期末考试模拟卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高一数学期末模拟卷覆盖复数、统计、概率、向量、立体几何等核心知识，通过射击成绩分析、工厂抽样等实际情境及“伴随函数”创新定义，考查数学眼光、思维与语言，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|四分位数、分层抽样、古典概型、向量垂直|单选巩固基础，多选结合频率分布直方图考查数据分析，斜二测画法题强化几何直观| |填空题|3题15分|独立事件概率、四棱锥外接球|外接球问题综合空间想象与运算，体现知识交汇| |解答题|5题77分|统计平均体重、立体几何线面平行与体积、概率面试问题、向量伴随函数|18题立体几何三问递进考查推理与空间观念，19题新定义情境融合向量与三角函数，培养创新意识|

高一数学期末考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得. 2．某射击运动员的10枪成绩分别为，则这10枪成绩的第一四分位数是（    ） A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.4 【答案】B 【解析】将该运动员的成绩按照从小到大的顺序进行排序可得： 又，所以这10枪成绩的第一四分位数是9.1， 故选：B 3．某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】C 【解析】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 5．已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 【答案】B 【解析】根据与垂直，可得， 整理可得即，所以. 6．已知四面体中，点满足，点满足，则（   ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【解析】如图所示，点在上满足，得，即； 点在上满足，得，即. 在中，根据平行线分线段成比例定理，可得， 对于A：，不平行，错误； 对于B：，不平行，错误； 对于C：平面，，因此不可能垂直平面，错误； 对于D：，平面，且平面， 由线面平行判定定理得平面，正确. 7．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 【答案】A 【解析】，，， ，，， ，或， ，不符合题意，，故选项为A. 8．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】如图: 记，在平面上的射影为点，则在上，连接． 由平面，，可得. 又是线段的中垂线，所以在上，即，因为三棱锥外接球的表面积为，所以该球的半径为. 又，所以； 因为为的中点，为的中点，所以为的重心. 所以，，. 所以三棱锥的体积． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高一年级共有1000人，随机抽取200名学生作为样本，调查了每天体育运动时长（单位：分），将统计数据分成6组：，，，，，，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（） A．频率分布直方图中 B．样本数据的极差不大于60 C．样本中位数为55 D．高一年级运动时长低于60分钟的大约有600人 【答案】ABD 【解析】由频率总和为1，得： ， 解得：，故选项A正确； 样本数据范围在30分钟到90分钟之间，最小值，最大值， 极差最大值为：， 因此极差不大于60，故选项B正确； ：频率0.1， ：频率0.2，的频率为：0.3， ：频率0.3，的频率为：0.6， 故中位数落在组， 中位数， 中位数约为56.67，不是55，故选项C错误； 样本中低于60分钟的频率为：， 用样本估计总体，得：高一年级运动时长低于60分钟的大约有： ，故选项D正确. 故选：ABD 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【解析】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 11．（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 【答案】ACD 【解析】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则， 其中，，． 因为，所以，即， 所以． 所以当时，取得最大值2，此时点为的中点， 当或时，取得最小值1，此时点为或点，故A正确，B错误， ，， 所以， ． 因为，所以，故， 因此，所以的取值范围为，故C正确， 因为， 因为，所以，故， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则__________. 【答案】/0.4 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 13．甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________. 【答案】 【解析】因为乙队每场比赛获胜的概率为， 所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为. 故答案为：. 14．已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______. 【答案】 【解析】如图，作出符合题意的图形， 取中点中点，连接，因为，所以 又四边形是正方形，所以因为平面平面， 所以为二面角的平面角，所以， 取上靠近点的三等分点的中点，分别过点作平面的垂线， 过点作平面的垂线，两垂线交点即为该四棱锥外接球球心， 因为， 所以， 则在中，， 所以三角形的外接圆半径满足 ， 因为，所以四点共圆，且圆的直径为， 所以，所以四棱锥的外接球半径满足， 所以外接球表面积为. 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某中学初一男生共有400人，为了解初一男生的体重情况，该中学统计了所有初一男生的体重（单位：千克），并将数据按照，，，，分成5组，画成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这400名男生的平均体重（同组数据用该组区间中点值作代表）； (2)根据体重区间，按比例分层抽样，从体重不足48千克的男生中抽取38人了解营养状况，试计算分别应当抽取体重在区间，，上的人数依次为多少？ 【解析】（1）， 故可估计这400名男生的平均体重为45.04千克； （2）由题意得： 应当抽取体重在区间上的男生人数为：人； 应当抽取体重在区间上的男生人数为：人； 应当抽取体重在区间上的男生人数为：人. 故分别应当抽取体重在区间，，上的人数依次为6，14，18. 16．（15分） 已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【解析】（1）在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）在长方体中， ，，且平面 ∵， ∴. 17．（15分） 甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【解析】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 18．（17分） 如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又是的直径，点是圆周上的点，所以， 因为，平面， 所以平面． （2）由（1）可知平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为垂直于所在的平面，所在的平面，所以， 又因为，，所以， 因为，所以， 所以在中， 因为平面，所以， 在中， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． （3）在线段上存在点，使得平面，且， 理由如下： 取的三等分点为（靠近），在中过点作，， 则，且， 因为是中点，是中点，所以，且， 又，所以， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面, 故线段上存在点，使得平面，且. 19．（17分） 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 【解析】（1）由，得， ， 当且仅当，即时，取得最大值2. （2）由题，可得， 所以函数的“伴随向量”. （3）由题，设，， ①因为，所以， ， 所以 ， 因为，所以的取值范围为. ②因为， 所以 ， 故， 先证明充分性：由，得， 即， 所以，故， 所以； 必要性：当时，可得， . 综上，向量的充要条件是. 答案第14页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则复数（   ） A． B． C． D． 2．某射击运动员的10枪成绩分别为，则这10枪成绩的第一四分位数是（    ） A．9.0 B．9.1 C．9.2 D．9.4 3．某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 5．已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 6．已知四面体中，点满足，点满足，则（   ） A． B． C．平面 D．平面 7．在中，内角所对的边分别为，且，则（   ） A． B．或 C．60° D．或 8．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（    ） A． B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高一年级共有1000人，随机抽取200名学生作为样本，调查了每天体育运动时长（单位：分），将统计数据分成6组：，，，，，，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（） A．频率分布直方图中 B．样本数据的极差不大于60 C．样本中位数为55 D．高一年级运动时长低于60分钟的大约有600人 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 11．（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则__________. 13．甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________. 14．已知四棱锥的底面是正方形，二面角的大小为，且，则该四棱锥外接球的表面积是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某中学初一男生共有400人，为了解初一男生的体重情况，该中学统计了所有初一男生的体重（单位：千克），并将数据按照，，，，分成5组，画成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这400名男生的平均体重（同组数据用该组区间中点值作代表）； (2)根据体重区间，按比例分层抽样，从体重不足48千克的男生中抽取38人了解营养状况，试计算分别应当抽取体重在区间，，上的人数依次为多少？ 16．（15分） 已知长方体中，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 17．（15分） 甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 18．（17分） 如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点．    (1)求证：直线平面； (2)已知，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 第6页，共6页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $