安徽省黄山市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

2024-2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则 A． B． C． D． 3. 设等差数列的前项和为，若，，则 A. B. C. D. 4．函数的部分图象可能为 A． B． C． D． 5. 设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第四象限，是的左焦点，则 A. B． C． D． 6. 在正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为 A. B. C. D. 7. 从中任取个数，使这个数恰好成等比数列的不同取法有( )种. A. B. C. D. 8. 甲、乙两人各抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛掷次，乙抛掷次，且每次抛掷结果相互独立，则甲正面向上次数大于乙正面向上次数的概率是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时和骑自行车用时均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则第9小题图 A. B. C. 如果某天有min可用，为了降低迟到 的可能性，李明应选择坐公交车 D. 如果某天有min可用，为了降低迟到 的可能性，李明应选择骑自行车 10．已知点和点是以原点为圆心，为半径的圆上的两个动点，圆心到直线的距离为，点为直线上动点，则 A. △面积为定值 B. 以为直径的圆可能与直线相交 C. 当直线与直线平行时，的最大值小于 D. 设直线与两坐标轴分别交于两点，则的最大值为 11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，则下列说法正确的有第11小题图 A． B．直线被第一象限花瓣截得弦长的最大值为 C．直线被第二象限花瓣截得弦长的最大值为 D．阴影区域的面积小于8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含的项的系数为 . 13. 已知数列满足，，则 . 14．已知函数的两相邻对称轴之间的距离为，且对任意的，恒成立．若函数，则方程在上的所有实数根之和等于 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分） 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求； （2）求的单调区间和极值. 16.（本题满分15分） 如图，在菱形中，，,点为的中点，将沿直线翻折成，连接、，点为中点. （1）求证：面； （2）若，求二面角的余弦值. 17.（本题满分15分） 已知双曲线的右顶点，且双曲线的一个焦点在抛物 线准线上.过双曲线上一点作直线与的两条渐近线分别交于两点,且. （1）求双曲线的方程； （2）求的面积（O为坐标原点）. 18.（本题满分17分） 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加了跳远比赛，为了鼓励同学们跳出更好的成绩，学校规定在比赛中第一跳成绩在6.00m以上（含6.00m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：6.22，6.09，6.06，6.02，5.97，5.93，5.89，5.84，5.80，5.78； 乙：6.31，6.15，5.86，5.75； 丙：6.26，6.11，6.08，6.03，5.94，5.82； 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）设是甲、乙、丙在校运动会跳远比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望； （2）在校运动会跳远比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） （3）为了夺得校运动会跳远比赛的冠军，甲进行了刻苦的训练，赛前甲进行了三次试跳，成绩分别为：6.22m，6.18m，6.14m.根据试跳结果，能否认为甲通过刻苦训练提升了跳远水平？请说明理由. 参考公式：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19.（本题满分17分） 对于实数，给定实数，若存在一个递增的无穷正整数数列，使得，则称数列是的一个级展开. （1）若数列是的一个级展开，求； （2）若，试判断是否存在级展开？若存在，求出数列，若不存在，说明理由； （3）已知是方程的实根，证明：有且仅有一个级展开. 高二数学试题·第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期末质量检测 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C A D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 4048 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：(1)， 由得：. ………………………………………………………（4分） (2)由(1)得：， 令得：或. ………………………………………………………………（7分） 当或时，；当时，. ……………………（9分） 函数在和上单调递增；在上单调递减. …………（11分） 函数在处取得极大值， 在处取得极小值. ……………………………………………………（13分） 16．解: （1）取中点，连接，. 因为点为中点，点为中点， 所以四边形为平行四边形， ………………………………………………………（2分） 所以, 因为面， 所以面. ………………………………………………………………………（4分） （2）由(1)得：， 因为， 所以， 因为， 又因为， 所以面， ……………………………………………………………………（6分） 所以面面， ………………………………………………………………（8分） 因为， 所以面. …………………………………………………………………（10分） 以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则 ，，， ,， ……………………………………………………（11分） 设为面的一个法向量，则 ，令得：. ………………………（13分） 为面的一个法向量，则 ， ………………………………………………（14分） 所以二面角的余弦值为. ………………………………………………（15分） 17．解：（1）由题意知，，抛物线的准线为，则 求双曲线的方程为. ……………………………………………………（5分） （2）设，由知是中点，故，.双曲线渐近线方程，所以，代入上式，，又在双曲线上，所以， 将代入并化简：，， ……………………（8分） 又，, 又， …………………………………（13分） . ………………（15分） 18．解： (1)的所有可能取值为. 分别记甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件，则 ，，. ……………………………………………………（1分） ； ； ； ； …………………………………………（5分） . ……………………………………（7分） (2)选“乙”此小题得4分(从投出最好成绩概率的角度来看)；选“丙”此小题得2分(从成绩的均值和方差的角度来看)；选“甲”此小题得0分. (3)从均值、方差来看，应该认为甲的成绩相比于以往有所提升. …………………（13分） 以下考虑甲的试跳成绩是否存在偶然情况： 方法一： 假设甲的刻苦训练并没有提升跳远水平，记“甲三次成绩在6.10m以上”为事件，则： . 这是一个小概率事件，因此可认为假设不成立，即故认为甲通过刻苦训练提升了跳远水平. …………………………………………………………………………………………（17分） 方法二： 定义分类变量，如下： ，. 列联表如下： 训练 跳远成绩 合计 9 1 10 0 3 3 合计 9 4 13 假设：分类变量与相互独立，即认为甲的刻苦训练并没有提升跳远水平. . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为甲通过刻苦训练提升了跳远水平. ……………………………………………………………………………………（17分） 注：判断方法不唯一，言之有理即可. 19．解： (1). ………（2分） (2)假设数列是的一个级展开，则 ， 这与矛盾，所以当时，不存在级展开. …………………………………（6分） (3)令，则： 由得：函数在上单调递增. 又因为，， 所以函数存在唯一的零点. ……………………………………………（8分） 由得：， 所以数列是的一个级展开. ………………………………………………（12分） 假设存在两个不同的数列、是的级展开，则 ， 去掉上面等式两边相同的项，有 ， 这里，，且所有的，都是不同的. 不妨设，则 ， ， 矛盾.故有且仅有一个级展开. …………………………………………………（17分） 高二数学答案·第 5 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$