2026年中考数学二轮专题突破：圆的综合训练（一）

**基本信息** 以圆的核心性质为纲，通过20道分层题组系统整合切线判定、相似转化、动态路径等中考高频考点，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-4/填空9-10|辅助线构造（连半径、直径）、圆周角转化|从圆的对称性（垂径定理）到圆心角-弧-弦关系，构建性质应用链| |综合证明|解答14-17|切线判定（连半径证垂直）、全等/相似模型|以直径所对圆周角为基础，关联四边形性质与圆内接关系，形成推理闭环| |动态与计算|选择7-8/解答19-20|坐标法、轨迹分析、勾股定理应用|结合图形运动（旋转、动点），渗透函数思想，实现静态性质到动态问题的拓展|

2026年人教版数学中考二轮专题突破：圆的综合训练（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，四边形是的内接四边形，直径，点平分，交于点，，则的长是(    ) A. B. C. D. 2.如图，以为直径的半圆经过斜边的两个端点，交直角边于点；、是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 3.如图，是等腰直角三角形，，以斜边上的点为圆心的圆分别与、相切于点、，与分别相交于点、，且的延长线与的延长线交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，是的直径，作，垂足为点，连接，，点为上一点，且，连接，交于点，交于点，现给出以下结论： ；；；；其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，是的直径，，，点是点关于的对称点，是上的一动点，下列结论：；；；的最小值是，上述结论中正确的个数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，是的直径，点是上一点，点是弧的中点，弦于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交、于点、，连接给出下列结论：；；点是的外心；其中正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，半径为的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，的直径，，是它的两条切线，与相切于点，并与，分别相交于，两点，，相交于点，若，则的长是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是          ． 10.如图，在四边形中，以为直径的半圆经过点，与相交于点，，分别延长，相交于点，，则的长是          ． 11.如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、，与交于点，并与交于点，连结、． 给出下列四个结论其中正确的结论有           填写所有正确结论的序号． 是的中点； ≌； ：：； ． 12.如图，矩形中，，，是的直径，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，且交于点，交于点，与相切于点下列说法正确的有          只填写序号 ，，，． 13.在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换． 如图，在的正方形网格图形中，从格点经过一次“跳马”变换可以到达的格点为          填“”“”或“”； 如图，现有的正方形网格图形，若从该正方形的格点经过三次“跳马变换到达格点，则共有          中不同的跳法．         三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 如图，内接于，是的直径的延长线上一点，过圆心作的平行线交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求的半径及的值． 15.本小题分 如图，是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分． 求证：是的切线； 求证：； 若，，求的长． 16.本小题分 如图，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，，． 求证：； 求证：以为直径的圆与相切； 若，，求的面积． 17. 本小题分 如图，在四边形中，，，是的直径，平分． 求证：直线与相切； 如图，记中的切点为，为优弧上一点，，求的值． 18.本小题分 如图，已知，是的直径，，与▱的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，． 求证：是的切线； 若，求的值； 在的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值． 18. 本小题分 如图，四边形内接于，为直径，和交于点，． 求的度数； 过作的平行线，交于，试判断线段，，之间满足的等量关系，并说明理由； 在条件下过，分别作，的垂线，垂足分别为，，连接，交于，若，：：，求的半径． 20.本小题分 如图，在菱形中，对角线、相交于点，经过点，，交对角线于点，且，连接交于点． 试判断与的位置关系，并说明理由； 若，，求的半径． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如图，连接、、、． ， ， ． ，是的直径， 点平分， 又点平分， ， ， ， ， 直径， 的长是：． 故选：． 连接、、、根据圆内接四边形的性质得出，由圆周角定理得到结合垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理求出，那么，最后利用弧长计算公式求出的长． 本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，求出的度数是解题的关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出和面积相等是解题关键． 首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出，的长，利用图中阴影部分的面积求出即可． 【解答】 解：连接，，，， ，是半圆弧的三等分点， ， ， ， 的长为， ， 解得：， ， ， ， ， 和同底等高， 和面积相等， 图中阴影部分的面积为：． 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握切线的性质定理； 连接、，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形，并且可求出的半径为，则，再由勾股定理求出的长，进一步得出的长，然后又因，，利用相似三角形的性质即可求出，最终由，即可求出答案． 【解答】 解：是等腰直角三角形，，以斜边上的点为圆心的圆分别与、相切于点、，与分别相交于点、，且的延长线与的延长线交于点， 连接、，如图： 由切线的性质可得的半径，， 四边形是正方形， 由的面积可知， ，，， 在中，，， ， ，， ∽， ， ，． 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 此题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系等知识，灵活运用圆的相关性质是解题的关键． 根据垂径定理得出正确，利用是直径得出正确，根据，得出正确，结合得出正确即可 【解答】解：是的直径，， ，，，正确； ， ， ，正确； ， ， ， ， ， ，正确， 正确的结论共个． 故选D． 5.【答案】  【解析】解：，点是点关于的对称点， ， ，正确； ，正确； 的度数是， 的度数是， 只有当和重合时，， ， 只有和重合时，，错误； 作关于的对称点，连接，交于，连接交于，此时的值最短，等于长， 连接， ，并且弧的度数都是， ，， ， 是的直径， 即， 的最小值是，正确； 故选：． 根据和点是点关于的对称点，求出，求出，即可判断；根据圆周角定理求出当和重合时即可判断；求出点的位置，根据圆周角定理得出此时是直径，即可求出长，即可判断． 本题考查了圆周角定理，轴对称最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出的位置是解此题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质、三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握并灵活运用圆的相关性质，属于中考选择题中的压轴题． 错误，假设成立，推出矛盾即可；正确，想办法证明即可；正确，想办法证明即可；正确，证明∽，可得，证明∽，可得，证明∽，可得，由此即可解决问题． 【解答】 解：假设，则， ， ，显然不可能，故错误． 连接． 是切线， ， ， ， ， ，， ， ，故正确． ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， 点是的外心．故正确． 连接． ，， ∽， ， ， ，， ∽， ， ， ，， ∽， ， ， 故正确， 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长，是解本题的关键． 连接，，由，利用垂径定理得到为的中点，由中点的定义确定出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂直于，得到三角形始终为直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半径，当位于点时，，此时与重合；当位于时，，此时与重合，可得出当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点所经过的路径长． 【解答】 解：连接，， ， 为的中点，即， 的半径为，弦且过半径的中点， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 又， 在中，根据勾股定理得：， ， 始终是直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半圆， 当位于点时，，此时与重合；当位于时，，此时与重合， 当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长， 在中，， ， 所对圆心角的度数为， 直径， 的长为， 则当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为 故选C． 8.【答案】  【解析】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点作于． 是直径，， ， ，，是的切线， ，，， 四边形是矩形， ，， ， 设，则， ， ， ，，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由，解得， ， ， 故选：． 如图，构建如图平面直角坐标系，过点作于想办法求出，两点坐标，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可． 本题考查切线的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考选择题中的压轴题． 9.【答案】  【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点， 此时，点为的最小值时的位置， 由垂径定理，， ， ，为直径， 为直径．则． 故答案是：． 作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：连接，如图， ， ， 而， ∽， ， ， ， ； 设的半径为， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ，即， 负根已经舍去， ， 故答案为：． 由和，可判断∽，得到，再根据圆周角定理得，所以，于是利用等腰三角形的判定可得，连接，如图，设的半径为，先证明，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明∽，利用相似比得，再利用比例的性质可计算出的值． 本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题是圆的综合题，考查了全等的判定与性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键． 先证明≌，得，，由垂径定理，得：，即是的中点； 过作分别交、于、，由余弦三角函数和勾股定理算出了，，从而证得即可； 过分别作于，由知，再结合勾股定理算出了，再算面积，即得：：； 由勾股定理和垂径定理算出了，即可得． 【解答】 解：在与中， ≌， ， ， ， 由垂径定理，得：，即是的中点，故正确； 如图，过作分别交、于、，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， 即， ， ， ，， ， ≌是错误的，故不正确； 过作于， 由知，， ， ， ， ，故正确； 由知，， ， ，故正确， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：如图，连接，，过点作于点， 与相切于点， ， 四边形是矩形， ， ，是的直径， ， 在矩形中，由旋转可知：， ， ， ，故正确； ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故正确； 如图，连接， 是的直径， ， ，， ， ， ，故正确； ，， ，故正确． 综上所述，正确的有． 故答案为． 连接，，过点作于点，可得四边形是矩形，证明，根据旋转的性质得到，，再根据垂径定理可得，进而可以判断正确；证明是等边三角形，可得，，进而可以判断正确；连接，根据是的直径，可得，利用含度角的直角三角形的性质即可判断正确；根据，，即可判断正确． 本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，旋转的基本性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，以及圆心角、弧、弦的关系．理解圆的有关性质和定理是解题的关键． 13.【答案】   【解析】解：，，， 从格点经过一次“跳马”变换可以到达的格点为 以为圆心，为半径作，则经过格点、、、、、、、， 以为圆心，为半径作，则经过个格点，其中，， 或两种跳法符合“跳马变换 以为圆心，为半径作，则经过个格点，每个格点到的距离都不等于， 故此种情况不存在 以为圆心，为半径作，则经过个格点，其中，， 或两种跳法符合“跳马变换 以为圆心，为半径作，则经过个格点，其中，， 或两种跳法符合“跳马变换 在左侧的格点中有种， 同理在右侧格点中有种， 一共有种， 故答案为：，． 14.【答案】证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； 解：， ， ，， ， 设，则，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 解得，， ，即的半径为， ， ， 在中，， ．  【解析】由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； 根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，，在中，根据勾股定理求出，即的半径为，由平行线的性质得到，在中，可求得，即． 本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键． 15.【答案】证明：连接，如图： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 证明：连接，如图： 是的直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即； 解：中，，， ， ， 由知， 中，，， ， ， ， 为的中点， ，， 中，，， ， ， ．  【解析】连接，由平分，，可得，，从而可证是的切线； 连接，由是的直径，得，又，，可得，结合，即可得； 求出，，即可得，由为的中点，可得，，中，求出，再用勾股定理即得答案，． 本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、圆周角定理、解直角三角形及勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用圆的性质，转化相关角及线段． 16.【答案】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 证明：如图，取的中点，过点作于， ， ， ， ， 连接并延长交的延长线于， ， ，， ≌， ，， 是的中位线， ， ， 以为直径的圆与相切； 解：如图， 由知，， ， ， 在中，，， ， ， ，， ， 过点作，交的延长线于， ， ， 四边形是矩形， ， 过点作于， 四边形是矩形， ， 由知，， ， ， 在中，， ， ， ．  【解析】此题是圆的综合题，主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，矩形的判定与性质，作出辅助线求出，是解本题的关键． 先证明出，同理得出，进而得出，即可得出结论； 取的中点，过点作于，证明≌，证明出，进而判断出，即可得出结论； 过点作，交的延长线于，先求出，，再判断出四边形是矩形，得出，过点作于，同理求出，由即可得出结论． 17.【答案】证明：作于，如图所示： 则， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， 又， 直线与相切； 解：作于，连接交于点，如图所示： 则四边形是矩形， ，， ， ，， ，， 、是的切线， 由得：是的切线， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ．  【解析】证明：作于，证≌，得出，即可得出结论； 作于，连接交于点，则四边形是矩形，得，，则，证、是的切线，由切线长定理得，，则，由勾股定理得，则，证，由圆周角定理得，则，由三角函数定义即可得出答案． 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键． 18.【答案】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 连接，如图： 是的直径， ， 是的切线， ， ， 又， ∽， ， ，， ， 解得或舍去， 在中，， ； 延长交于，连接、，如图： 是直径， ， ， ，即， ，， ，， 中，， ，， 且， ， ， 即， ，即， 解得， 平分，， ， ， ， ， 在中，， 而， 且， ∽， ．  【解析】由，得，根据是的直径，可得，且已知，即可证明，是的切线； 连接，先证明∽，，由，，得，在中，，即可求出； 延长交于，连接、，由，可得，即，而，，在中，，再证，可得，，根据平分，，得，从而，，，在中，，最后证明∽，即可得． 本题考查圆的综合应用，涉及圆切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是观察、构造相似三角形，把所求线段的比转化为两个相似三角形其它边的比， 19.【答案】解：如图， 为直径， ， ， ， ， ； 线段，，之间满足的等量关系为：． 理由如下： 如图，设，， ， ， 又， ， 过作，使，连接， ，，， ≌， ，， ． ，，， ≌， ， 在中，， ； 如图，延长，交于， 由知， ， ， ， 即， ， ， ，， ：：， ：：， 平分， ：：， 设，， ， ， ， ，， ， ， 整理得：， 解得：舍去，． ， ， 的半径为．  【解析】由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案； 线段，，之间满足的等量关系为：如图，设，，先证明，再过作，使，连接，判定≌、≌，然后在中，由勾股定理得：，将相关线段代入即可得出结论； 如图，延长，交于，由知，变形推得，，，结合已知条件：：，设，，则，求得的长，用含的式子表示出和，将它们代入，解得的值，则可求得答案． 本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键． 20.【答案】解：是的切线， 理由如下： 连接， ， ， 四边形是菱形，、是其对角线， ， ，是的半径， ， ， ， ， ， 是的切线； 四边形是菱形，、是其对角线，， ，， ， ， ， ，是的半径， ， ，， ， 设的半径为，则的长为， 在中， ，即， 解得：， 的半径为．  【解析】根据，菱形得到，，利用得到，进而得到，即可证得是的切线； 利用菱形的性质求得，再利用求得，进而求得，根据垂径定理求出，设的半径为，根据勾股定理即可求得半径． 本题主要考查直线与圆的位置关系，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能够作出辅助线，能利用正切求出对应线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $