精品解析：黑龙江省大庆市第三十六中学2025-2026学年下学期第一次学情自测八年级数学随堂检测

初二数学随堂检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的三边长分别是( ) A. 2，4，6 B. 4，6，8 C. 3，4，5 D. 6，8，10 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 若与互为相反数，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口半小时后分别位于、处，且相距10海里，则“海天”号航行的方向是（ ） A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏西 7. 关于，下列说法不正确的是（ ） A. 它是一个无理数 B. 它可以用数轴上的一个点来表示 C. 它可以表示体积为6的正方体的棱长 D. 若，则 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 9. 已知，则化简后为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一个正数的平方根分别是和，则这个正数为______． 12. 与最接近的整数是_____． 13. 有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 14. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 15. 如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 16. 若，则______． 17. 如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为______． 18. 如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 三、计算题：本大题共3小题，共23分． 19. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知：的三边长、、满足． （1）求、、的值； （2）试判断三角形的形状，请说明理由． 21. 如图，四边形中，，． （1）求的度数; （2）求四边形的面积． 四、解答题：本题共7小题，共43分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 23. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 24. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 25. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 26. 对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． （1）若，，，，请求出，，，的值； （2）若，，求的值． 27. 阅读下面材料，并解决问题： ； ； ； … （1）填空：_________；_________； （2）用含n的代数式表示你所发现的规律：_________； （3）证明发现的规律． 28. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学随堂检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的三边长分别是( ) A. 2，4，6 B. 4，6，8 C. 3，4，5 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x-2，x+2根据勾股定理即可解答． 【详解】解：根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x-2，x+2根据勾股定理，得 （x-2）2+x2=（x+2）2， x2-4x+4+x2=x2+4x+4， x2-8x=0， x（x-8）=0， 解得x=8或0（0不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是6，8，10． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理，注意连续偶数的特点，能够熟练解方程． 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据有理数，无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：，0，为有理数，为无理数， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法法则和二次根式的性质，注意二次根式的加法就是合并同类二次根式．根据二次根式的加法法则和二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、和不能合并，不等于，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、不等于，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 5. 若与互为相反数，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案． 【详解】解：∵ 与 是相反数， ∴== ∴3x－1=2y－１， 整理得：3x=2y，即 ， 故选A． 【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键． 6. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口半小时后分别位于、处，且相距10海里，则“海天”号航行的方向是（ ） A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏西 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的应用，根据路程=速度×时间分别求得的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，从而求解． 【详解】解：根据题意，得（海里），（海里），（海里）． ∵，即， ∴． 由“远航号”沿东北方向航行可知，，则，即“海天”号沿北偏西方向航行． 故选：B． 7. 关于，下列说法不正确的是（ ） A. 它是一个无理数 B. 它可以用数轴上的一个点来表示 C. 它可以表示体积为6的正方体的棱长 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数和立方根的概念估算立方根的大小及正方体体积与棱长之间的关系对四个选项逐一进行判断． 【详解】解：因为不能完全开立方，所以是无理数，故A选项正确； 因为是一个实数，实数与数轴上的点一一对应，故B选项正确； 因为正方体的体积等于棱长的立方，，故C选项正确； 因为，即，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查立方根的概念及相关的计算、无理数的概念、数轴，注意：实数与数轴上的点是一一对应的． 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 9. 已知，则化简后为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先得出，再根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得：， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意把图形展开，连接，得出的长就是从处爬到处的最短路程，分为三种情况展开，根据勾股定理求出的长，再比较即可. 【详解】解：如图将正面与右面展开在同一平面，连接， 由勾股定理得：， 如图将下底面与后面展开在同一平面，连接， 由勾股定理得：， 如图将下底面与右面展开在同一平面，连接， 由勾股定理得：， ∴从处爬到处的最短路程是． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一个正数的平方根分别是和，则这个正数为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数， ∴m+（﹣3m+1）＝0，解得：m， ∴a＝（）2， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键． 12. 与最接近的整数是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练应用估算无理数大小的方法进行计算是解决本题的关键． 由，再与对比即可得出答案． 【详解】解：因为，， 所以与最接近的整数是． 故答案为：4． 13. 有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据无理数的定义确定无理数的个数得到的值，再根据非负数的定义确定非负数的个数得到的值，最后计算即可． 【详解】解：无理数为：，（相邻的两个2之间依次多一个0），共个，即， 非负数为：，，，，共个，即， 则． 14. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是81时，取算术平方根是9，9是有理数； 再把9输入，9的算术平方根是3，3是有理数； 再把3输入，3的算术平方根是，是无理数， 所以输出是． 15. 如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， 在中，， ， ∴这块菜地的面积为 16. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三个非负数的和为0，必须每个数都为0，就能得出三个一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：， ， ，，， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了对非负数的性质，立方根，算术平方根的性质等知识点的运用，主要考查学生能否熟练地运用这些性质和法则进行计算． 17. 如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，根据，，求出，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：9． 18. 如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知当时，，即三点共线时，线段的值最小，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 根据折叠可得， 当时，，即三点共线时，线段的值最小，此时， ， ∴， ， ， 解得． 三、计算题：本大题共3小题，共23分． 19. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）去括号后合并同类二次根式即可； （2）利用立方根、二次根式的乘法进行计算即可； （3）利用平方根的意义解方程即可； （4）利用立方根的意义进行解方程即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ∴或 【小问4详解】 解： 20. 已知：的三边长、、满足． （1）求、、的值； （2）试判断三角形的形状，请说明理由． 【答案】（1），， （2）等腰直角三角形，理由如下： ， ，即， ， ∴以、、为边能构成三角形， ，且， 三角形的形状是等腰直角三角形； 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，绝对值、平方的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； （1）根据绝对值、平方的非负性，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理就可以证明是等腰直角三角形， 【小问1详解】 解：． ∴，，． ，，． 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形中，，． （1）求的度数; （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）33 【解析】 【分析】（1）连接，如图，分别证明为等腰直角三角形，为直角三角形，从而可得结论； （2）直接利用割补法求解四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：连接. ∵在中， ∴. ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 【小问2详解】 ． 四、解答题：本题共7小题，共43分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置，确定的正负，判断，与的正负，再化简给出的代数式，合并后得结果． 【详解】解：由实数a，b在数轴上对应的点的位置可知，，， ，，， ． 23. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算． （1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值； （2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根； 【小问1详解】 解：∵的立方根是， ∴， 解得，， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， 即， 因此，，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴． 24. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵长为，宽为， ∴周长为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 25. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）； （2）海港受台风影响， 过点作， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响． （3）台风影响该海港持续的时间为小时． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断； （2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形， ∴∠ACB=90°； （2）略 （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， （小时） 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 26. 对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． （1）若，，，，请求出，，，的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1），，， （2）136 【解析】 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． 【小问2详解】 解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 27. 阅读下面材料，并解决问题： ； ； ； … （1）填空：_________；_________； （2）用含n的代数式表示你所发现的规律：_________； （3）证明发现的规律． 【答案】（1）； （2），其中为正整数； （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式的分母有理化与规律探究，用到平方差公式计算，先根据题干给出的分母有理化方法计算，再归纳得到一般规律，最后利用平方差公式证明规律即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：观察式子变化可总结规律为：，其中为正整数； 【小问3详解】 证明：对于等式左边分子分母同乘得： 由于等式右边为， 则成立． 28. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）8cm；（2）4或；（3）5或8或． 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度； （2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可； （3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2−AC2＝102−62＝64， ∴BC＝8（cm）； （2）由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t−8）2， 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即：102＋[62＋（2t−8）2]＝（2t）2， 解得：t＝， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2， 所以（2t）2＝62＋（2t−8）2， 解得：t＝， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $