天津市宝坻区第四中学2025-2026学年度第二学期高二数学期中质量检测试卷

**基本信息** 高二数学期中检测卷立足核心素养，以函数导数、概率统计等重点知识为载体，通过智能养老、AI测试等真实情境设计解答题，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|9/45|集合运算、导数几何意义、正态分布|基础题占比60%，如第4题切线方程直接考查导数应用| |填空|6/30|二项式系数、条件概率、经验回归|第13题结合摸球情境，分层考查概率计算与条件概率| |解答|5/75|独立性检验、函数极值、新定义证明|17题以智能养老设备为背景，融合列联表与期望计算；20题新定义“T函数”“H函数”，考查逻辑推理与创新思维|

宝坻四中2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（    ） A．2 B．1 C． D．0 5．若，则（    ） A． B． C．1 D． 6．在惠州市举行的半程马拉松比赛中，江北路段设三个服务点，惠州市东江高级中学5名同学到①､②､③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．150种 B．90种 C．60种 D．25种 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的有（    ） A．成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B．随机变量X服从正态分布，，若，则 C．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D．已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 9．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．的展开式中的系数是________．（用数字作答） 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 12．已知、取值如表所示，从散点图分析，与线性相关，且，则__________. 0 1 3 4 0.9 1.9 3.2 4.4 13．一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________． 14．若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 15．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16（14分）．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和等于512． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项． 17（15分）．科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18（15分）.已知：函数在处取得极值， 其中为常数. (1)试确定a、b的值； (2)讨论函数的单调区间； (3)若对任意， 不等式 恒成立，求c取值范围. 19（15分）．某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 20（16分）．用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. (1)证明：若，则为函数； (2)若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. (3)若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻四中2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【详解】解不等式，得；， 故“”是“”的充分不必要条件. 3．已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义，求得的值，根据点在切线上，求得的值，进而求得的值． 【详解】点在切线上，所以， 根据导数的几何意义，所以，所以. 5．若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】二项展开式各项的系数和 【详解】令，则； 令，则； ． 6．在惠州市举行的半程马拉松比赛中，江北路段设三个服务点，惠州市东江高级中学5名同学到①､②､③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．150种 B．90种 C．60种 D．25种 【答案】A 【知识点】分组分配问题 【详解】将五名同学分成三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三组分配到三个服务点去，共有种， 所以每个服务点至少1人，不同的安排方法共有种. 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【详解】由，得； 函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立. ，，在上恒成立，即. ，，； ，当且仅当，即时等号成立； ，即； 实数的取值范围是. 8．下列说法正确的有（    ） A．成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B．随机变量X服从正态分布，，若，则 C．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D．已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 【答案】D 【知识点】相关系数的意义及辨析、残差的计算、独立性检验解决实际问题、正态曲线的性质 【分析】对于A,根据样本相关系数的意义可判断；对于B,根据正态分布对称性即可判断；对于C, 利用独立性检验的意义可判断；对于D，由残差公式即可判断. 【详解】对于A, 当两个变量是正相关时，相关系数越接近于1，当两个变量是负相关时，相关系数越接近于，故A错误; 对于B，随机变量X服从正态分布，， 若，则，根据正态分布对称性可知，，故B错误； 对于C, 两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到， 由，说明在的显著水平下，拒绝与相互独立的假设，故C错误; 对于D, 当时，，由残差等于实际值减去预测值，即，故正确. 9．已知定义在上的函数，是的导函数，满足.且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、导数的运算法则 【详解】，，，即 令，； 则，在上单调递减； ，； ，，，得，即； 在上单调递减，且，，解得； 不等式的解集为. 第II卷（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．的展开式中的系数是________．（用数字作答） 【答案】15 【知识点】求指定项的系数 【详解】的展开式通项公式为， 令，则， 所以的展开式中的系数是． 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 12．已知、取值如表所示，从散点图分析，与线性相关，且，则__________. 0 1 3 4 0.9 1.9 3.2 4.4 【答案】 【知识点】根据样本中心点求参数 【详解】，， 所以 13．一个盒子装有8个除颜色及等级外完全相同的乒乓球，其中白球有4个一星“☆”，2个二星“☆☆”；黄球有1个一星“☆”，1个二星“☆☆”．每次从盒子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．若摸出白球即停止，则摸出的球中没有二星球的概率为___________；若连续摸两次，在第1次摸出白球的条件下，第2次摸出二星球的概率为___________． 【答案】 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用互斥事件的概率可求第一空答案，利用条件概率的公式可求第二空的答案. 【详解】设事件=“摸出的球中没有二星球”，则事件包含两个互斥事件：第一次摸出了白色一星球，第一次摸出了黄色一星球同时第二次摸出了白色一星球， . 设事件“第1次摸出白球”， 事件“第2次摸出二星球”， ，， 所以. 故答案为：   14．若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________． 【答案】2 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得. 【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即， 设曲线的切线的切点为，由求导得， 依题意可得，解得. 15．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围． 【详解】令得，设函数， 则直线与函数在区间上的图象有两个交点， ，令，可得，列表如下： 极大值 ，，如图所示： 由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16（14分）．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和等于512． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】（1）根据二项式系数和求出，然后结合二项式系数的性质可得； （2）写出二项式的通项公式，由的次数为0求出的值，代入通项即得常数项. 【详解】（1）因为所有项的二项式系数和等于512， 所以，解得． 所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，分别为： ． （2）展开式通项为， 令， 展开式中的常数项为第7项，故常数项为． 17（15分）．科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)，，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 (2)X的期望；X的方差． 【知识点】卡方的计算、求离散型随机变量的均值、独立性检验解决实际问题 【分析】（1）本题先由列联表数据求出参数,设立独立性检验零假设,代入卡方公式计算值并与临界值比对,依据小概率值否定零假设,判定使用智能设备与预防摔倒有关； （2）再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数,明确随机变量的取值,用组合数求对应概率,进而计算出的数学期望与方差. 【详解】（1）由表中数据可得，． 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 92 100 未使用 32 68 100 合计 40 160 200 零假设为：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关． 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生． （2）易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备， 故X的所有可能取值为1，2， ，， 所以X的期望； X的方差． 18（15分）.已知：函数在处取得极值， 其中为常数. (1)试确定a、b的值； (2)讨论函数的单调区间； (3)若对任意， 不等式 恒成立，求c取值范围. 【答案】(1)，； (2)递减区间为，递增区间为； (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数的导数，再由导数在1处函数值为0求解并验证作答. （2）由（1）利用导数求出函数的单调区间作答. （3）由（2）求出的最小值，再解一元二次不等式作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 依题意，由，得，解得，由，得，解得， 此时，当时，；当时，，即在处取极小值， 所以，. （2）由（1）知，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的递减区间为，递增区间为. （3）由（2）知，在处取得最小值， 由，恒成立，得，解得或， 所以的取值范围为. 19（15分）．某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【知识点】利用二项分布求分布列、利用全概率公式求概率、二项分布的均值 【分析】（1）用全概率公式求出“一次回答问题，AI软件答对问题”的概率. （2）求出X的可能值及对应的概率，并列出分布列与期望 【详解】（1）设“一次回答问题，AI软件答对问题”，“选出语文问题让AI回答”， 依题意，，，，， 所以； （2）由（1）知，随机选取1道题让AI软件回答正确的概率为， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， ， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望. 20（16分）．用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数. (1)证明：若，则为函数； (2)若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论. (3)若有两个不同的零点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)是函数，证明见解析 (3)（i）（ii）证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】（1）求出、根据函数定义可得答案； （2）根据可证明是函数； （3）法1，（i）转化为有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点，利用导数判断出的单调性结合图象可得答案；（ii）由题意，由（2）知，得且两式相乘得证.法2（i）利用导数判断出的单调性求出最小值可得答案；（ii）不妨设，即证，根据在上单调递减只需证，构造，再利用导数判断出的单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由可得， 因，而， 即成立， 故为函数； （2）是函数.证明如下： 因.要证明，即证. 不妨设，只需证， 令，则需证. 考虑函数， ， 则函数为上的增函数， 当时，，即 ∴函数是函数； （3）法1， （i）有两个不同的零点等价于 方程有两个不同的解. 又.令，则. 因为函数是上的增函数， 所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点. ，当时，；当时，. 则在上单调递减，在上单调递增.故. 当时，时，. 故若直线与函数的图象有两个不同交点， 则. 又因为，是上的增函数， 故得，故实数的取值范围为. （ii）由题意，则. 由（2）知， 故且两式相乘得： ，故得证. 法2 （i）函数的定义域为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为. 当时，，当时，. 因为函数有两个零点，故只需，解得. 故的取值范围是. （ii）不妨设，要证，即证. 因为在上单调递减，所以只需证. 又因为，所以只需证， 即证，令， 对求导，得 令，， 对求导得， 所以在上单调递增. ，故. 故在上单调递增，. 即，所以，所以， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $