专题01 平面向量及其应用 4大高频考点（期末真题汇编）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题试题汇编，覆盖概念、运算、基本定理及应用四大高频考点，精选全国多地区期末试题，题型多样，梯度分明，适配高中数学期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|33题|向量概念（单位向量、共线向量）、运算（投影向量、夹角）|基础辨析与概念深化，含多选提升区分度| |填空题|8题|坐标表示、数量投影、最值问题|结合几何图形（菱形、矩形）考查应用| |解答题|9题|解三角形、实际测量（塔高、航行距离）、面积最值|综合应用数学建模，如净收益计算体现实际价值|

专题01 平面向量及其应用 4大高频考点概览 考点01平面向量的概念 考点02平面向量的运算 考点03平面向量基本定理及坐标表示 考点04 平面向量的应用 ( 地 城 考点01 平面向量的概念 )一、选择题 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 3．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 5．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 6．（24-25高一下·安徽淮北·期末）（多选）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 7．（24-25高一下·山西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）关于非零向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 9．（23-24高一下·河南南阳·月考）（多选）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．若向量互为相反向量， 则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线 10．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）（多选）关于向量，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 ( 地 城 考点02 平面向量的运算 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽淮北·期末）（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·北京顺义·期末）设，为两个非零向量，则“”是“存在实数，使得”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·福建南平·期末）（多选）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 10．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）（多选）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·山东威海·期末）（多选）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 二、填空题 12．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 13．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 14．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知单位向量满足，若向量表示向量的夹角，则_____. 三、解答题 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． ( 地 城 考点0 3 平面向量基本定理及坐标表示 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃·期末）已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高一下·安徽宣城·期末）向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则在上的投影向量为 D．两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）（多选）在矩形中，AB =2，AD=1，P ，Q分别为线段上的动点，M ，N分别为线段的中点，则下列说法正确的是（） A． B．// C．当P ， Q 分别为线段 的中点时， D．若 则 的最小值为2 9．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）（多选）对于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若．则 B．若，则与的夹角为钝角 C．，则与可能垂直 D．若，则 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）（多选）已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（    ） A．若， 则向量与向量共线 B．向量与的夹角为 C． D．向量与向量垂直 二、填空题 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 12．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为________. 13．（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则最大值为__________，若，则的最大值为________ ； 三、解答题 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 15．（24-25高一下·广西柳州·期末）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. ( 地 城 考点0 4 平面向量的应用 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 7．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·广西柳州·期末）（多选）下列说法正确的是（  ） A．在中，已知，，，则 B．向量，，则 C．向量，可以作为平面向量的一组基底 D．已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 11．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 12．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）（多选）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若中C为钝角，则 D．若，，，则解的个数为2 二、填空题 13．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 14．（24-25高一下·甘肃·期末）在中，角所对的边分别为，若，边上一点满足，则的最小值为__________. 15．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 三、解答题 16．（24-25高一下·江苏无锡·期末）圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． (1)若与的交点为，，求的值； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，，求四边形的面积． 17．（24-25高一下·广西梧州·期末）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．    (1)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 18．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 19．（24-25高一下·甘肃·期末）在中，内角的对边分别为，若，且. (1)求角的大小； (2)若，点是的中点，且，求的值； 20．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 4大高频考点概览 考点01平面向量的概念 考点02平面向量的运算 考点03平面向量基本定理及坐标表示 考点04 平面向量的应用 ( 地 城 考点01 平面向量的概念 )一、选择题 1．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义即可逐一判断各选项. 【详解】因等价于长度相等，方向相同. 对于A，由不能确定方向是否相同，故A错误； 对于B，与的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误； 对于C，当，且时，若的方向相反，则不成立，故C错误； 对于D，当且时，长度相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 4．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 5．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 6．（24-25高一下·安徽淮北·期末）（多选）关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 7．（24-25高一下·山西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D. 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误； 由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确. 8．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）关于非零向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】对于A根据向量的定义即可判断，对于B根据共线向量的定义即可判断，对于C由向量共线的性质即可判断，对于D由即可判断. 【详解】对于A：若，只能得到与的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误； 对于B：若，则与是相反向量，则，故B正确； 对于C：若，，且，则，故C正确； 对于D：若，，则，即，故D正确. 故选：BCD. 9．（23-24高一下·河南南阳·月考）（多选）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．若向量互为相反向量， 则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线 【答案】ACD 【分析】利用相等向量的概念可得A，由零向量与任何向量都共线可得B，利用向量相等的概念可得C，利用共线向量的概念可判断D选项 【详解】因为互为相反向量，则其模长相等，则A正确； 由于零向量与任何向量都共线，所以当为零向量时，不可传递，则B错误； 由于相等向量的长度和方向都相同，所以当两相等向量的起点相同时，终点一定相同，C正确； 由于与是共线向量，则与方向相同或相反，则A，B，C三点共线，则D正确. 故选：ACD 10．（24-25高一下·陕西咸阳·月考）（多选）关于向量，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】依据向量加法的三角形法则可判断A，依据向量的概念可判断BC，依据平行向量的概念可判断D. 【详解】，当且仅当方向相同或中至少有一个零向量时等号成立，A正确； 当时，，B正确； 若和无法比较大小，C错误； 当时，与可能不共线，D错误. 故选：AB. ( 地 城 考点02 平面向量的运算 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 3．（24-25高一下·安徽淮北·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用平面向量加减运算求解即可． 【解答】 ． 4．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 5．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 6．（24-25高一下·北京顺义·期末）设，为两个非零向量，则“”是“存在实数，使得”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由两向量的数量积公式及充要条件的判断即可求解． 【详解】当，则， 得，得夹角， 此时两向量可能共线（），也可能两向量的夹角为锐角， 故充分性不正确， 当存在实数，使得，则，两向量的夹角为零，则，故必要性正确， 则“”是“存在实数，使得”的必要而不充分条件， 故选：B 7．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 8．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义即可求解． 【详解】因为且， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 9．（24-25高一下·福建南平·期末）（多选）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 10．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）（多选）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，所以，再平方可得，再逐项验证即可. 【详解】因为，所以， 即， 所以，故A正确； 又，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·山东威海·期末）（多选）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A利用向量数量积的运算律即可判断，对于B根据共线向量定理即可判断，对于C当时，即可判断，对于D利用夹角公式即可判断. 【详解】对于A：由得 ，所以，故A错误； 对于B：由于为非零向量，由可知不等于1，故，所以，故B正确； 对于C：当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D：因为，所以，所以或，所以，故D正确. 故选：BD. 二、填空题 12．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 【答案】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 13．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】/ 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 14．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知单位向量满足，若向量表示向量的夹角，则_____. 【答案】/ 【分析】根据平面向量夹角公式计算即可. 【详解】因为单位向量满足，若向量 所以，， 所以， 故答案为：. 三、解答题 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知中，，，，、为线段、上的点，设，，若． (1)当时，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）依题意可得，，用、作为基底表示出，，由得到即可求出； （2）由（1）可得，换元、利用基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）因为，，，、为线段、上的点，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 即， 即， 即， 所以， 当时，，解得； （2）由（1）可得， 因为，， 所以，即，所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. ( 地 城 考点0 3 平面向量基本定理及坐标表示 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知非零平面向量，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向量问题几何化，设终点为定点（距原点），终点在与夹角的射线上，终点在以为圆心、半径为的圆上；则即点到圆上点的距离，其最小值为点到射线的距离减去圆半径，即可得答案． 【详解】 如图，令，，，则，， 又，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的最小值为， 又，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为，即的最小值为． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 3．（24-25高一下·甘肃·期末）已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出在在上的投影向量的坐标，进而求得投影向量的模即可． 【详解】因为， 所以，， 所以在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影长为. 故选：C. 4．（24-25高一下·安徽宣城·期末）向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的相互推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立； 再讨论必要性，当时，，即， ，解得或，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）已知向量，则下列选项中与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的坐标表示及单位向量的定义计算即可. 【详解】设与同向的单位向量为， 则，解得（负根舍去），所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 7．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若为非零向量，且，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则在上的投影向量为 D．两个非零向量的夹角是锐角的充要条件是 【答案】AC 【分析】应用模长关系计算结合垂直的向量表示判断A，应用特殊值法计算判断B，D，根据投影向量及向量数量积公式计算判断C. 【详解】为非零向量，且，左右两边平方得出， 所以，则，A选项正确； 当，则，则不一定是等腰三角形，B选项错误； 因为，所以，则在上的投影向量为，C选项正确； 当两个非零向量的夹角是0时，，但是两个非零向量的夹角不是锐角，所以D选项错误； 故选：AC. 8．（24-25高一下·云南曲靖·期末）（多选）在矩形中，AB =2，AD=1，P ，Q分别为线段上的动点，M ，N分别为线段的中点，则下列说法正确的是（） A． B．// C．当P ， Q 分别为线段 的中点时， D．若 则 的最小值为2 【答案】ABD 【分析】建立平面直角坐标系，给出点的坐标可以判断ABD各项，对于C项，由四边形与四边形均为边长为1的正方形，即可判断． 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示： 则， 由于P ，Q分别为线段上的动点， 可设， 对于A项，， 则，故A项正确； 对于B项，由于M ，N分别为线段的中点， 则，得， 而，则，故B项正确； 对于D项，因为， 所以， 得， 由，等号成立时，， 则， 得， 得，得， 则 的最小值为2，故D项正确； 对于C项，如图所示： 四边形与四边形均为边长为1的正方形， 则，故C项错误． 故选：ABD 9．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）（多选）对于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若．则 B．若，则与的夹角为钝角 C．，则与可能垂直 D．若，则 【答案】CD 【分析】对于A，利用等价于判断；对于B，利用向量数量积的定义判断；对于C，利用向量垂直的坐标计算，结合三角函数的性质判断；对于D，由向量数量积的运算律计算即可判断. 【详解】对于A，因等价于，由显然得不到，故A错误； 对于B，由可得与的夹角为钝角或平角，故B错误； 对于C，由可得，当时成立，此时与垂直，故C正确； 对于D，由，可得，即得，故D正确. 故选：CD. 10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）（多选）已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（    ） A．若， 则向量与向量共线 B．向量与的夹角为 C． D．向量与向量垂直 【答案】ACD 【分析】根据条件得，对于A，由向量的共线定理判断即可；对于B，利用向量的夹角公式，即可求解；对于C，利用模长的计算公式，即可求解；对于D，利用向量的垂直表示，计算，即可求解； 【详解】因为，，，则， 得到， 对于A，若，则， 故向量与向量共线，故A项正确； 对于B，，又，所以，故B错误， 对于C，因为，则，所以C正确， 对于D，因为， 所以向量与向量垂直，故D正确． 故选：ACD. 二、填空题 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 【答案】 【详解】， 由得，解得， ； ，， 向量在上的投影向量为. 12．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，再利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·福建福州·期末）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则最大值为__________，若，则的最大值为________ ； 【答案】 9 【分析】根据线性运算法则，可得，根据数量积公式，可得，根据的范围，分析即可得答案；以O为原点，OA为x轴正方向建系，可得各点坐标及P的轨迹方程，设出P点坐标，根据题意，可得的表达式，分析即可得答案. 【详解】因为 ， 所以 ， 因为，故当时，取得最大值1， 此时取得最大值为9. 以O为原点，OA为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 由题意得P的轨迹为以O为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设， 则， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：9； 三、解答题 14．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据两向量平行的坐标关系结合二倍角公式列式求解； （2）根据向量垂直的坐标关系结合两角和的正切公式求解. 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， ∴. （2）∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 15．（24-25高一下·广西柳州·期末）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是. 【答案】(1)，最大值为2.(2)(3)①，②证明见详解 【分析】（1）根据新定义可得得表达式，由辅助角公式化简即可求解； （2）根据向量数量积坐标运算结合三角恒等变换化简，根据“伴随向量”的定义求解； （3）设，，①由新定义结合三角恒等变换化简求得的取值范围；②由题得，则，先证明充分性，再证明必要性. 【详解】（1）由，得， ， 当且仅当，即时，取得最大值2. （2）由题，可得， 所以函数的“伴随向量”. （3）由题，设，， ①因为，所以， ， 所以 ， 因为，所以的取值范围为. ②因为， 所以 ， 故， 先证明充分性：由，得， 即， 所以，故， 所以； 必要性：当时，可得， . 综上，向量的充要条件是. ( 地 城 考点0 4 平面向量的应用 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·云南红河·期末）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义结合正弦定理即可得出答案. 【详解】在中，设角、、所对的边分别为、、. 充分性：若，由正弦定理，可得， 根据等边对等角，可得； 必要性：若，根据等角对等边，可得， 由正弦定理得， 综上，“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 4．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 5．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【分析】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【详解】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设为边中点，连接，作于，即为中点，求得，，化简得，再通过面积公式和基本不等式即可得到答案. 【详解】设为边中点，连接，作于，即为中点，    因为， 同理， 则 ， 所以，因为， 所以的面积为， 当且仅当时取等号. 故选：B 7．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 8．（24-25高一下·辽宁大连·期末）三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理和已知条件得到，再利用辅助角公式及基本不等式可得到，此时且，结合余弦定理可求出，最后利用等面积法即可求解. 【详解】由余弦定理得，，代入， 可得， 化简得， 两边同时除以得，， 一方面，， 其中，，当时等号成立； 另一方面，由均值不等式，有，当且仅当时等号成立， 依题可得：，此时且， ，，，， ，， 由余弦定理，，又，， 联立解得，， 设边上的高为，则， 故，即边上的高为. 故选：B. 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过设山高，将用和三角函数表示，再利用的余弦定理建立等式，进行推导即可. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 解得，故A错误，B正确； 因为，所以，又因为， 所以， 解得， 故C错误，D正确. 10．（24-25高一下·广西柳州·期末）（多选）下列说法正确的是（  ） A．在中，已知，，，则 B．向量，，则 C．向量，可以作为平面向量的一组基底 D．已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 【答案】AC 【分析】对于A，应用正弦定理求解即可；对于B，，再计算模长即可判断；对于C，判断是否共线即可；对于D，设，分和求解即可． 【详解】对于A，，，， 由正弦定理得，即，解得，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，不共线， 即向量，可以作为平面向量的一组基底，故C正确； 对于D，点P是线段的三等分点，设， ①，即，解得，； ②，即，解得，； 则点P的坐标不可能为，故D错误． 故选：AC． 11．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 12．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）（多选）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若中C为钝角，则 D．若，，，则解的个数为2 【答案】ABD 【分析】对于A，由题可得，据此可判断选项正误；对于B，由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，由正弦定理可得，然后由可判断选项正误. 【详解】对于A，， 则，因A，B为三角形内角，则， 从而，则为等腰三角形，故A正确； 对于B，，由余弦定理， ，故B正确； 对于C，因C为钝角，则. 则，因正弦函数在上递增， 则，故C错误； 对于D，由正弦定理， 因，且，则， 使，即解的个数为2，故D正确. 故选：ABD 二、填空题 13．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 14．（24-25高一下·甘肃·期末）在中，角所对的边分别为，若，边上一点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得，由可得为角的平分线，再利用等面积法可得，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由，根据正弦定理得， 则，即，所以， 又，所以， 因为，即，故为角的平分线，且， 由，则， 故，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：． 15．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 三、解答题 16．（24-25高一下·江苏无锡·期末）圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． (1)若与的交点为，，求的值； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，，求四边形的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由题意可得，再结合可知四边形为等腰梯形，再利用梯形的边长计算即可； （2）先利用数量积的定义得出，再在中利用余弦定理可得，最后在中利用正弦定理得出外接圆的直径即可； （3）设，求出以及在中利用正弦定理得，，再利用得出，即可化简求出，进而得出，的值，最后利用面积公式即可. 【详解】（1）因，则，即， 则，，则， 又，，得， 则四边形为等腰梯形，则高为， 则， 又与的交点为，，所以. （2）由题意可知，，得， 在中利用余弦定理可得，， 则， 设的外接圆半径为，则在中利用正弦定理可得，， 又点是外接圆上的一个动点，所以的最大值为. （3）设，，则， 因为，则， ， ， 在中利用正弦定理得，， 则， 则， 且（因）， 即，即， 又，即， 则， 又，则，解得（舍）或， 因，所以， 代入中得， 则，又，解得， 所以，， 则四边形的面积为. 17．（24-25高一下·广西梧州·期末）《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．    (1)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 【答案】(1)验证见解析，(2)(3)， 【分析】（1）根据余弦定理表示出，再化简即可. （2）根据三角形的面积公式以及（1）结论，利用二次函数的最值求解. （3）根据题意列出解析式，再根据（1）（2）问的结论化简，利用二次函数的最值求解. 【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得， 即. 在△BCD中，由余弦定理得， 即，所以， 即，所以无论BD多长，． （2），， 则， 由（1）知，，即，代入上式， 得， 配方得， 当时，取到最大值为． （3）设，净收益为y，则， 由（1）知，， 则. 由（2）知， 所以， 令，则， 所以， 即当时，净收益最大，. 18．（24-25高一下·吉林松原·期末）已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】（1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 19．（24-25高一下·甘肃·期末）在中，内角的对边分别为，若，且. (1)求角的大小； (2)若，点是的中点，且，求的值； 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据数量积公式，结合正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）根据，两边平方后，利用数量积公式表示边长的关系，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，， 由正弦定理可知， 整理为， 由余弦定理可知， 因为，所以； （2）由余弦定理可知，，即，① ，即， 即②， 由①②可知，，，解得：，或，， 所以或 20．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $