精品解析：天津市南开大学附属中学津南学校2025-2026学年第二学期5月期中考试数学试卷

2025—2026学年度第二学期高二数学期中考试试卷 一、选择题（每题4分，共36分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质可求三者的和. 【详解】． 故选：D. 【点睛】本题考查组合性质的应用，一般组合数具有如下性质：（1）递推性质： ；（2）对称性质：；（3）.本题属于基础题. 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，令，代入即可求解. 【详解】由题意得，令，则，得. 故选：A 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的四则运算，复合函数的求导法则逐一进行判断. 【详解】对A，因为为常数，故，A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，D正确. 故选：D 4. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 当时，取极小值 D. 当时，取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项C正确， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D错误， 故选：C. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得且， 故该函数定义域为， ， 令，又，解得或， 故函数的单调递减区间是、. 6. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ） A. B. 27 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理易得答案. 【详解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色. 故选：A. 7. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知只要从7个不同的书架中选出3个书架即可 【详解】由于书签都相同，书架不同，每个书架至多放一个书签， 所以只要选出3个不同的书架即可． 故共有种不同的放法 故选：D 8. 由，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中小于的偶数共有（ ） A. 360 B. 192 C. 312 D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为或，结合排列、组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为或， 当个位数字为时，小于的偶数有个； 当个位数字为或时，小于的偶数有个， 所以小于的偶数共有个. 故选：D. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） ①函数存在两个不同的零点 ②函数既存在极大值又存在极小值 ③当时，方程有且只有两个实根 ④若时，，则的最小值为2 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由，求解即可；对于②，求导，判断函数的单调性求解；对于③④，结合函数的图象进行判断求解． 【详解】对于①，由，得，解得，故①正确； 对于②，， 由，得， 由，得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，故②正确； 对于③，当时，， 函数的图象如图所示： 函数的最小值是， 当时，方程有且只有两个实根，故③正确； 对于④，，由图象知，若时，，则t的最大值是2，故④错误． 故选：C 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式先写出切点坐标，再对函数求导根据导数的几何意义写出切线的斜率，最后由点斜式写出直线方程. 【详解】因为函数，所以， 故切点坐标为， ， 切点处的导数值为切线的斜率，所以， 用点斜式写出切线方程：， 整理得：. 故答案为： 11. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求. 【详解】由题意可得，故， 故展开式的第四项为, 故系数为， 故答案为： 12. 若函数的单调递减区间为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 因为函数的单调递减区间为， 所以不等式的解集为， 因此一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理，可得方程组：，解得， 则. 13. ，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据二项式系数和公式求出的值，再用赋值法令代入展开式即可得到所有项的系数和. 【详解】二项式的所有二项式系数之和为，由题意得，解得， 对展开式， 令代入，左边为 ，右边为， 因此. 14. 袋子中有9个大小相同的球，其中7个白球，2个黑球，摸出的球不放回.在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率是________；两次摸到的都是白球的概率是__________. 【答案】 ①. ##0.75 ②. 【解析】 【分析】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，先求和，然后根据条件概率公式来求；先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率. 【详解】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求， 因为 ， ， 所以， 即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 . 因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为. 故答案为：；. 15. 现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是________. ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解①，根据分组分配问题即可求解②③④. 【详解】若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故①错误；先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故②正确； 先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故③错误； 对④，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为，所以不同安排方案的种数是，故④正确. 故答案为：②④. 三、解答题（共60分，16、17题12分18题9分，19题12分、20题15分） 16. 二项式展开式的二项式系数和为64 （1）求n的值； （2）求展开式中各项的系数和； （3）求展开式中的常数项； （4）求二项式系数最大的项 【答案】（1）6 （2）4096 （3）960 （4） 【解析】 【分析】（1）根据的二项式系数和为结合题设即可求解； （2）利用赋值法，令即可求解； （3）求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （4）根据二项式系数的性质和的值可判断二项式系数最大的项，从而求解. 【小问1详解】 由题意，二项式展开式的所有二项式系数之和为，解得. 【小问2详解】 令，得， 则展开式中各项的系数和为4096. 【小问3详解】 展开式的通项为， 令，得，则展开式中的常数项为. 【小问4详解】 由于为偶数，则二项式系数最大的项为第4项， 即为. 17. 高二某班计划从4名男生、3名女生中选拔4人负责本周校会. （1）若要求选出的4人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）已经按照（1）中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的4人中安排1人担任校会主持，1人进行国旗下的讲话，2人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）在完成（2）的职务分配后，校会结束后这4位同学和班主任共5人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】（1）34 （2）12 （3）48 【解析】 【分析】（1）结合组合数利用间接法列式计算即可； （2）结合组合数根据分步乘法原理求解即可； （3）利用捆绑法结合分步乘法原理求解即可. 【小问1详解】 如果选出的4人中同时包含男生和女生，先从所有7人中选4人，去掉只有男生的情况，故有种组合方式. 【小问2详解】 先选出的4人中安排1人担任校会主持，再从剩余3人中安排1人进行国旗下的讲话， 最后让剩余2人负责升旗仪式，共有种职务分配方案 【小问3详解】 将两位升旗手看成一个整体，与其它的3人排列有种情况， 再排两位升旗手有种情况，共有种排法. 18. 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样调查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数分布列如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 【答案】甲厂材料抗拉强度稳定性好，理由见解析 【解析】 【分析】计算出，比较后得到答案. 【详解】， 故 ， ， ， 显然，，甲厂材料抗拉强度稳定性好 19. 从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛， （1）至少选到1名女生的方法有多少种? （2）设随机变量X表示所选2人中女生的人数，求X的分布列及期望、方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析；；. 【解析】 【分析】（1）利用间接法及组合数公式即可求解； （2）根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列，利用随机变量的期望公式及方差公式即可求解. 【小问1详解】 从4名男生和2名女生中任选2人有种方法，不含女生的方法种，所以至少选到1名女生的方法有种. 【小问2详解】 随机变量的可能取值为. 故的分布列为 所以 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分、和讨论求解即可； （3）将问题转化为成立，令，利用导数求出的最大值即可得答案. 【小问1详解】 依题意， 所以, ， 又 函数在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 当， ①当时，，在单调递增， ②当时，，在单调递减， ③当时，令，解得 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减． 综上可知， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减 【小问3详解】 由（2）可知， ， ， 故在单调递减， 又因为时，, 所以， 即， 因为，对，关于a的不等式恒成立， 所以，对，恒成立， 即成立， 令， 因为 令在上单调递增 因为 所以，由零点存在定理，可知，使得，即． 当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二数学期中考试试卷 一、选择题（每题4分，共36分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 当时，取极小值 D. 当时，取极大值 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. ， C. D. 6. 电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（ ） A. B. 27 C. D. 6 7. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 由，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中小于的偶数共有（ ） A. 360 B. 192 C. 312 D. 240 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） ①函数存在两个不同的零点 ②函数既存在极大值又存在极小值 ③当时，方程有且只有两个实根 ④若时，，则的最小值为2 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为_________． 11. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 12. 若函数的单调递减区间为，则________． 13. ，二项式系数和为128，则________（结果用数字表示）． 14. 袋子中有9个大小相同的球，其中7个白球，2个黑球，摸出的球不放回.在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率是________；两次摸到的都是白球的概率是__________. 15. 现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的序号是________. ①不同安排方案的种数为 ②若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ③若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 ④若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 三、解答题（共60分，16、17题12分18题9分，19题12分、20题15分） 16. 二项式展开式的二项式系数和为64 （1）求n的值； （2）求展开式中各项的系数和； （3）求展开式中的常数项； （4）求二项式系数最大的项 17. 高二某班计划从4名男生、3名女生中选拔4人负责本周校会. （1）若要求选出的4人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）已经按照（1）中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的4人中安排1人担任校会主持，1人进行国旗下的讲话，2人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）在完成（2）的职务分配后，校会结束后这4位同学和班主任共5人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 18. 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样调查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数分布列如下： X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． 19. 从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛， （1）至少选到1名女生的方法有多少种? （2）设随机变量X表示所选2人中女生的人数，求X的分布列及期望、方差. 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）在（2）的条件下，记的最大值为，若对任意的，使得关于a的不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $