精品解析：广东省中山市华侨中学2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷

2025-2026学年广东省中山市华侨中学八年级上学期数学期中试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，12，20 D. 5，5，11 4. 点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板如图摆放，则和不一定相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得．则判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，外角，，则的度数是 _________． 12. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 13. 已知等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于9，则它的周长为________． 14. 已知的三条边长为2，，7，则x的取值范围是____________． 15. 如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是_____________． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 如图，点、、、在同一条直线上，已知，，，，求证：． 17. 如图，在中，平分交直线的延长线于点，求的度数． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，如果，，求的周长． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图，在中，平分，，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点，的坐标； （2）画出关于轴对称的，并写出点，的坐标； （3）在y轴上找一点P，使的值最小． 21. 如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 五、解答题（三）（第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与的位置关系． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省中山市华侨中学八年级上学期数学期中试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称图形的定义，在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形，理解此定义是解题关键． 【详解】解：根据轴对称图形的定义， 只有选项C能找到一条直线使得折叠后可以重合，是轴对称图形； 故选：C． 2. 平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：A． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 8，7，15 C. 13，12，20 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、，3，4，8不能组成三角形； B、，8，7，15不能组成三角形； C、，13，12，20能够组成三角形； D、，5，5，11不能组成三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 4. 点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 5. 将一副三角板如图摆放，则和不一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等，领补角互补及三角板角度的有关计算，根据对顶角，领补角及余角逐个计算即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， 选项A：，，，故不符合题意， 选项B：，，，故不符合题意， 选项C：，不一定相等，符合题意， 选项D：，故不符合题意， 故选：C． 6. 用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，可得．则判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴（）， 故选：D． 【点睛】本题考查作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 7. 如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，是的边上的中线，可得，进而得出的周长，的周长，相减即可得到周长差． 【详解】是的中线， ， ∴与的周长之差为：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键． 8. 如图，中，，，边的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等的性质．先根据等腰三角形的性质求出，由线段垂直平分线的性质得，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴． 故选C． 9. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，根据、为折痕，可知、分别为，的角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， 故选：B． 10. 如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，外角，，则的度数是 _________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”解答即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 12. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 13. 已知等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于9，则它的周长为________． 【答案】21或24 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查等腰三角形的定义，同时考查三角形的三边关系. 【详解】解：分两种情况： 当腰为6时，，周长是：； 当腰为9时，，周长是：． 故它的周长为21或24． 故答案为：21或24． 14. 已知的三条边长为2，，7，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解不等式组，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式是解题的关键． 根据题意，得出，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是_____________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 如图，点、、、在同一条直线上，已知，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意可得，再利用即可证明结论． 【详解】证明： ，即 在与中， ， ， ． 17. 如图，在中，平分交直线的延长线于点，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得∠的度数，从而根据三角形的外角即可求出的度数，利用直角三角形的两锐角互余求得的度数． 【详解】解：， ， ∵平分， ， ， ， ． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，如果，，求的周长． 【答案】（1） 如图，直线DE为AB的垂直平分线． （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意，作线段的垂直平分线，即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，继而可得的周长，代入数值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵DE垂直平分AB， ∴， ∵，， ∴的周长 ． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 四、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图，在中，平分，，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质. （1）根据角平分线的性质得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，则，再证明，根据全等三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 设， 则， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点，的坐标； （2）画出关于轴对称的，并写出点，的坐标； （3）在y轴上找一点P，使的值最小． 【答案】（1）见解析，， （2）见解析，， （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出，并写出点，的坐标； （2）根据轴对称的性质，即可画出，并写出点，的坐标； （3）连接交y轴于P，从而解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，， 【小问3详解】 解：如图所示，点P即为所求， 21. 如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）证明，进而结合全等三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质解题． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵≌， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 五、解答题（三）（第22题13分，第24题14分，共27分） 22. 如图，和都是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从点A出发，点P以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设P，Q运动的时间为t秒． （1）点P，Q从出发到相遇所用时间是_______秒； （2）当t取何值时，也是等边三角形？请说明理由； （3）当时，判断与的位置关系． 【答案】（1）４； （2）， 理由：如图，若是等边三角形，此时点在上， 点在上，， 和都是边长为4厘米的等边三角形， ， ， 则，即， 解得， ∴当时，也是等边三角形； （3）与互相垂直． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题的关键． ()根据相遇问题，由路程速度时间，建立等式求出的值即可； ()根据若是等边三角形，此时点在上，点在上，且，进而得出，求出即可； ()根据，运动速度得出，是等边三角形，得求出即可； 【小问1详解】 解：设点从出发到相遇所用时间是， 根据题意得： ， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 与互相垂直，理由如下： 如图，根据题意得：，取的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，与互相垂直． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；；； （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【小问1详解】 解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $