精品解析：福建省厦门第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

福建省厦门第一中学2024-2025学年度 第二学期期末考试 高二年数学试卷 本试卷共4页，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效. 3.考试结束，考生只须将答题卡交回. 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案. 1. 在展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】写出通项，令的次数为零，求出，再计算常数项即可. 【详解】展开式的通项为， 令， 所以， 所以常数项为240. 故选：D. 2. 已知等比数列中，，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论. 【详解】. 故选：C. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线平行的充要条件为，结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 详解】若，则有，所以或， 当时，，故，重合； 当时，，满足条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 4. 校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】设总人数为，根据给定条件，求出的观测值并建立不等式，进而求出的最小整数值得解. 【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为， 则列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此， 即，又为的倍数，所以男生最少有人. 故选：A 5. 已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解. 【详解】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解． 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示， 则，， 所以， 所以的周长为， 由椭圆定义可得，， 所以，则， 故选：B． 8. 关于的方程有实根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可. 【详解】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 点到直线的距离， 设，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，，则， 检验：当时，，由，解得，此时； 由，解得，此时， 所以的最小值为. 故选：B 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分. 9. 使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（ ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A. 使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B. 通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C. 在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D. 在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件所给的散点图，先分析得模型二的拟合效果更好，由此即可判断A、B两个选项，再将代入模型二的经验回归方程，即可判断C、D选项. 【详解】根据散点图可知模型二的拟合效果更好，拟合效果越好决定系数越大， 所以使用回归模型一拟合的决定系数小于使用回归模型二的决定系数， 所以A错误，B正确； 因为模型二的拟合效果好，预报更准确，根据已知：， ，所以，将代入经验回归方程， 有，所以C错误，D正确. 故选：BD 10. 已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（ ） A. 若圆C关于直线对称，则 B. 的最小值为 C. 当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点 D. 若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线过圆心计算判断A；求出最短弦长判断B；整理曲线方程，结合圆系方程判断C；由的垂直平分线确定圆心纵坐标，根据两圆方程求出直线方程，由直线过点D求解判断D. 【详解】依题意，直线过定点， 圆，即的圆心，半径， 对于A，由圆关于直线对称，得直线过圆心，则，A错误； 对于B，圆心到直线的距离的最大值为， 直线被圆心所截弦长的最小值为，B正确； 对于C，，直线，曲线的方程为， 因此曲线是过直线与圆的交点的曲线方程，C正确； 对于D，线段的垂直平分线，若四点共圆，设此圆的圆心为， 圆的方程为，整理得， 直线是圆和圆的交线，因此直线的方程为， 而点在直线上，则，解得， 于是直线的斜率为，即，D错误. 故选：BC 11. 对于函数，则（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. C. 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图： 观察图象得，当且仅当时，直线与函数图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】由已知条件得 ，解得， ∴； 故答案为：. 13. 已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线的右支上，且的中点在圆：上，其中为双曲线的半焦距，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得，，再由离心率可得，在中，，，由即可得出答案. 【详解】如图，由题意可得， 因为为的中点，，所以, 所以，， 双曲线：（，）的离心率为2，， 故在中，，， . 故答案为： 14. 已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可判断1是的零点，且另两个零点关于对称，则所求可化为求出的值域，利用导数即可求解. 【详解】显然，设， 则 ， 所以1是的零点，且另两个零点关于对称， 所以， 则， 令， 则，所以在单调递减， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置. 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前40项和. 【答案】（1） （2）784 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数后，构造等差数列即可； （2）将奇偶分开，分组求和即可. 【小问1详解】 由题意易得，由可得， 所以数列是公差为2的等差数列. 故，即. 【小问2详解】 由（1）知，. 所以的前40项和 . 16. 已知多面体中，，且，， （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，得平面，从而证明； （2）由条件证得，以所在直线轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系求解. 【小问1详解】 如图所示，连接BD，DF， 在中，，，， ，可得，即， 同时 ∥，可得，同理可得， 因为，，且平面BDF，平面BDF，， 所以平面BDF； 又因为平面BDF，所以． 【小问2详解】 在中，，且， 即，所以，同时，， 以D为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向， 建立空间直角坐标系如图． 其中， 所以 设向量为平面的法向量， 满足，不妨令，则，故， 设向量为平面的法向量， 满足不妨令，则，故 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和． （1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值； （2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值． ①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？ ②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值． 【答案】（1）0.95；（2）①生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元. 【解析】 【分析】 （1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立的不等量关系，即可求解； （2）①根据（1）的结论求出生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论； ②的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出可能值的频率，得到的分布列，根据期望公式求解即可. 【详解】（1）设从，生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件，从，生产线上抽检到合格品分别为事件，，由题知，，互为独立事件，所以，， ， 令，解得，故的最小值． （2）由（1）可知，，生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9， 不合格品率分别为0.05和0.1． ①由题知，生产线上随机抽检1000件产品， 估计不合格品（件）， 可挽回损失为（元）， 生产线上随机抽检1000件产品， 估计不合格品（件）， 可挽回损失为（元）． 由此，估计生产线挽回的平均损失较多． ②由题知，的所有可能取值为6，8，10， 用样本的频率分布估计总体分布，则 ，， ， 所以的分布列为 6 8 10 所以（元）． 故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为（元）． 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题． 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆E的方程和焦点的坐标； （2）设点为椭圆E上的任一点（不在坐标轴上），直线与椭圆E交于另一点为，直线与椭圆E交于另一点为，为坐标原点，证明：直线与的斜率之积为定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的点和离心率求出a，b作答. （2）设出点的坐标，根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆方程联立，表示出点的坐标，再借助斜率坐标公式推理作答. 【小问1详解】 依题意，椭圆半焦距c，，又，解得， 所以椭圆E的方程为，焦点坐标为. 【小问2详解】 设，设直线的方程为：， 由消去x并整理得，而， 则，即， ，设直线的方程为：， 由消去x并整理得，而， ，， ， 因此直线的斜率，而直线的斜率， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 19. 已知函数，其中． （1）求的极值； （2）设函数有三个不同的极值点． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1），无极大值； （2）（i） ；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得在单调递增，进而可得在单调递减，在单调递增，即得； （2）（i）由题可知有三个不同的正实根，令进而构造，可得有两个不同的正实根，再利用二次方程根的分布即得；（ii）令、,则、为的正实根，再利用导数解决双变量问题，可得，进而即证. 【小问1详解】 由题可得， ∴在单调递增， ∵， ∴时，时， ∴在单调递减，在单调递增， ∴，无极大值； 【小问2详解】 （ⅰ）， 由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，， ∴有两个不同的正实根， ∴ ∴， 设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减， 又∵，∵，且， ∴有三个不同的正实根，满足题意， ∴a的取值范围是； （ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，， 令，则，， 令在单调递增、， ∴在单调递减，在单调递增， 令，则 ， ∵，∴， 令，， ∴在单调递增， ∴，∴在单调递减， ∵，∴， ∵，∴， ∵在单调递增， ∴， ∴. 【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略： 1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2024-2025学年度 第二学期期末考试 高二年数学试卷 本试卷共4页，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效. 3.考试结束，考生只须将答题卡交回. 一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案. 1. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. 120 C. 180 D. 240 2. 已知等比数列中，，，则公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 其中，，. A 20 B. 30 C. 35 D. 40 5. 已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有实根，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分. 9. 使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量（单位为天），以监测到的病例总数为因变量，选择以下两个回归模型拟合随的变化：回归模型一：；回归模型二：，通过计算得出，则下列说法正确的是（ ） 1 5 7 12 16 20 2 9 12 29 63 101 A. 使用回归模型一拟合的决定系数大于使用回归模型二的决定系数 B. 通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程 C. 在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右 D. 在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人 10. 已知直线：与圆：相交于A，B两点，则（ ） A. 若圆C关于直线对称，则 B. 的最小值为 C. 当时，对，曲线：恒过直线与圆C的交点 D. 若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 11. 对于函数，则（ ） A. 函数单调递减区间为 B. C 若方程有6个不等实数根，则 D. 对任意正实数，且，若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，，则______． 13. 已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线的右支上，且的中点在圆：上，其中为双曲线的半焦距，则______. 14. 已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置. 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前40项和. 16. 已知多面体中，，且，， （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和． （1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值； （2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值． ①已知，生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？ ②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值． 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆E的方程和焦点的坐标； （2）设点为椭圆E上的任一点（不在坐标轴上），直线与椭圆E交于另一点为，直线与椭圆E交于另一点为，为坐标原点，证明：直线与的斜率之积为定值. 19. 已知函数，其中． （1）求的极值； （2）设函数有三个不同的极值点． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $