精品解析：黑龙江省大庆市萨尔图区靓湖学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

大庆市靓湖学校八年级阶段性教学反馈数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入反比例函数，即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 3. 如图，在中，，于点，若，，则等于（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】证明△BCD∽△ACD，可得，即可求出 【详解】解：∵， ∴∠A+∠ACD= ∠A+∠B， ∠BDC=90° ∴∠A=∠B ∴△BCD∽△ACD ∴ ∵，， ∴CD=±2 ∵CD为边长，即CD>0 ∴CD=2 故选A. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 4. 如图，点P是的边上一点，下列条件不一定保证的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握“两个角对应相等的两个三角形相似；两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 【详解】解：A． ，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以得出，故A项不符合题意； B．，， 根据两个角对应相等两个三角形相似，可以得出，故B项不符合题意； C．，， 根据两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以得出，故C项不符合题意； D．由，，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 5. 如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. 8 B. 3 C. 9 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数的解析式是解题的关键； 利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 6. 如图，在中，，高，正方形的一边在上，点分别在，上，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，四边形是矩形，即得，得到，设，则，由得，据此解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为， 故选：． 7. 已知反比例函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B. 图象关于原点成中心对称 C. 若、为函数图象上两点，且则 D. 图象关于直线成轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、图象关于原点成中心对称，原选项正确，不符合题意； 、若、为函数图象上两点，当，则，当，则；当，则，原选项不正确，符合题意； 、图象关于直线成轴对称，原选项正确，不符合题意； 故选：． 8. 已知一次函数与反比例函数（）的图象没有交点，则k的值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出的取值范围，找出符合条件的的值即可．根据题意把函数的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键． 【详解】解：反比例函数与一次函数的图象没有交点， 方程组无解，即无解． 方程的，解得． 四个选项中只有，所以只有选项B符合条件． 故选：B． 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 10. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点，下面结论：①为等腰三角形；②；③；④；⑤中，正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据旋转性质得出，从而对结论①进行判断，然后通过对三角形内部角度之间的计算进一步对结论④进行判断，再后通过证明∠=∠BDC，∠=∠BCD对结论②进行判断，再者进一步求出∠的度数，由此判断结论③，最后过点D作DM⊥，通过证明△ABD~△，利用相似三角形性质进一步分析结论⑤，据此即可得出答案. 【详解】由旋转性质可知：， ∴为等腰三角形，即①正确； ∵∠ACB=30°， ∴∠=∠=30°， 又∵∠=∠BAC=45°， ∴∠=75°， ∴∠=180°−75°−30°=75°， ∴CA=，即④正确； ∵∠BAC=45°， ∴∠=45°+75°=120°， ∵=AB， ∴∠=∠ABD=30°， 在△与△BCD中， ∵∠=∠BDC，∠=∠BCD=30°， ∴△~△BCD，即②正确； ∵∠=∠+∠=120°， ∴旋转角，即③错误； 在△ABD与△中， ∵∠ABD=∠，∠ADB=∠， ∴△ABD~△， ∴， 如图，过点D作DM⊥， 设DM=，则，，，， ∴AC=， ∴AD=， ∴，即⑤正确； 综上所述，共4个正确， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定与相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 二．填空题（本题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若函数是反比例函数，则的值是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义．根据反比例函数定义：，列式计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 故答案为： 12. 如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可． 【详解】解：将放大倍，点， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 13. 如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了几何图形面积求反比例函数系数，理解图示，掌握反比例函数系数与图形面积的关系是关键． 根据题意，等高，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴等高， ∴，且点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点， ∴， 故答案为：4 ． 14. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 _________米． 【答案】## 【解析】 【分析】由黄金分割点的定义得，再代入的长计算即可． 【详解】解：由题意可知，点是线段上靠近点的黄金分割点，米，， （米）， 即此时主持人与点A的距离为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键． 15. 如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则＝_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：AE+DE+AD =10，DF+BF+BD=14，再证明，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=AC=8，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵AD=2， ∴BD=6， 由折叠的性质可知：CE=DE，CF=DF，∠EDF=∠C=60°， ∴AE+DE+AD=AC+AD=10，即△AED周长为10， ∴DF+BF+BD=BC+BD=14， ∵∠EDF=∠BAC=∠ABC=60°， ∴∠FDB+∠EDA=∠AED+∠EDA=120°， ∴∠FDB=∠AED， ∵∠B=∠A=60°， ∴， ∴（AE+DE+AD）：（DF+BF+BD）=DE：DF=CE：CF， ∴ =， 故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 16. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则， 由题意知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 17. 如图，点是反比例函数上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点、，若，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交轴于，延长交轴于，设点，可表示出和两点坐标，计算得出，从而得出，进而推出，根据，进而得出是的中位线，再证得，从而得出，的关系式，结合，从而求得，的值，进而得出结果． 【详解】解：如图，延长交轴于，延长交轴于点， 设点， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案是： 【点睛】本题结合反比例函数的知识，考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，发现和构造相似三角形． 18. 已知直线与轴交于点，与双曲线交于，两点，若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，根与系数的关系，设，联立，整理得到，则，，先求出，取的中点D，则，再分点A为的中点或点C与点D重合，两种情况根据中点坐标公式得到的关系式即可求解． 【详解】解：当时，此时直线 与双曲线只有一个交点，不符合题意； 当 设， 联立，整理得到， ∴，， ∵直线与轴交于点， ∴， 取的中点D，则， ∵ ， ∴， ∴点A为的中点或点C与点D重合， 当点A为的中点时， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 当点C与点D重合时，则， ，， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 综上所述，或 故答案为：或． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 已知y与成反比例，当时，． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数表达式，准确的运算是解题的关键． （1）用待定系数法即可解决问题． （2）将代入即可． 【小问1详解】 因为y与成反比例， 所以设， 把代入，得， 所以 【小问2详解】 当时，． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）及平面直角坐标系xOy． （1）将绕O点逆时针旋转90°得到，请画出； （2）以点O为位似中心，在第四象限将放大2倍得到，请画出并求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析，15 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后描点即可； （2）把A、B、C点的坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可，再由割补法求面积即可得到答案． 【小问1详解】 如图，即为所求作图形； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【点睛】本题考查了旋转变换、割补法求面积及位似变换，即在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 21. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的判定和性质，即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 22. 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.9毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室? 【答案】（1）（），（）；（2）2小时． 【解析】 【分析】（1）根据函数图像信息，待定系数法求解析式即可，注意相应自变量取值范围； （2）计算当时，求反比例函数的值即可． 【详解】（1）当时，， 设正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 将分别代入，， 解得：， （）， （）． （2）将代入：， 解得， 分钟小时， 答：从药物释放开始，至少需要经过2小时后，学生才能进入教室． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式，从函数图像上获取信息，反比例函数图像的实际意义，理解图像信息是解题的关键． 23. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 【答案】塔高度为18.2米． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用．如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 24. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）利用图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积，同时间接考查函数的增减性，从而来解不等式． （1）将点A代入，得出反比例函数表达式，将代入反比例函数，得，将代入，得出一次函数表达式． （2）利用函数表达式得出C点坐标，再根据，，即可求解． 【小问1详解】 解：． ∴反比例函数表达式为． 把代入反比例函数，得． 把代入， 得， ． ∴一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，由（1）得，又， ． 【小问3详解】 解：由图象可得：不等式的解集为或． 25. 如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． （1）求证：； （2）试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 （1）由与垂直，、为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2），理由为：由（1）中相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到，得比例，等量代换即可得证； 【小问1详解】 证明∶、是的高， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 26. 【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出x与y的几组对应值； x … 0 1 2 … y … 3 2 m … ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 （1）函数自变量x的取值范围是________； （2）表格中m的值是________； （3）把函数图象补充完整； （4）观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）； （5）若一次函数与函数相交于点，结合函数图象求出使不等式成立的x的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3）见解析 （4）减小 （5）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，不等式的解集，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可得到结论， （2）把代入解方程得到即可； （3）根据题意画出函数的图象即可； （4）根据反比例函数的性质即可得到结论； （4）根据一次函数和反比例函数的交点即可得到结论． 【小问1详解】 解：函数自变量x的取值范围是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入得， 故答案为：1； 【小问3详解】 解：把函数图象补充完整如图所示； 【小问4详解】 解：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小； 【小问5详解】 解：一次函数过点，则， 由得：， ， 由图象得，不等式成立的x的取值范围为或 ， 故答案为：或． 27. （1）【问题呈现】如图1，在中，，在上取点，过点作的垂线交于点．若，，求的值； （2）【类比探究】在（1）的条件下，绕点逆时针旋转一定角度（点在的内部），如图2，连接，，求的值； （3）【拓展提升】在（2）的条件下，延长交于点，交于点，如图3．若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，再证明，即可得到； （2）先证明，再由，可证明，则； （3）由相似三角形的性质得到，即可证明． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）由（2）得：， ∴， ∵，， ∴． 28. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并直接写出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值； （3）点是直线上一个动点，是否存在点，使得与相似，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或者 【解析】 【分析】（1）将 代入直线解析式，可求出m，即可得，再联立，即可求出答案； （2）作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案； （3）根据点是直线：的上一个动点，则设点，在（2）中有：， 即有，即，即可得，当时，可得，即有，利用两点间的距离公式即可求解；当时，可得，即可得，进而可得，解方程即可求解． 【小问1详解】 将代入直线中， 得， 解得：， ， ， ∴反比例函数解析式为， 由， 解得 或， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 如图，作轴于点E，轴于点F，则， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∵点C在反比例函数图象上， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值， ，， ， 的最小值为； 【小问3详解】 根据点是直线：的上一个动点，则设点， ∵，， ∴，，， 在（2）中有：， ∴，即， ，， ，， ∴， ∴，即， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，结合图象有， ∴， ∴，解得：， 此时点； 当时，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，， 当时，点P在点B右侧，此时是钝角三角形，不可能与相似， 故舍去； 当时，点； 综上：满足条件的点P的坐标为：或者． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，能用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市靓湖学校八年级阶段性教学反馈数学试题 答题时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 函数的图象大致是（   ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，于点，若，，则等于（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 3 4. 如图，点P是的边上一点，下列条件不一定保证的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（ ） A. 8 B. 3 C. 9 D. 4 6. 如图，在中，，高，正方形的一边在上，点分别在，上，交于点，则的长为（ ） A B. C. D. 7. 已知反比例函数，则下列结论不正确的是（ ） A. 反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B. 图象关于原点成中心对称 C. 若、函数图象上两点，且则 D. 图象关于直线成轴对称 8. 已知一次函数与反比例函数（）的图象没有交点，则k的值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点，下面结论：①为等腰三角形；②；③；④；⑤中，正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若函数是反比例函数，则的值是__． 12. 如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是______． 13. 如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为_____． 14. 黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 _________米． 15. 如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则＝_______________． 16. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为______． 17. 如图，点是反比例函数上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交反比例函数的图象于点、，若，，则点的坐标为______． 18. 已知直线与轴交于点，与双曲线交于，两点，若，则的值为______． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 已知y与成反比例，当时，． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）及平面直角坐标系xOy． （1）将绕O点逆时针旋转90°得到，请画出； （2）以点O为位似中心，在第四象限将放大2倍得到，请画出并求的面积． 21. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释效过程中，室内每立方米空气中含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.9毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室? 23. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 24. 如图，反比例函数图象与一次函数的图象相交于点与点，连结． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）利用图象，直接写出关于x的不等式的解集． 25. 如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． （1）求证：； （2）试探究线段、、之间数量关系，并证明你的结论． 26. 【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出x与y的几组对应值； x … 0 1 2 … y … 3 2 m … ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 （1）函数自变量x的取值范围是________； （2）表格中m的值是________； （3）把函数图象补充完整； （4）观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）； （5）若一次函数与函数相交于点，结合函数图象求出使不等式成立的x的取值范围． 27. （1）【问题呈现】如图1，在中，，在上取点，过点作的垂线交于点．若，，求的值； （2）【类比探究】在（1）的条件下，绕点逆时针旋转一定角度（点在的内部），如图2，连接，，求的值； （3）【拓展提升】在（2）的条件下，延长交于点，交于点，如图3．若，求的度数． 28. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并直接写出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值； （3）点是直线上一个动点，是否存在点，使得与相似，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $