、安大广场三个景点，画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人抽到同一景点的结果数有3种， 所以他们两人去同一景点游玩的概率是， 故选：A 9. 如图，矩形 中，（1）分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点G和H，作直线交 于点E；（2）以点E为圆心，以 的长为半径画弧，再以点A为圆心，以 的长为半径画弧，两弧交于点M，连接并延长交 于点N．若， ，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】现根据由作图和矩形的性质可知，得到为 的垂直平分线，，，结合等腰三角形的性质得出，再根据互余的性质可得，，设，根据勾股定理可列，带入数值求值即可得的长． 【详解】解：如图，连接 ，，， 由作图和矩形的性质可知，为 的垂直平分线，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、全等三角形的性质、矩形的性质及等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键． 10. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段 与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查“叠梦点”的新定义，函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点，确定“叠梦二次函数”的解析式为，确定，当点 在点 上方时，线段 与抛物线有且只有一个交点；当点 在点时，线段 与抛物线有且只有一个交点， 【详解】解：设“叠梦二次函数”的解析式为，且图象过点， ， 解得：， ∵这个“叠梦二次函数”的图象顶点在第一象限， ∴， ， ， ， ∴点 在直线 上运动， 设直线 与“叠梦二次函数”交于点 ， 当 时，， ， 二次函数的顶点为， ， ∴当点 的坐标为时，此时点与抛物线顶点共线且与二次函数的图象只有一个交点，即；当点 在点 上方时，线段 与抛物线有且只有一个交点，即； ∴当线段 与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 故选：B． 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 化简：结果为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 12. 在一个不透明的盒子里装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外完全相同，任意摸出一球，摸到红球的概率是，则盒子中球的总个数是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，由此列式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：盒子中球的总个数是（个）， 故答案为： ． 13. 如图，为正六边形，为正方形，则图中的度数为_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的性质，熟悉掌握正多边形的内角运算方法是解题的关键． 利用正多边形的内角度数求法运算出正六边形和正方形的内角度数，即可得到的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理运算求解即可． 【详解】解：∵为正六边形，为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 近年新能源汽车越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线：用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象是线段 ．若该汽车电池电量从充至，则快速充电器比普通充电器少______h． 【答案】（或1.5） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，分别利用待定系数法求出线段 对应的函数关系式为，线段 对应的函数关系式为，再结合题意求解即可，正确求出函数解析式是解此题的关键． 【详解】解：设线段 对应的函数关系式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴线段 对应的函数关系式为， 设线段 对应的函数关系式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴线段 对应的函数关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∵， ∴快速充电器比普通充电器少， 故答案为：． 15. 在菱形 中， ，将沿 翻折至，， 的延长线分别交 于H，G两点，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质以及解直角三角形分别求出，，，再结合勾股定理得，因为折叠，得，，，，运用勾股定理得出，，，，再证明，运用两个相似三角形的高的比等于相似比列式化简，即可作答． 【详解】解：分别过点 ， 作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示： ∵四边形 是菱形， ∴， ，， ∵ ∴， ∴在中，，即， ∴， ∵，的延长线，的延长线， ∴， ∵， ∴在中，，， 即，， ∴，， 在中，， ∴， ∵将沿 翻折至，， 的延长线分别交 于， 两点， ∴，，，， ∴， 即， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的性质，勾股定理，难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握零指数幂和负整指数幂运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算乘方与开方，并求绝对值和特殊角三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】原不等式组的解集是，整数解为，0，1，2 【解析】 【分析】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，先解不等式中的两个不等式，再确定解集的公共部分，得到不等式组的解集，最后确定整数解即可． 【详解】解：， 由①得，， 解得：， 由②得，， 解得： ， ∴原不等式组的解集是， ∴整数解为，0，1，2． 18. 如图，是的对角线， 于点 ，于点 ．求证：． 【答案】 证明： ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形对边相等且相互平行，可得，，根据两直线平行，内错角相等哥得：，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可证． 【详解】略 19. 2025年是“健康体重管理年”，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械．如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点B，C，G在同一直线上，，，． （1）当在初始位置时，求点D到 的距离； （2）当双腿伸直后，点E，D分别从初始位置运动到点，，假设，，C三点共线，求此时点E上升的竖直高度． （结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键． （1）过点D作于点H，根据题意可得，然后根据锐角三角函数解答即可； （2）过点E作于N，过点作于点M，根据锐角三角函数可得 长，从而得到长，再根据题意可得，即可求解． 【小问1详解】 解：过点D作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D到 的距离约为； 【小问2详解】 解：过点E作于N，过点作于点M， ∵，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ， ∴点E上升的竖直高度约为． 20. 如图，是 的直径，点E，F是 上的点且位于直径的两侧（点E位于左侧），连接 ， ，过点B作 的切线 分别交 ， 的延长线于点C，D，若． （1）求证：； （2）若，，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是 的直径， ， ， ， 与 相切于点 ， ， ， ， ， 又， ， 与所对的弧是同弧， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先证，，可得，进而导角可得，即可得证； （2）证，得，据此求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， 又， ， ， ， ， 在中， 设：，，则：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21. 随着人工智能技术的快速发展，已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“交互设计”“工程实践”“综合技能”“创新挑战”“轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）求随机抽取学生人数； （2）将条形统计图补充完整； （3）表示“综合技能”的扇形的圆心角度数为______度； （4）学校对有意向参加“创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 4 6 8 3 1 则这组数据的平均数是______，中位数是______，众数是______； （5）若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“轨迹普及”社团课程的学生有多少人？ 【答案】（1）60人 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）108 （4）90.5，91，92 （5）180人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中的数据求出总人数； （2）总人数减其他各项人数得的人数，继而补全图形即可； （3）利用乘 “综合技能”占比计算出扇形图中“综合技能”的度数； （4）先计算总分数再除以总人数即可为平均分，先将分数进行排序后即可求出中位数，观察表格人数最多的即为分数的众数； （5）总人数乘以“轨迹普及”的占比，即为答案． 【小问1详解】 解：（人） 答：随机抽取学生人数为60人； 【小问2详解】 解：C的人数：（人）； 【小问3详解】 解：表示“综合技能”的扇形的圆心角度数为； 故答案为：108； 【小问4详解】 解：这组数据的平均数是（分）， 中位数是（分），众数是92分； 故答案为：90.5，91，92； 【小问5详解】 解：（人）， 答：估计最有意向参加“轨迹普及”社团课程的学生有180人． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图数据统计问题，补全条形统计图，求圆心角度数，平均数，众数，中位数定义，根据样本估算总体等． 22. 为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． （1）求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． （2）若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元． （2）购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的方程，函数关系和不等式是解题的关键． （1）设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元，根据采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元建立二元一次方程组求解； （2）设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元，根据“总利润太阳帽的利润太阳伞的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元； 【小问2详解】 解：设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元， 购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍， ， 解得， 根据题意，得， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为， 此时， 答：购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 23. 如图，四边形是菱形，点 的坐标为，点 在反比例函数的图象上，与轴正方向的夹角为 ，且，点 为反比例函数图象上的一个动点，过点 作，交直线于点 ，过点 作，交轴于点 ，连接 ． （1）求反比例函数的表达式和点 的坐标； （2）若的面积为，求点 的坐标； （3）反比例函数图象上是否存在一点 ，使是等腰三角形，若存在，请求出点 的坐标和腰长：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，点A的坐标为 （2） （3）点 的坐标是，腰长或点 的坐标为，腰长 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与结合图形综合，菱形的性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理和等腰三角形的定义，熟练掌握反比例数的性质是解题的关键； （1）设直线交轴于点 ，根据菱形的性质，，，在中，，设，，进而得出点 的坐标为，即可求解； （2）①当点 在直线左侧的反比例函数上时，延长交轴于点，根据，设，则，，得出，由，结合的面积为，建立方程，解方程求解；②当点 在直线右侧的反比例函数上时，同理建立方程解方程，即可求解； （3）①当点 在直线左侧的反比例函数上时得出点 的坐标为，腰长，与，这两种情况不存在；②当点 在直线右侧的反比例函数上时，根据勾股定理得出点 的坐标为，腰长， 与，这两种情况不存在． 【小问1详解】 解：设直线交轴于点 ，如图： ∵点， ∴， ∵四边形是菱形， ，，， ∴轴，即轴， 在中，， 设，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 点 的坐标为， 点 在反比例函数的图象上， ； 反比例函数的解析式为，点 的坐标为 【小问2详解】 ①当点 在直线左侧的反比例函数上时，延长交轴于点， 轴，， 轴， ， ， 轴， ， ， ， 设，则，， ，即： 点 在反比例函数的图象上， ， ， 整理得：， 此方程无解，此时不存在 ②当点 在直线右侧的反比例函数上时 同理： 整理得： 解得：（舍），， 综上所述：点 的坐标是 【小问3详解】 ①当点 在直线左侧的反比例函数上时 若 ，，解得， 点 的坐标为，腰长 与，这两种情况不存在 ②当点 在直线右侧的反比例函数上时 ， 在中，由勾股定理得， 解得： 点 的坐标为，腰长 与，这两种情况不存在 综上所述：点 的坐标是，腰长 或点 的坐标为，腰长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接 ，点P为线段 上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接AP交抛物线于点D，连接 ，的面积记为，的面积记为，当取得最大值时，求点D的坐标； （3）如图2，连接，在线段上取点F，使，连接 ，当取最小值时，请求出此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作轴，交 于点E，过点A作轴，交 延长线于点F，证明得出，待定系数法求出直线 的解析式为，设，则，求出得出，再由二次函数的性质即可得解； （3）过点C作轴，且，连接，由勾股定理可得，证明，得出，从而可得，当O、P、M三点共线时，取最小值，最后由正切的定义计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， 解得： ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， 过点D作轴，交 于点E，过点A作轴，交 延长线于点F， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ 设直线 解析式为， 把，代入解析式得： 解得， ∴ 的解析式为 ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴ ∴， ∴时，取得最大值，此时点D的坐标为 【小问3详解】 解：过点C作轴，且，连接，如图 ∵，， ∴， ∵轴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 当O、P、M三点共线时，取最小值， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正切的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25. 在 中，，，点D是边上一点，连接 ，在 右侧作，使，，连接． 【问题初探】 （1）如图1，当时，请判断线段和线段的数量关系并给出证明； 小亮同学从时， 与均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证得到，从而得到结论； 小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段上截取，连接，通过证明，将线段转化为线段； ①线段和线段 D的数量关系为______； ②请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程； 【类比研究】 （2）如图3，当，， ，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，当时，过点C作交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）①； ②证明：方法一： ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， 即． 方法二：如图， 在上截取， ，． ． ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据，得出，证明，得出，即可得，从而证出，得出，，即． 方法二：如图，在上截取，得出，从而得，根据 ，得出，证明，结合，证明，得出，即可证． （2）证明，得出，再证明，得出，，即可求解． （3）如图，过点 做，交的延长线于点 ，根据，得出，在中，求出，证明，得出，证明，得出，，设，则，表示出，证明，得出，表示出，再列方程即可求解． 【详解】（1）解：①； ②略 （2）， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， ． （3）解：如图， 过点 作，交的延长线于点 ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， ，解得：， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级模拟考试 数学试题 本试卷共8页．满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图是用6个大小相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 华为Mate605G手机采用的是国产麒麟9000S芯片，它能在1平方厘米的尺寸上集成12100000000个晶体管，将12100000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 在同一平面内，将直尺、含 角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象经过点，，如果，那么（ ） A. B. C. D. 8. 周末早上，小康和小明两人准备从澄波湖公园、黄河公园、安大广场三个景点中分别选择一个景点游玩，他们两人去同一景点游玩的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形 中，（1）分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点G和H，作直线交 于点E；（2）以点E为圆心，以 的长为半径画弧，再以点A为圆心，以 的长为半径画弧，两弧交于点M，连接并延长交 于点N．若， ，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“叠梦点”，例如就是“叠梦点”，若二次函数图象的顶点为“叠梦点”，则我们称这个二次函数为“叠梦二次函数”，例如二次函数就是“叠梦二次函数”，若“叠梦二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限，过点，的线段 与这个“叠梦二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 化简：结果为______． 12. 在一个不透明的盒子里装有6个红球和若干个白球，每个球除颜色外完全相同，任意摸出一球，摸到红球的概率是，则盒子中球的总个数是______． 13. 如图，为正六边形，为正方形，则图中的度数为_____． 14. 近年新能源汽车越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线：用普通充电器时，汽车电池电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象是线段 ．若该汽车电池电量从充至，则快速充电器比普通充电器少______h． 15. 在菱形 中， ，将沿 翻折至，， 的延长线分别交 于H，G两点，若，，则的值为______． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 如图，是的对角线， 于点 ，于点 ．求证：． 19. 2025年是“健康体重管理年”，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械．如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点B，C，G在同一直线上，，，． （1）当在初始位置时，求点D到 的距离； （2）当双腿伸直后，点E，D分别从初始位置运动到点，，假设，，C三点共线，求此时点E上升的竖直高度． （结果精确到，参考数据：，，，，，） 20. 如图，是 的直径，点E，F是 上的点且位于直径的两侧（点E位于左侧），连接 ， ，过点B作 的切线 分别交 ， 的延长线于点C，D，若． （1）求证：； （2）若，，求 的长． 21. 随着人工智能技术的快速发展，已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“交互设计”“工程实践”“综合技能”“创新挑战”“轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）求随机抽取学生人数； （2）将条形统计图补充完整； （3）表示“综合技能”的扇形的圆心角度数为______度； （4）学校对有意向参加“创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 4 6 8 3 1 则这组数据的平均数是______，中位数是______，众数是______； （5）若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“轨迹普及”社团课程的学生有多少人？ 22. 为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． （1）求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． （2）若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 23. 如图，四边形是菱形，点 的坐标为，点 在反比例函数的图象上，与轴正方向的夹角为 ，且，点 为反比例函数图象上的一个动点，过点 作，交直线于点 ，过点 作，交轴于点 ，连接 ． （1）求反比例函数的表达式和点 的坐标； （2）若的面积为，求点 的坐标； （3）反比例函数图象上是否存在一点 ，使是等腰三角形，若存在，请求出点 的坐标和腰长：若不存在，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接 ，点P为线段 上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接AP交抛物线于点D，连接 ，的面积记为，的面积记为，当取得最大值时，求点D的坐标； （3）如图2，连接，在线段上取点F，使，连接 ，当取最小值时，请求出此时的值． 25. 在 中，，，点D是边上一点，连接 ，在 右侧作，使，，连接． 【问题初探】 （1）如图1，当时，请判断线段和线段的数量关系并给出证明； 小亮同学从时， 与均为等腰直角三角形，这个条件出发给出如下解题思路：通过证得到，从而得到结论； 小新同学从猜想的结论出发给出另一种解题思路：如图2，在线段上截取，连接，通过证明，将线段转化为线段； ①线段和线段 D的数量关系为______； ②请你选择自己喜欢的解题思路，写出证明过程； 【类比研究】 （2）如图3，当，， ，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，当时，过点C作交于点F，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $