精品解析：广西贵港市桂平市2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2025年春季学期高中二年级期中教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册至选择性必修第三册7．2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部和虚部之和是（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法求出，进而求出其实部、虚部得解. 【详解】依题意，，其实部，虚部为10， 所以所求和为8. 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用指数函数单调性得出集合A，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 3. 的展开式的第7项为（ ） A. B. 35 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开式通项写出第7项即可． 【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以的展开式的第7项为． 故选：A． 4. 有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本平均数和方差的性质，即可求解. 【详解】根据样本数据平均数公式可知，，方差. 故选：C 5. 已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 6. 已知正项等比数列前项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】应用，再结合等比数列基本量运算计算求解. 【详解】等比数列的前项和为， 因，则， 所以， 因为，所以， 所以或舍， 所以. 故选：C. 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合双曲线的定义求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由题意得得， 在中，由余弦定理得， 得，则， 得（负值舍去）． 故选：C 8. 甲、乙、丙三人各自计划去上海旅游，他们在4月21日到4月23日这三天中的一天到达上海，他们在哪一天到达上海相互独立，且他们各自在4月21日到4月23日到达上海的概率如下表所示： 4月21日 4月22日 4月23日 0.2 0.3 0.5 若甲、乙两人在同一天到达上海的概率小于甲、丙两人在同一天到达上海的概率，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式分别求得，，再由，解不等式即可求解. 【详解】设甲、乙两人在同一天到达上海的概率为，甲、丙两人在同一天到达上海的概率为． 根据全概率公式可得： ， ． 由，得，即， 又， 所以． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】求出变换之后得到的的解析式，依次代入选项判断可得结果. 【详解】依题意可得， 对于A，因正弦函数的值域为，则，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，由，可得，则在上先增后减，故D错误． 故选：AC. 10. 在数列中，，对任意，则（ ） A. B. 为递增数列 C. 为等差数列 D. 【答案】ABD 【解析】 分析】令，可得，可判断BC；利用累加法求出可判断A；进而利用裂项相消法求和可判断D. 【详解】令，则，所以，所以为递增数列，不是等差数列，故B正确，C错误； 由，，，， 累加得：， 所以，故， 而也符合该式，故，所以，故A正确； 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵中，，则（ ） A. 当时，四面体为鳖臑 B. 当时，四面体为鳖臑 C. 当时，四面体外接球的表面积为 D. 当时，堑堵体积的最大值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用鳖臑的定论，结合线面垂直的判定性质判断AB；求出外接球半径计算判断C；求出体积关系，结合基本不等式求得最大值判断D. 【详解】对于A，在堑堵中，平面，平面， 则，又，平面， 因此平面，而平面，于是， 四面体的四个面均为直角三角形，即四面体为鳖臑，A正确； 对于B，过作于，连接，由，得在线段上（除点）外， 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是，均为锐角， 同理也为锐角，即是锐角三角形，四面体不是鳖臑，B错误； 对于C，当时，为中点，，， 由，得，四面体的外接球即为堑堵的外接球， 平面与平面截该外接球的截面小圆平行且全等，则球心到截面的距离， 而外接圆半径，因此该外接球半径，该球的表面积为，C正确. 对于D，，则，令，由，得， 堑堵体积， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则________，是________函数（填入“奇”或“偶”或“非奇非偶”中的一个）． 【答案】 ①. 3 ②. 偶 【解析】 【分析】直接计算即可，利用偶函数的定义来证明即可． 【详解】． 因为的定义域为， ， ， 所以是偶函数， 故答案为：3；偶． 13. 若函数有两个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，通过求导确定其单调性，确定最值，即可求解. 【详解】令，得． 设，则． 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减； 所以． 当时，，当时，，又， 所以的取值范围是． 故答案为： 14. 从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为________，能被3整除的四位数的个数为________． 【答案】 ①. 72 ②. 120 【解析】 【分析】空一：通过捆绑法即可求解，空二：先确定四个数各位数之和为3的倍数的个数，再通过全排列求解即可. 【详解】由捆绑法可得2与3相邻的四位数的个数为． 要使组成的四位数能被3整除，则该四位数各位数之和为3的倍数， 取出的四个数各位数之和为3的倍数的情况有，，，，，共5种， 所以组成的四位数能被3整除的个数为． 故答案为：72；120 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解， （2）根据面积公式即可求解， （3）利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 则， 即，即， 在中，，则． 【小问2详解】 在中，由，得， 所以的面积． 【小问3详解】 由， 得， 所以的周长为． 16. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． （1）求的方程； （2）求以为直径的圆的标准方程； （3）设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算求出椭圆的焦点，再结合抛物线的焦点得出抛物线方程； （2）根据为直径得出圆心及半径即可得出圆的方程； （3）先联立方程组，再应用弦长公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以的右焦点坐标为， 所以，即， 所以的方程为． 【小问2详解】 依题意得的坐标为， 所以线段的中点坐标为． 因为以为直径的圆的半径， 所以以为直径的圆的标准方程为． 【小问3详解】 依题意可得直线的方程为． 由得． 设，，则，，， 则． 17. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若在定义域内恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）增区间为，减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得出切点的横坐标，结合切线方程可得出切点的坐标，将切点代入函数的解析式，即可得出实数的值； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）解不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 由，可得，所以直线与曲线的切点坐标为， 故，解得. 【小问2详解】 因为，所以函数的定义域为， 由可得，由可得， 故函数的增区间为，减区间为. 【小问3详解】 由（2）可得，解得， 又因为，故实数的取值范围是. 18. 如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）先证明，,再利用线面垂直的判定定理求解即可； （2）取线段的中点，连接，，先利用平行四边形证明，再利用线面平行的判定定理求解即可； （3）过点作圆柱的母线，以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，再利用夹角公式求解即可. 【小问1详解】 依题意可得为圆的一条直径，则． 因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 所以平面． 【小问2详解】 取线段的中点，连接，． 在中，，． 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问3详解】 过点作圆柱的母线，则平面，所以，，互相垂直． 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，，则，，，，所以，． 设为平面的法向量， 所以令，则． 易知直线的一个方向向量为． 记直线与平面所成的角为， 则， 结合，解得，，所以． 19. 已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． （1）经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列； （2）求第3次操作取到红球的概率； （3）设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和． 【答案】（1） 1 3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得出盒中红球的个数的可能值，分别求出概率，即可得出分布列； （2）方法一：设出第次取到红球的事件，即可求出第3次操作取到红球的概率；方法二：根据（1）中第二次的情况，即可求出第3次操作取到红球的概率； （3）求出当为奇数和偶数时盒中球的情况，得出递推公式，证明是等比数列，即可求出通项公式，进而得出的前n项和. 【小问1详解】 由题意， 的所有可能取值为1,3， , 故的分布列为 1 3 【小问2详解】 由题意， （方法一）设事件表示第次取到红球， 则 （方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为． 【小问3详解】 由题意及（1）（2）得， 设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为． 由操作规则可知， 当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球， 当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球， 即，其中． 因为， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则． 故． 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季学期高中二年级期中教学质量检测 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册至选择性必修第三册7．2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部和虚部之和是（ ） A. B. C. 8 D. 12 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式的第7项为（ ） A. B. 35 C. D. 4. 有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ） A B. C. D. 5. 已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 甲、乙、丙三人各自计划去上海旅游，他们在4月21日到4月23日这三天中的一天到达上海，他们在哪一天到达上海相互独立，且他们各自在4月21日到4月23日到达上海的概率如下表所示： 4月21日 4月22日 4月23日 0.2 0.3 0.5 若甲、乙两人在同一天到达上海的概率小于甲、丙两人在同一天到达上海的概率，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减 10. 在数列中，，对任意，则（ ） A B. 为递增数列 C. 为等差数列 D. 11. 《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形四面体称为鳖臑，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵中，，则（ ） A. 当时，四面体为鳖臑 B. 当时，四面体为鳖臑 C. 当时，四面体外接球的表面积为 D. 当时，堑堵体积的最大值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则________，是________函数（填入“奇”或“偶”或“非奇非偶”中的一个）． 13. 若函数有两个零点，则的取值范围是________． 14. 从1，2，3，4，5，6这6个数中任取4个不同的数组成一个四位数，则2与3相邻的四位数的个数为________，能被3整除的四位数的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的周长． 16. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，． （1）求的方程； （2）求以为直径的圆的标准方程； （3）设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求． 17. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求值； （2）讨论的单调性； （3）若在定义域内恒成立，求的取值范围． 18. 如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 19. 已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． （1）经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列； （2）求第3次操作取到红球的概率； （3）设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$