期末备考01平面向量的线性运算训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以平面向量线性运算为核心，提炼共起点/首尾相连向量运算法则及参数求解策略，通过教材改编题系统构建“法则应用-参数计算-几何证明”的解题体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|2条核心策略|共起点求和用平行四边形法则，求差用减法几何意义，首尾相连和用三角形法则；参数问题通过线性运算表示目标向量比较求解|从线性运算法则（概念）到几何图形向量表示（应用），再到参数计算与证明（拓展），形成完整逻辑链条，发展运算能力与推理意识| |基础应用|单选5题、多选3题、填空3题|结合平行四边形、正六边形等图形考查向量线性表示与参数计算|立足教材原题改编，覆盖向量加减、数乘的基本运算与性质辨析| |综合应用|解答4题|通过三角形中线、四边形中点等情境进行向量证明与多步运算|强化“已知向量表示未知向量”的转化思想，提升数学语言表达能力|

永年二中高一数学必修二平面向量期末备考01 测试范围：平面向量的线性运算 平面向量线性运算的求解策略 (1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则． (2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值． 一、单选题 1. 【人教A版必修二6.2.1练习第4题改编】如图，四边形是平行四边形，点P在上，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 【人教A版必修二6.2.3例5改编】下列计算正确的是（ ） A. B.． C. D. 3．如图，，设，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，是上一点，满足是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．如图所示，在正六边形中，设，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 7．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（人教A版必修二复习参考题6第3题改编）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若，则_____． 10．在菱形中，若，则___________． 11．若，则的取值范围是__________. 四、解答题 12．【人教A版必修二习题6.2第14题】在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量. 13.求证下列各题： （1）【人教A版必修二习题6.2第9题】如图，．．求证：，且． (2)【人教A版必修二习题6.2第15题】如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点． 求证：． 14．【人教A版必修二习题6.2第17题】（1）如图（1），在中，计算； （2）如图（2），在四边形ABCD中，计算； （3）如图（3），在n边形中，证明你的结论. 15．（人教A版必修二复习参考题6第3题）已知六边形ABCDEF为正六边形，且，分别用，表示. 16．如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.(1)用，表示，；(2)求证：，，三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二平面向量期末备考01 测试范围：平面向量的线性运算 平面向量线性运算的求解策略 (1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则． (2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值． 一、单选题 1. 【人教A版必修二6.2.1练习第4题改编】如图，四边形是平行四边形，点P在上，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对A，因为，故A错误；对B，因为，又，故B错误；对C，，故C错误.对D，利用向量加法三角形首尾相接知，D正确； 2. 【人教A版必修二6.2.3例5改编】下列计算正确的是（ ） A. B.． C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以A错；因为，所以B错；因为；因为，所以D对． 3．如图，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知： . 4．在中，是上一点，满足是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算计算即可. 【详解】是的中点，，又， 从而得到，进而可知. 5．如图所示，在正六边形中，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正六边形中，且，所以，因为，所以. 二、多选题 6．已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误；对于B，当时，，则与方向相同，故B正确；对于C，当且，即时，，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误.故选：ACD 7．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，因为，故A错误；由, 故B错误；因为, 故C正确； 因为, 故D正确.故选：CD 8．（人教A版必修二复习参考题6第3题改编）八卦是中国文化中的哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，给出下列结论：（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，由正八边形性质知：且，即，所以，又，所以，正确； 对于B，由正八边形性质知：，，设， 因为，所以为中点，所以，因为， 所以，所以，又，所以，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确.故选：ABD 三、填空题 9．若，则_____． 【答案】 【分析】根据整式运算规则展开合并同类项即可求解. 【详解】， ，整理得. 10．在菱形中，若，则___________． 【答案】1 【分析】根据向量减法的运算法则，结合菱形的几何性质可求得正确答案. 【详解】因为四边形为菱形，所以，又因为，所以是等边三角形，即，所以. 11．若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由，对是否共线进行分类讨论即可求解. 【详解】，当同向共线时，；当反向共线时，；当不共线时，由，可得. 综上可得. 四、解答题 12．【人教A版必修二习题6.2第14题】在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量. 【答案】，，. 【分析】直接利用向量共线即可得到结论. 【详解】如图， ， . 13. 求证下列各题： （1）【人教A版必修二习题6.2第9题】如图，．．求证：，且． (2)【人教A版必修二习题6.2第15题】如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点． 求证：． 【分析】(1)用向量数乘和向量之间共线的定义即可.(2)根据已知可得，.进而根据向量加法的多边形法则表示出，相加即可得出证明. 【证明】（1）由题意，，，∴. （2）因为E，F分别是AD，BC中点，所以，，. 因为，， 所以，. 14．【人教A版必修二习题6.2第17题】（1）如图（1），在中，计算； （2）如图（2），在四边形ABCD中，计算； （3）如图（3），在n边形中，证明你的结论. 【答案】（1）（2）（3），见解析 【解析】根据向量的加法法则直接对各式计算即可. 【详解】（1） （2）. （3）. 证明： . 15．（人教A版必修二复习参考题6第3题）已知六边形ABCDEF为正六边形，且，分别用，表示. 【答案】,， 【分析】根据正六边形的特征求出,，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解. 【详解】如图，设因为六边形ABCDEF为正六边形，所以，且.又是等腰三角形，所以，从而可有，则，所以,同理有.所以 ， ，综上，, ， 【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则以及向量的减法，属于基础题. 16．如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)；；(2)证明过程见解析 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以.因为，， 所以... （2）因为，所以. . .所以，即与共线.又两向量有公共点， 所以，，三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $