专题03 立体几何初步 6大高频考点（期末真题汇编）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集多地区期末真题，覆盖立体几何6大高频考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查空间想象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|每个考点3-15题|基本立体图形判断、直观图面积、线面位置关系|如正方体表面最短路径（考点01）、斜二测画法命题判断（考点02），注重概念辨析与空间转化| |填空|每个考点2-4题|旋转体表面积、内切球体积、球面交线|如圆台内切球表面积（考点03）、蚂蚁绕旋转体侧面爬行最短路径（考点01），突出空间建模| |解答题|每个考点1-3题|体积计算、线面平行垂直证明、二面角求解|如直三棱柱外接球与内切球表面积比（考点03）、折叠问题外接球表面积（考点06），体现综合应用与逻辑推理|

专题03 立体几何初步 6大高频考点概览 考点01基本立体图形 考点02立体图形的直观图 考点03简单几何体的表面积与体积 考点04 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点05空间直线、平面的平行 考点06 空间直线、平面的垂直 ( 地 城 考点01 基本立体图形 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·吉林白山·期末）设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 3．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建南平·期末）已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·陕西西安·期末）（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）（多选）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 二、填空题 7．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_____．    8．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 9．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 10．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为1，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______． ( 地 城 考点02 立体图形的直观图 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 3．（24-25高一下·江西·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 4．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为（   ）    A．8 B． C．1 D． 6．（24-25高一下·辽宁·期末）（多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 7．（24-25高一下·江西吉安·期末）（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 二、填空题 8．（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 9．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 三、解答题 10．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． ( 地 城 考点0 3 简单几何体的表面积与体积 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）一正四棱台内接于圆锥，其俯视图如下图所示.若底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为，则圆锥与棱台体积之比为（   ）. A． B． C． D． 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·云南曲靖·期末）（多选）如图，已知长方形ABCD中，将其沿着AB旋转一圈得到一个圆柱，A，B为上下底面的圆心.圆柱内有一个半径为1的小球在其内部运动，小球的球心为O ，则下列说法正确的有（    ） A．该圆柱外接球的表面积为32π B．球心O的轨迹为一个长方体 C．沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为8 D．小球运动过程中所走过的空间的体积大于 8．（24-25高一下·辽宁·期末）（多选）“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 9．（24-25高一下·河北唐山·期末）（多选）在中，，，，分别以边，，所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，分别记为，，，则（    ） A．几何体侧面积为 B．几何体与几何体的体积之比为5：3 C．几何体与几何体的外接球半径之比为5：3 D．过几何体顶点的平面截所得的截面面积最大值为12 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）（多选）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 12．（24-25高一下·河南安阳·期末）（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．若为线段上的动点，则的最小值为 D．圆锥外接球的表面积为 13．（24-25高一下·河南南阳·期末）（多选）若四面体的各棱长为2或4，且该四面体不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（    ） A．18π B．20π C． D． 14．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 15．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 二、填空题 16．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 17．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 三、解答题 18．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱锥中，底面，，，，. (1)求的大小； (2)求三棱锥的体积. 19．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．    (1)若，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积； (3)当为何值时，圆柱的侧面积最大． 20．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，由三棱锥顶点P出发的三条棱两两垂直．设，，． (1)若，求点P到平面的距离； (2)若的面积为8，二面角的大小为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求三棱锥体积的最大值． ( 地 城 考点0 4 空间点、直线、平面之间的位置关系 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角是45°，且平面内的直线和斜线在平面内的射影的夹角是45°，则直线、所成的角是（  ） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 5．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知正四棱台的体积为14，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川眉山·期末）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若直线平面，直线，则 B．两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C．若平面平面，直线平面，直线平面，则 D．若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 二、填空题 7．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______    8．（24-25高一下·江苏南京·期末）在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．    三、解答题 9．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 10．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G，H分别为的中点． (1)求异面直线与所成的角的正切值； (2)正方体的所有顶点均在同一个球面上，求该球体的体积． ( 地 城 考点0 5 空间直线、平面的平行 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 5．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知为两个不同的平面，则的必要不充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一平面 C．内有无数条直线与平行 D．内有两条相交直线与平行 6．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 7．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在正三棱柱中，，外接球表面积为，P为的中点，Q为侧面内（含边界）一点，若平面，则点Q运动轨迹的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 8．（24-25高一下·辽宁·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，点是棱的中点，过线段作与平面平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（   ） A．截面图形是梯形 B．截面图形是五边形 C．截面的面积为 D．该截面所在平面截正方体的外接球所得截面的面积为 9．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）（多选）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，则下面命题中正确的序号是（    ） A．有水的部分始终呈棱柱形 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 二、填空题 10．（24-25高一下·北京·期末）正方体的棱长为1，是棱上的一个动点，平面与棱交于点. （1）给出下列三个结论： ①四棱锥的体积为定值； ②四边形可能是正方形； ③若在棱上存在点，使得平面，则线段； 其中所有正确结论的序号是_______. （2）当点不是棱的端点时，设，，记和四边形的面积分别为，，则的取值范围是_______. 11．（24-25高一下·甘肃张掖·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 12．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线的长为________；若E为BC边上一点，则四棱锥的体积为________． 13．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为______.    三、解答题 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 15．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    (1)求证：平面； (2)设过点G，E，C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. （i）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （ii）求出将四面体分成两部分几何体体积之比. ( 地 城 考点0 6 空间直线、平面的垂直 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 6．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为     ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为         ④剩下几何体的表面积为 三、解答题 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 10．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 立体几何初步 6大高频考点概览 考点01基本立体图形 考点02立体图形的直观图 考点03简单几何体的表面积与体积 考点04 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点05空间直线、平面的平行 考点06 空间直线、平面的垂直 ( 地 城 考点01 基本立体图形 )一、选择题 1．（24-25高一下·吉林白山·期末）设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】由几何体的结构特征逐一判断各个命题即可求解. 【详解】对于①，若直角三角形绕斜边旋转一周，则形成的几何体是两个同底面圆的圆锥的组合体，故①错误； 对于②，棱长都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形，四个侧面是正方形的直四棱柱，故②错误； 对于③，四棱柱所有的侧面都是平行四边形，但上下底面可能为梯形，故③错误； 故命题①②③都是假命题. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲（折）为直，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图，在正方体中，P、Q分别为棱，BC的中点， 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，. 综上所述，最短路径. 故选：D. 3．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离. 【详解】因为，，点P为棱的中点， 所以， 所以，， 所以为等腰三角形. 设点P到直线AB的距离为h，因为，， 则. 故选：A. 4．（24-25高一下·福建南平·期末）已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定截面的顶角和母线的夹角，再利用三角形面积公式得到，结合轴截面的性质得到，进而建立不等式，求解的取值范围即可. 【详解】如图，设轴截面顶角为，两个母线的夹角为， 底面半径为，且， 由三角形面积公式得截面面积为， 若截面面积的最大值为，则，解得， 则，即，由轴截面的性质可得， 即，解得，故C正确. 故选：C 5．（24-25高一下·陕西西安·期末）（多选）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】ABC 【分析】根据棱柱的几何结构特征依次判断选项即可． 【详解】对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：ABC. 6．（24-25高一下·吉林长春·期末）（多选）已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（   ） A．点到平面的距离为 B．曲线的长度为 C．线段的最小值为 D．所有线段所形成的曲面面积为 【答案】ACD 【分析】根据正四面体的性质进行计算，可判定A；结合球的性质研究得到曲线为正的以中心中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，进而判定BCD. 【详解】设截得已知三棱台的正四面体为，根据正四面体的性质，点到平面的距离平面，垂足为， ，A选项正确； 以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则， 点轨迹为以正中心为圆心半径为2的圆在梯形内的部分，为两段圆弧，每一段的圆心角都是，端点都是正边的三等分点，如图所示. 曲线的长度为，B选项错误； 连接,由圆的性质可得线段的最小值，C选项正确； 所有线段所形成的曲面是以为顶点，圆为底面的圆锥的侧面的了2小部分，其面积为面积，D选项正确. 故选：ACD 二、填空题 7．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_____．    【答案】12 【分析】根据已知几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分，将其补为圆锥并将侧面展开，即可求蚂蚁爬行的最短路程. 【详解】由题意，几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分， 所以，可将几何体补为母线长为12，底面半径为2的圆锥，再将其侧面展开如下图示，    所以圆环的一部分，即为圆台的侧面展开图，而， 所以为等边三角形，故蚂蚁爬行的最短路程为线段. 故答案为：12 8．（24-25高一下·辽宁·期末）如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 9．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图，三个半径都是6的球，球，球放在一个半球面的碗（碗的厚度不计）中，球，球，球两两外切，并且球，球，球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，碗的半径是，又有一个半径为的球与球，球，球均外切，并且球的顶端也恰好与碗的上沿处于同一水平面，则__________． 【答案】 【分析】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为，则构成正三棱柱，在正三棱柱中利用勾股定理构建方程可求，再根据相切可得即可求解. 【详解】根据题意，设三个球心在碗面的投影为，碗面中心为， 则构成如图正三棱柱，底面边长为12，高 过作，交于， 则，，， 又，所以，解得， 又球，球，球与半球面相切，，所以， 则. 故答案为：. 10．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知圆台上、下底面的圆周都在球心为的球面上，若球半径为1，，分别为圆台上下底面圆周上的动点，且直线，与圆台底面所成的角分别为，，则面积的取值范围为______． 【答案】 【分析】分圆台的上下底面在外接球球心的同侧和两侧进行讨论. 【详解】如下图，为圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心的同侧. 可令点保持不动，点在底面圆周上运动. 因为，，所以，. 所以在点的运动过程中，与的夹角的取值范围为：. 所以，当时取得最小值，当时，取得最大值. 又，所以. 如下图：圆台的轴截面，圆台的上、下底面的圆周在球心的两侧. 则，. 所以在点的运动过程中，与的夹角的取值范围为：. 所以，当时取得最小值，当时，取得最大值. 所以. 综上可得：面积的取值范围为. 故答案为： ( 地 城 考点02 立体图形的直观图 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 3．（24-25高一下·江西·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则，结合选项逐一分析判断. 【详解】对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确； 对于BC，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，BC正确； 对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方， 又，因此，D错误． 故选：D 4．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 5．（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为（   ）    A．8 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据已知求原图的面积，再由斜二测画法中原图与直观图面积关系求结果. 【详解】由题设， 由. 故选：C 6．（24-25高一下·辽宁·期末）（多选）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可． 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 7．（24-25高一下·江西吉安·期末）（多选）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 二、填空题 8．（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 9．（24-25高一下·吉林长春·期末）把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 【答案】9 【分析】根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 故答案为：9 三、解答题 10．（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析(2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． ( 地 城 考点0 3 简单几何体的表面积与体积 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的性质结合条件可得直三棱柱外接球半径，然后根据直三棱柱的底面三角形内切圆半径结合条件可得内切球半径，进而得解. 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 2．（24-25高一下·吉林松原·期末）在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，，所以，故， 又因为平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， 设三棱锥的外接球半径为， 则，故， 因此该球的表面积为. 故选：D. 3．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，得该几何体为以1为底面半径，高为的圆锥，即可求解． 【详解】在直角中，斜边，直角边， 得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：， 故选：A 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）一正四棱台内接于圆锥，其俯视图如下图所示.若底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为，则圆锥与棱台体积之比为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为R，结合题意求出棱台上底面正方形边长，设圆锥高，即可表示出棱台的高，结合棱台以及圆锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为R，则正四棱台的底面边长为， 则阴影部分面积为， 由于底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为， 设棱台上底面正方形边长为a，则，则， 即正四棱台的上下底面边长之比为，而正四棱台内接于圆锥， 则正四棱台各侧棱延长后交于一点，即为圆锥的顶点， ， 设圆锥的高为h，则正四棱台的高为， 故, 故选：D 6．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接.由，求出 ，设外接球半径为，由，解得，即可求解． 【详解】 如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为. 故选：B. 7．（24-25高一下·云南曲靖·期末）（多选）如图，已知长方形ABCD中，将其沿着AB旋转一圈得到一个圆柱，A，B为上下底面的圆心.圆柱内有一个半径为1的小球在其内部运动，小球的球心为O ，则下列说法正确的有（    ） A．该圆柱外接球的表面积为32π B．球心O的轨迹为一个长方体 C．沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为8 D．小球运动过程中所走过的空间的体积大于 【答案】ACD 【分析】首先确定所得圆柱底面半径、高，再求出外接球半径，即可判断A、C；根据小球在圆柱中运动，直观想象确定球心的轨迹及小球所及空间的最大体积判断B、D. 【详解】由题设，所得是底面半径为2，高为4的圆柱，则其外接球的半径为， 所以外接球的表面积为，A对； 沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为，C对； 由于小球半径为1，则其在圆柱中运动时轨迹是底面半径为1，高为2的圆柱，B错； 小球运动过程中所走过的空间是除去球体与圆柱的底面和侧面相切时球体与圆柱所成空隙部分的其它空间， 该空间最大体积大于，D对， (括号部分说明：表示从一个底面半径、高为2的圆柱体中去掉一个底面半径为1，高为2的圆柱体和一个底面为半圆(半径为1)，高为的柱体). 故选：ACD 8．（24-25高一下·辽宁·期末）（多选）“阿基米德多面体”也称半正多面体，它是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将棱长为的正方体沿从同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到如图所示的半正多面体，则该半正多面体（    ）    A．有24条棱，12个顶点 B．表面积为 C．表面上任意两点间的最大距离为 D．有内切球，且它的体积为 【答案】AB 【分析】对于A选项，直接观察几何体即可判断选项正误； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，然后通过面积公式计算即可判断选项正误； 对于C选项，通过求解正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离，并将该距离与比较即可判断选项正误. 对于D选项，通过比较正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离与正方体的中心和半正多面体三角形侧面的距离是否相等，即可判断选项正误 【详解】对于A选项，该半正多面体共有24条棱，12个顶点，故A项正确； 对于B选项，由题可得该半正多面体的表面由6个边长为1的正方形和8个边长为1的等边三角形组成，所以表面积为，故B项正确； 对于C选项，正方体的上底面内一条棱的中点与下底面内不在同一个正方体表面上且与之平行的棱的中点距离为2，，故C项错误； 对于D选项，正方体的中心到半正多面体的正方形侧面的距离为，正方体的中心和半正多面体三角形侧面的三个顶点构成棱长为1的正四面体，所以该正四面体的高，故半正多面体不存在内切球，故D项错误. 故选：AB 9．（24-25高一下·河北唐山·期末）（多选）在中，，，，分别以边，，所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，分别记为，，，则（    ） A．几何体侧面积为 B．几何体与几何体的体积之比为5：3 C．几何体与几何体的外接球半径之比为5：3 D．过几何体顶点的平面截所得的截面面积最大值为12 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用圆锥的侧面积公式、体积公式求解判断AB；借助圆锥轴截面求出其外接球半径判断C；求出过顶点的圆锥截面面积最大值判断D. 【详解】在中，，即是直角三角形，且， 对于A，是底面圆半径为4，母线长为5的圆锥，侧面积为，A正确； 对于B，是底面圆半径为3，高为4的圆锥，体积为， 是底面圆半径为，直线为轴的共底面的两个圆锥组合而成， 体积为，，B错误； 对于C，轴截面等腰三角形底角正弦为，其外接球半径为， 的外接球半径，因此，C正确； 对于D，轴截面等腰三角形顶角等于是钝角， 过几何体顶点的平面截所得的截面等腰三角形顶角为， 该截面面积， 当且仅当时取等号，D错误. 故选：AC 10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．若平面，则点运动轨迹长度为 B．若，则点运动轨迹长度为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A根据线面平行，找到平行平面与已知平面的交线即可；对于B通过球与平面相交的截面圆计算轨迹长度；对于C利用平行线找到平面的截面图形在计算长度；对于D三棱锥外接球问题，计算球的半径，最后计算球的表面积； 【详解】 对于A，取中点，连接， 若平面，过点作平面的平行平面， 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面，可得平面， 同理平面，进而得到平面平面， 点是底面内一动点，点运动轨迹为线段,长度为6，A错误； 对于B，若，则可看作以为球心，半径为的球与平面相交的圆的四分之一周长即为点运动轨迹， 在正方体中，平面，且， 设球与平面的截面圆半径, 所以点运动轨为以D为圆心，为半径的圆在正方形内的部分， 则点运动轨迹长度为，B正确； 对于C，因为， 过三点的平面截正方体所得截面图形，则截面图形的周长为 ，C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为6，6，3的长方体的外接球， 则外接球半径为，所以表面积，故D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高一下·吉林长春·期末）（多选）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 12．（24-25高一下·河南安阳·期末）（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．若为线段上的动点，则的最小值为 D．圆锥外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】对A，计算圆锥侧面积需用到圆锥侧面积公式；对B，求三棱锥体积最大值，要先明确其体积公式，这里高是圆锥的高，底面积是的面积，需找出面积的最大值；对C，求的最小值，可通过将侧面展开，利用平面上两点之间线段最短的原理求解；对D，求圆锥外接球表面积，要先确定外接球的半径，可根据圆锥的轴截面特征结合外接球的性质来计算. 【详解】对于A，由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，当是的高时，的面积最大，则三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； 对于C，若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 当三点共线时，的最小值是， 在中，，， 由余弦定理可知，，故C正确； 对于D，因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的表面积为，故D正确． 故选：BCD. 13．（24-25高一下·河南南阳·期末）（多选）若四面体的各棱长为2或4，且该四面体不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（    ） A．18π B．20π C． D． 【答案】ACD 【分析】设四面体为，四面体为的外接球的球心为，半径为，分三种情况讨论①若其中一组对棱相等且长度为2，其余棱长为4，②若一条棱长，其余各棱棱长均为4，③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为4，是边长为2的等边三角形.根据对称性确定球心位置，由球心到各顶点距离相等列式可求半径，进而得到四面体外接球的表面积. 【详解】设四面体为，四面体为的外接球的球心为，半径为，表面积为. 分以下几种情况讨论： ①若其中一组对棱相等，不妨设，其余各棱棱长均为4，取的中点，连接. ∵，，为的中点，故，, ∴， ∴，, 根据对称性，球心在上，设，则. 由得，解得， 所以 ②若，其余各棱棱长均为4，取的中点，连接、， 因为，为的中点，故，,， ∴，, 根据对称性，球心在上，设，则. 由得，解得， 所以 ③三棱锥为正三棱锥，且侧棱长为4，是边长为2的等边三角形， 设顶点在底面内的射影点为，连接、， 则是底面正三角形的中心，且， 根据对称性，球心在上，设，则. 由得，解得. 所以 故选：ACD. 14．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 15．（24-25高一下·四川成都·期末）（多选）如图所示的圆台，圆台的高为，上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．一只蚂蚁从点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达的中点处，则爬行的最短路程为5 【答案】ACD 【分析】利用圆台的表面积公式和体积公式，梯形的面积公式计算即可判断A，B，C项；将圆台侧面展开，利用弧长公式和勾股定理即可求解. 【详解】对于A，圆台轴截面为等腰梯形，其中， 则其面积为：，故A正确； 对于B，由图知，圆台的母线长， 则圆台的表面积为：，故B错误； 对于C，该圆台的体积为，故C正确； 对于D，将圆台沿着母线展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最短路程为的长. 因劣弧的长为，故的弧度数为， 又点是的中点，故，由勾股定理，，故D正确. 故选：ACD. 二、填空题 16．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 【答案】 【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为，根据直角三角形的性质得，，利用列式，化切为弦利用辅助角公式求得，代入球的表面积公式即可求解. 【详解】如图， 设球的半径为，，， ，， ，即球体建筑物的表面积为. 故答案为： 17．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【分析】由题可得三棱锥为侧棱垂直于底面的三棱锥，据此可由图确定外接球球心，据此可得答案. 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 三、解答题 18．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱锥中，底面，，，，. (1)求的大小； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）只需求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又因为 所以； （2）因为底面，平面，所以， 因为，，所以， 即三棱锥的高为6， 因为，，， 所以三角形的面角为， 所以三棱锥的体积为. 19．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．    (1)若，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积； (3)当为何值时，圆柱的侧面积最大． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据条件知设球心为的中点，结合题设条件求出，再利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求解； （2）设，根据条件得到，进而求出，再利用圆柱和圆锥的表面积公式，即可求解； （3）设，根据条件得圆柱的侧面积为，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）如图，设球心为，由题知为的中点，且（其中为外接球的半径）， 又球半径为，，则， 所以，则圆柱的体积为，圆锥的体积为， 则几何体的体积.      （2）因为，不妨设， 由题知，得到， 则，又，则， 所以圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为， 所以几何体的表面积为. （3）设，则， 则圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大. 20．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，由三棱锥顶点P出发的三条棱两两垂直．设，，． (1)若，求点P到平面的距离； (2)若的面积为8，二面角的大小为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）由等体积法求点面距离即可； （2）（ⅰ）根据题意求得，进一步有，由此即可得解；（ii）只需求得的最大值为，再结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，． 设P到平面的距离为h，则． 又， 所以，，所以P到平面的距离为． （2）（ⅰ）在三棱锥中，过P作于D，连接， 因为，，， 所以平面，故． 又因为，， 所以平面，所以， 因此为二面角的平面角， 所以，在直角中，， 因为， 所以． （ⅱ）在中，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立． 又因为，所以， 在直角中，， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，三棱锥体积的最大值为． ( 地 城 考点0 4 空间点、直线、平面之间的位置关系 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，逐项分析即可． 【详解】选项A，若，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确； 选项B，若，，， 则平面与平面可能平行，可能相交；故B选项不正确； 选项C，若，，，则，故C选项正确； 选项D，，，， 则直线与直线可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C. 2．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角是45°，且平面内的直线和斜线在平面内的射影的夹角是45°，则直线、所成的角是（  ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】根据题意画出几何示意图，利用直线与平面的位置关系找出直线,所成的角即可求出其大小. 【详解】设直线交平面于点，在直线上任取一点，过点作平面的垂线，垂足为，连接，则， 再过点作直线，使得直线与直线夹角为45°，过点作，垂足为，连接，则，如图所示：    易知平面，直线平面，所以， 因为，，平面，所以平面； 又因为平面，所以，可得， 设，则，, 所以在中，， 因此. 故选：C 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】若，分析出有或相交或异面三种情况，即可判断A；若，过做平面，设，根据线面平行的性质定理得到，进而得到，再根据面面垂直的判定定理得到，即可判断B；若，，分析出有或与相交或三种情况，即可判断C；若，分和两种情况讨论的位置关系即可判断D. 【详解】若，则或相交或异面，故A错误； 若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知， 又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误； 若，，，当时，； 当时，或与相交，或，故D错误； 故选：B 4．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 5．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知正四棱台的体积为14，，则与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，找到线面角，然后根据台体体积公式计算高度，最后求出即可. 【详解】如图：分别为下、上底面的中心，连接，作交于点M，    由题可知：， ，则， 又与平面所成角为，所以. 故选：D 6．（24-25高一下·四川眉山·期末）（多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．若直线平面，直线，则 B．两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C．若平面平面，直线平面，直线平面，则 D．若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 【答案】BC 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】对于A，若直线平面，直线，则或，A选项错误； 对于B，如图，平面且为两条异面直线， 分别为的中点， 过点作交平面于，连接， 设是的中点，则， 又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面平面， 又，所以平面平面， 又平面，所以， 即夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面， 故B选项正确； 对于C，若平面平面，设，直线平面，直线平面， 所以所成角为所成面面角，则，C选项正确； 对于D，若直线平面，直线平面，，直线平面，直线平面，则可以是相交平面，D选项错误； 故选：BC. 二、填空题 7．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______    【答案】 【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可. 【详解】如图过作交于，连接，    因为底面，底面，所以，，， 因为底面是正方形，， 所以由勾股定理可得，即， 又，，所以，所以， 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 因为，由勾股定理可得，，， 设，则，所以由得， 解得， 所以， 在中由余弦定理可得， 因为，所以， 即二面角的大小为， 故答案为： 8．（24-25高一下·江苏南京·期末）在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】根据题目已知条件判断出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体的棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：.    三、解答题 9．（24-25高一下·北京顺义·期末）如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为. (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)若平面与棱交于点，求四边形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理得平面，又由面面垂直的判定定理即可得证； （2）先计算梯形的面积，利用四棱锥的体积公式即可求解； （3）先证平面平面，过点作交于，计算，得四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由侧面是正方形有，又, 又平面，所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由（1）有平面，又，所以平面， 所以为与平面所成角，即， 又，所以，即， 所以梯形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （3）由侧面是正方形，得，平面，平面， 所以平面，又，平面，平面， 所以平面，又，平面，所以平面平面， 连接，平面平面，平面平面，则， 由，所以， 又，，所以，， 由，，所以， 过点作交于， 由有，又，，，即， 所以，所以四边形为等腰梯形， 如图作，所以， ，所以， 所以等腰梯形的面积为：. 10．（24-25高一下·云南昭通·期末）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G，H分别为的中点． (1)求异面直线与所成的角的正切值； (2)正方体的所有顶点均在同一个球面上，求该球体的体积． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据平行的传递性得出，同理可得，所以或其补角为两异面直线的夹角即可计算求解； （2）应用正方体外接球公式计算求解外接球的半径，结合球的体积公式即可求解. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形．                     又是的中位线， 所以，， 同理可以证明：，                         或其补角为两异面直线的夹角，为等边三角形， 所以，所以异面直线和所成角的正切值为；                 （2）设正方体外接球的半径为，所以， 所以，                         所以正方体外接球的体积. ( 地 城 考点0 5 空间直线、平面的平行 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件． 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 3．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，过点作出与平面平行的长方体部分截面，确定点的轨迹即可. 【详解】在长方体中，取的中点，连接, 由点为的中点，得，则四边形是平行四边形， ，又，则四边形是平行四边形， 于是，取中点，在上取点，使得，连接， 而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 于是平面，由为的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹是线段，而， 所以点的轨迹长度为. 故选：C 4．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．异面 【答案】B 【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B 5．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知为两个不同的平面，则的必要不充分条件是（    ） A．平行于同一条直线 B．平行于同一平面 C．内有无数条直线与平行 D．内有两条相交直线与平行 【答案】C 【分析】要判断是否为的必要不充分条件，就要依据的是能推出该条件，但该条件不能推出，结合面面平行的判定定理和性质定理一一判断即可. 【详解】对于A，若平面平行于同一条直线，则平面可能平行，也可能相交，若，当直线时，，此时不平行于同一条直线， 所以“平行于同一条直线”不是“”的必要不充分条件； 对于B，易得“平行于同一平面”是“”的充要条件； 对于C，若内有无数条直线与平行，则平面可能平行，也可能相交，若，则内一定有无数条直线与平行， 所以“内有无数条直线与平行”是“”的必要不充分条件； 对于D，由面面平行的判定定理知，“内有两条相交直线与平行”是“”的充分条件， 由面面平行的性质知，若，则内任意一条直线都与平行， 所以内有两条相交直线与平行，所以“内有两条相交直线与平行”是“”的充要条件． 故选：C. 6．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作出示意图，由题意可求得，进而求得正面体的棱长，根据正三角形面积公式求解正四面体的表面积. 【详解】作出截面如图所示：    因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 7．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）在正三棱柱中，，外接球表面积为，P为的中点，Q为侧面内（含边界）一点，若平面，则点Q运动轨迹的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】先求出外接球半径，作出辅助线，根据外接球半径求出正三棱柱的高，取的中点，连接，证明出面面平行，从而当在线段上时，平面，故平面，故点Q运动轨迹的长度为的长，求出. 【详解】设正三棱柱的外接球半径为， 则，解得， 设的中点分别为，连接， 在上分别取，使得， 故分别为等边三角形和等边三角形的中心， 连接，则的中点即为正三棱柱的外接球球心， 即，设正三棱柱的高为，则，， 因为，所以，， 则，解得， 因为P为的中点，所以，又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 取的中点，连接，则，同理可证平面， 因为，平面，所以平面平面， 故当在线段上时，平面，故平面， 故点Q运动轨迹的长度为的长，.    故选：A 8．（24-25高一下·辽宁·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，点是棱的中点，过线段作与平面平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（   ） A．截面图形是梯形 B．截面图形是五边形 C．截面的面积为 D．该截面所在平面截正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】对于AB，根据面面平行的判定定理找到截面，并进行证明，则得出截面为梯形；对于C，根据截面等腰梯形的面积公式计算得到结果；对于D，先求的正方体的外接球半径，再利用等体积法计算球心到截面的距离，进而计算截面圆半径，最后计算圆的面积； 【详解】 延长至点使得，取的中点，连接， 因为点分别是棱，的中点，点是棱的中点， 所以，在正方体中，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又且平面，所以平面平面， 则过线段作与平面平行的平面为梯形. 对于AB，A正确，B错误； 对于C，正方体的棱长为2，所以， ， 计算等腰梯形的高为 则截面梯形面积为，C正确； 对于D，正方体的外接球球心在正方体体对角线的中点， 所以球的半径， 在正方体中，设点到平面的距离为，则球心到平面的距离为， 在中，，， 所以，则面积为， 根据等体积，解得， 因此该截面所在平面截正方体的外接球所得截面圆的半径， 所以面积为，D正确； 故选：ACD. 9．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）（多选）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，则下面命题中正确的序号是（    ） A．有水的部分始终呈棱柱形 B．没有水的部分始终呈棱柱形 C．水面所在四边形的面积为定值 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 【答案】ABD 【分析】根据棱柱的定义判定A，B，利用线面垂直的性质定理可得水面是矩形判定C，利用等体积法判断D即可. 【详解】根据棱柱的定义：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余没相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形可知， 由于边固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面， 所以在倾斜的过程中有水的部分始终呈棱柱形，同理没有水的部分始终呈棱柱形，A，B正确； 在倾斜的过程中，长度不变，不断变化， 又因为，所以始终垂直于平面，又平面，所以水面是矩形， 所以水面所在四边形的面积不是定值，C说法错误； 因为水的体积是不变的，正三棱柱的高始终是也不变， 所以底面面积也不会变，即是定值，D说法正确； 故选：ABD 二、填空题 10．（24-25高一下·北京·期末）正方体的棱长为1，是棱上的一个动点，平面与棱交于点. （1）给出下列三个结论： ①四棱锥的体积为定值； ②四边形可能是正方形； ③若在棱上存在点，使得平面，则线段； 其中所有正确结论的序号是_______. （2）当点不是棱的端点时，设，，记和四边形的面积分别为，，则的取值范围是_______. 【答案】 ①③； 【分析】（1）①证明出四边形为平行四边形，求出，四棱锥的体积为定值，①正确；②得到与与垂直不能同时成立，故不可能为正方形；③分，，和四种情况，得到前三种情况满足要求，第四种不合要求，得到结论； （2）由（1）知，四边形为平行四边形，设，则，，由相似可得面积比例，表达出，故，由基本不等式求出最小值，得到答案. 【详解】（1）①因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，同理可得，故四边形为平行四边形， 其中，， ， 所以，四棱锥的体积为定值，①正确； 对于②，四边形要是正方形，对角线与要相等且垂直平分， ，此时与重合，与重合，或与重合，与重合， 但这两种情况下，与不垂直，故四边形不可能是正方形，②错误； 对于③，当时，取的中点，连接， 易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， ，平面，故平面平面， 因为平面，所以平面， 故此时点重合，满足要求； 当时，此时点与点重合时，满足平面； 若，在上取点，使得，连接，则， 因为平面，平面，所以平面， 在上取点，使得，连接，则， 同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，满足要求； 若，此时点或落在的延长线上，不合要求； 综上，若在棱上存在点，使得平面，则线段，③正确； 故正确结论的序号为①③； （2）由（1）知，四边形为平行四边形， 当点不是棱的端点时，设，则，， 因为，所以， 同理，所以， 所以，， 其中， 所以, 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的取值范围为. 故答案为：①③， 11．（24-25高一下·甘肃张掖·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 【答案】 【分析】两次应用线面平行判定定理得出平面，进而得出点的轨迹为线段，计算即可求解. 【详解】如图，分别取，的中点，连接，GH，，，HP， 因为为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面， 又因为，，则四边形是平行四边形，故， 因为，故，又平面，平面，可得平面， 且，平面，故平面平面． 又因为平面，故平面，故点的轨迹为线段，其长为． 故答案为：． 12．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则其体对角线的长为________；若E为BC边上一点，则四棱锥的体积为________． 【答案】 【分析】结合图形，借助于直角三角形可求的长，利用平面可将四棱锥的体积转化为四棱锥的体积，即可求得. 【详解】 如图，连接，在中，，； 因，平面，平面，则平面， 因E为BC边上一点，故四棱锥的体积即四棱锥的体积， 而， 即四棱锥的体积为. 故答案为：；. 13．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为______.    【答案】 【分析】在取点，使得，连接，分别证得平面和平面，得到平面平面，得到在线段上，根据为等腰三角形，即可求解. 【详解】如图所示，分别在取点，使得， 连接，可得， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又由，且，可得为平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且为正方形内一动点，所以在线段上， 在中，可得， 在中，可得，且， 所以为等腰三角形，取的中点，连接， 在中，可得， 所以的最短距离为，最长距离为， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：.    三、解答题 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中， ，，且平面 ∵， ∴. 15．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    (1)求证：平面； (2)设过点G，E，C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. （i）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （ii）求出将四面体分成两部分几何体体积之比. 【答案】(1)证明见解析(2)（i）答案见解析；（ii） 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，由比例关系得，即可证明； （2）（i）连接并延长交于点H，连接，，则平面即为. （ii）由（i）知，将四面体分成两部分，由的面积与四边形的面积之比为1:2进行求解. 【详解】（1）连接并延长交于点F，连接，    因为，所以， 平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接并延长交于点H，连接，，则平面即为. （ii）由（i）知，将四面体分成两部分， 分别为三棱锥与四棱锥，很显然两个棱锥的高相等，记为h， 的面积与的面积之比为， 所以的面积与四边形的面积之比为1:2， 则. ( 地 城 考点0 6 空间直线、平面的垂直 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用线面垂直的性质可知③正确，利用正方体可判断④错误. 【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示： 即①错误； 对于②，不妨取正方体为例，如下图所示： 直线外一点，此时平面与均与直线平行， 因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误； 对于③，在直线上取点、，设点、在平面内的射影点分别为、， 则，，故，故、、、共面， 由平面几何的相关知识可知，在平面内必存在直线，使得， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可知，在平面内也存在直线与直线垂直，即③正确； 对于④，不妨取正方体为例，如下图所示： 当点在上底面上时，此时不存在经过点的平面与、都平行，④错. 2．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，    所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则， 所以，，. 在中，即. 故选：A 3．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理即可作出判断. 【详解】非充分性：不能推出， 必要性：， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（24-25高一下·安徽宣城·期末）若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果. 【详解】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以A正确； 若，则存在一条直线，且，由，所以， 因为，，，所以，B选项正确； 根据面面垂直的判定定理，若，则，所以C正确； 根据面面平行的判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以D错误； 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】对于A，易得即可判断；对于B，可找到点P，M使得平面与平面PBD平行；对于C，由题意，证得，得到二面角的平面角即可判断；对于D，求得点M的轨迹长度判断． 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 6．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 二、填空题 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知四面体中，为边长为的等边三角形，，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】设外接球球心为，、的外心分别为点、，取线段的中点，连接、、、，则，，由二面角的定义结合余弦定理求出的长，进而可求得的长，利用勾股定理可求出球的半径，再利用球体表面积公式可得结果. 【详解】设外接球球心为，、的外心分别为点、， 取线段的中点，连接、、、，则，， 因为是边长为的等边三角形，所以， 所以，， 因为，则为的中点， 又因为，故，故， 因为，，所以二面角的平面角为， 易知，， 所以、、、四点共圆， 由余弦定理可得， 所以，由正弦定理可得， 所以， 故球的半径为， 故四面体的外接球的表面积为. 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为     ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为         ④剩下几何体的表面积为 【答案】①③④ 【分析】根据题意利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后根据体积公式以及表面积公式即可逐项求解． 【详解】如下图： 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故①正确； 圆锥的侧面积，故②错误； 设圆柱底面与圆锥母线交于点，与圆锥底面直径交于两点， 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故③正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 10．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直得线面垂直； （2）连接，由平面，得到，由∥平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解. （3）分别取的中点，连接，利用平面∥平面，将问题转化为平面与平面夹角的正切值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解. 【详解】（1）∵为上底面圆的直径，点在上底面圆周上， ∴，∵∥，∴， 又∵平面，且平面，∴， ∵，且平面， ∴平面. （2）连接，由（1）平面， ∴就是直线与平面所成的角， 即， ∴且，∴，， ∴为直角三角形，∴为弧的中点，∴ 又，∴， 又∵平面平面，且交线为，， ∴平面 ∴点到平面的距离为， ∵∥平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ∵，∴， ∵， ∴ ∴，∴点到平面的距离为. （3）分别取，的中点，，连接，，，则∥，∥， ∵且平面，，且平面， ∴平面∥平面， ∵平面与平面夹角正切值为， ∴平面与平面夹角的正切值为， ∵为的中点，， ∴，， 又∵且平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面， 连接，过点作于点， ∵平面平面，且平面， ∴平面， 平面，, 过点作于点，连接， ，平面， 平面，又平面，， ∴为平面与平面夹角，即， 设，则， ∵，∴， 直角三角形中，， 又∵∥，∴， 在中，由射影定理知，∴， 在直角中，，∴， 在直角中，， 整理得，解得，即， ∴. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $