命题大赛 广西2025-2026学年下学期高二期中测试数学试题

**基本信息** 以2026春晚为情境载体，融合圆锥曲线、导数等核心内容，通过非遗舞蹈分配、LED大屏椭圆等真实问题考查数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|概率统计（抽奖）、空间向量、导数单调性|情境化（音波函数）与基础结合| |填空题|3/15|计数原理（节目排法）、导数最值（灯光函数）|实际问题数学化（烟花抛物线）| |解答题|6/77|椭圆弦长（LED大屏）、导数不等式（热度函数）|综合应用与逻辑推理，如双曲线与直线位置关系题|

2026年春季期高二年级期中数学试题命题细目表 模块 题型 题号 具体考点 难度系数 分值 备注（命题关联场景） 概率统计 单项选择题 1 古典概型（等可能事件概率计算） 0.9易 5 2026 春晚舞者舞台分配 空间向量 单项选择题 2 空间向量数量积运算 0.85易 5 向量基础运算考查 导数 单项选择题 3 导数的计算（音波函数求导） 0.75中 5 2026 春晚歌曲音波函数 圆锥曲线（圆锥） 单项选择题 4 圆锥侧面积公式与高的计算 0.75中 5 圆锥几何性质应用 计数原理 单项选择题 5 组合数计算（不同红包抽取） 0.85易 5 2026 春晚互动抽奖 圆锥曲线（椭圆） 单项选择题 6 椭圆标准方程（焦点在 x 轴，结合短轴、离心率） 0.75中 5 椭圆基础性质综合 导数 单项选择题 7 利用导数求函数单调递减区间 0.65中 5 导数应用核心考点 圆锥曲线（双曲线） 单项选择题 8 双曲线渐近线与离心率关系 0.65中 5 双曲线性质关联考查 概率统计 多项选择题 9 数据的基本特征 0.75中 6 结合春晚评委打分场景 圆锥曲线 多项选择题 10 圆锥曲线方程相关结论判断 0.5难 6 2026 春晚大屏圆锥曲线展示 导数 多项选择题 11 导数与函数极值的关系结论判断 0.5难 6 导数核心性质综合辨析 计数原理 填空题 12 排列组合（不相邻问题，歌舞与语言类节目排序） 0.65中 5 2026 春晚节目单排序 导数 填空题 13 利用导数求函数最大值（灯光能量函数） 0.65中 5 2026 春晚舞台灯光能量模型 圆锥曲线（抛物线） 填空题 14 抛物线顶点纵坐标（烟花飞行轨迹） 0.65中 5 春晚除夕烟花轨迹应用 概率统计 解答题 15 （1）组合数与古典概型（抽取节目概率）；（2）对立事件概率（至少 1 个语言类节目） 0.65中 13 2026 春晚节目满意度调查 导数 解答题 16 函数导数综合应用，侧重导数运算、单调性、最值等综合应用 0.5难 15 导数综合题型考查 圆锥曲线（椭圆） 解答题 17 （1）椭圆标准方程求解（结合长轴、离心率）；（2）直线与椭圆相交弦长计算 0.4难 15 2026 春晚巨型椭圆 LED 大屏模型 圆锥曲线（双曲线） 解答题 18 （1）双曲线离心率与渐近线方程；（2）直线与双曲线位置关系（交点个数求参数范围） 0.4难 17 双曲线综合性质与直线方程结合 导数 解答题 19 （1）导数单调区间；（2）导数与不等式恒成立问题（求参数范围） 0.3难 17 2026 春晚热门话题热度函数模型 合计 - - - - 150 - 说明： 1. 难度等级划分：易（基础知识点直接应用，无复杂推理）、中（知识点综合应用，需简单逻辑推理）、难（知识点深度融合，需复杂推理或多步骤运算）。 1. 模块划分严格依据试卷标注的核心考查内容（圆锥曲线、导数、计数原理、概率统计）。 1. 命题场景均关联 2026 春晚相关元素，符合试卷设计主题，细目表覆盖所有题目，分值与题型对应一致。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春季期 高二年级期中教学质量监测数学答案 一、选择题 1.B2.A 3.A 4.B 5.A 6.A 7.A8.C 二、多选题 9.ABC 10.ABD 11.ABC 三、填空题 12.4 13.24 14.5V3+1m 15.解： 15, (1)总基本事件数：从12个节目中选4个，n=C=12x11×10x9-4953分) 4×3×2×1 目标事件数：恰好3个歌舞类+1个语言类， 歌舞类选3个：C=7x6x5=35,语言类选1个：C=5 3×2×1 m=C×Cg=35×5=175(6分 概率计算：P=”-15-357分) m49599 (2)采用对立事件转化："至少1个语言类"的对立事件是"无语言类（全是歌舞类）" 对立率#摄：可-号-积-司0剂 目标楼率-P回=1器3分剂 16. (1)将x=1代入f(x),得f1)=13-3×13+2×1+1=1 故切点为(1,1(2分】 对f(x)进行求导，f'(x)=3x2-6x+2 所以，f'(1)=3-6+2=-1(4分) 由点斜式得，y-1=-1×(x-1),化简得x+y-2=0(6分) (2)由(1)可知f'(x)=3x2-6x+2 令=a解=1±57分列 当x<1-5或r>1+5时，>0，函数单调递增 3 3 当13 3<x<1+3时，严x<0,函数单调递减(9分 3 故函数f(x)单调递增区间为 单调递减区间为 11分) （3)因为区间端点x=0,3和导数零点x=1±5（均在0,3内12分） 所wo小1得-号：-多-74纷剂 所以函最大值为灯3到=最小值为对号-音5分】 17. 们由题意可知2a=25.e后2分) a=5,c=54纷) r-6e治6-】 一楼桥图的标准方得为号号-7分) 2 (2)椭圆右焦点为(c,0) ∴.过右焦点，斜率为1的直线方程为y=x- 5(9分 y=x- 由 2 ,消去y得7x2-43x-6=0(11分)） x2 4y2 3+ =1 9 设直线与椭圆相交的两点A(x,y),B(x2,y2) 4V5 x1+X2= 则 (13分) 56 7 |AB到=V1+k2Vx+x2)2-4xx2(14分) -2915 18. 们由双自线方程写-少=网 ∴.a=2,b=12分） 由a2=b2+c2得，c=Va2+b2=V5(3分) e==54纷】 a 2 :焦点在x轴上的双曲线渐近线方程为y±(5分) 即与6州 y=x-1 2由少 消去得日+2-2=0s分剂 直线与双曲线相交有两个不同交点需满足： 第一：二项式系数不为0 即gR+0→k幸±0分剂 3 第二：判别式△>0 即A-22-4[任X-2 -4+8G>0 4k2+2>0→2<)13分) 综上所述： 兰（分 19 (1当a=l时，f(x=e-x,则 所以f'(x)=e-1,令f'(x=0,解得x=0(2分) 当x>0时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增 当x<0时，'(x)<0,函数f(x)单调递减(4分) 所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)， f(x)的单调递减区间为(-0,0)(5分) (2)由题意可知，对任意x≥0，恒有f(x)=e-ax≥1 所以f'(x=e-a(6分)】 当a≤1时，因为x≥0，所以e≥1≥a 于是f'(x=e-a20 故f(x)在[0，+oo)上单调递增8分） f(x)≥f(0)=1满足题意 当a>1时，令f'(x)=0,得e=a9分） 即x=lna10分） 当0<x<lna时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>lna时，f'(x)>0,f(x)单调递增11分) 因此f(x)在x=lna处取得极小值，也是最小值 f(lna=ena-alna=a(1-lna(13分） 要使f(x)≥1对任意x≥0恒成立，只需最小值满足 a(1-lna≥1 令h(a=a(1-lna-l,则h'(a=-lna 当a>1时，'(a<0,故h(a在(1，+oo上单调递减： 又h(1=0,所以当a>1时，h(a<0(15分） 即a(1-lna<1,不满足题意 综上所述，实数a的取值范围为(-oo,l(17分) 2026年春季期高二年级期中教学质量监测试题 数 学 科 试 题 考生注意： 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:圆锥曲线、导数、计数原理、概率统计。 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个答案中有且只有一 个答案是正确的．） 1．2026春晚非遗舞蹈有4名舞者，随机分配到左右两个舞台，每人任选其一，则4人全部在左侧舞台的概率为（ ） A. B. C. D. 2．已知空间向量=(2,−1,3)，=(1,2,−1)，则=（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 3. 2026春晚歌曲音波函数,则=（ ） A. B. C. D. 4．已知圆锥底面半径为，侧面积为，则圆锥的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 2026春晚互动抽奖，从个不同红包中抽取个，不同抽取方法种数为(　 　) A. 120 B.60 C. 30 D. 20 6．焦点在轴上，短轴长为，离心率的椭圆标准方程为(　　)． A. B. C. D. 7. 函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 8．2026春晚方阵双曲线，渐近线，则离心率=(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在共小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 春晚评委打分：下列正确的是(　　) A. B. C. D. 10．2026春晚大屏圆锥曲线方程，说法正确的是 （ ） A． B. C． D． 11. 关于导数与函数极值，结论正确的是（ ） A． B. C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡上） 12. 春晚节目单：有5个歌舞、3 个语言类，语言类互不相邻，不同排法共 种. 13. 2026春晚舞台灯光能量函数,则函数的最大值为 . 14. 春晚除夕烟花飞行轨迹近似抛物线，则烟花升空最高点纵坐标为 . 四、解答题(本大题共6小题，共77分) 15.【13分】2026春晚语言类节目5个，歌舞类节目7个，随机抽取4个节目做观众满意度调查。(1) 求恰好抽到 3 个歌舞类节目的概率； (2) 求至少抽到 1 个语言类节目的概率. 16.【15分】已知函数. ​ （1） （2） （3） 17． 【15分】2026春晚巨型椭圆LED大屏，中心在原点，焦点在轴，长轴长 ，离心率. (1) 求该椭圆标准方程； (2) 过椭圆右焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，求弦长. 18.【17分】已知双曲线. (1) 求双曲线的离心率与渐近线方程； (2) 若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围. 19.【17分】大数据显示，2026春晚某热门话题热度函数为. （1） （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $