专题02 复数 4大高频考点（期末真题汇编）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 复数专题期末试题汇编，覆盖4大高频考点，整合陕西、上海等多地区期末真题，注重基础概念与运算能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|30+题|复数概念、加减乘除运算、几何意义|含多选，结合复平面象限判定（甘肃兰州期末题）| |填空题|12题|模、虚部、三角表示|涉及最值问题（黑龙江哈尔滨期末题）| |解答题|10题|纯虚数判定、向量夹角|综合运算与几何意义（陕西渭南期末题）|

专题02 复数 4大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的加减运算及其几何意义 考点03复数的乘除运算 考点04 复数的三角表示 ( 地 城 考点01 复数的概念 )一、选择题 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 2．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【详解】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D 3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求得复数的共轭复数，再由复数的几何意义确定对应点所在象限即可. 【详解】由复数可得， 复数对应的点的坐标为，在第三象限. 故选：C. 4．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．25 B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C. 5．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的坐标，利用数量积的坐标式，结合二倍角的正弦公式及与的关系，换元后化成二次函数即可求出最大值. 【详解】依题意，，则， 令，则，， 因此，则当时，取得最大值为2， 故的最大值为 2. 故选：D 6．（24-25高一下·辽宁·期末）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念列方程，求解即得答案. 【详解】复数为纯虚数， 则，解得， 故选：B 7．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（多选）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】AB 【分析】由复数的几何意义求出实数的取值范围对比选项即可得解. 【详解】若复数对应的点在第三象限，则，解得， 对比选项可知，只有AB符合题意. 故选：AB. 8．（24-25高一下·河北石家庄·期末）（多选）已知为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．若复数，则 B．若，则或 C．若复数是纯虚数，则实数或－4 D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 【答案】AD 【分析】根据复数的模长公式求解，进而即可判断选项A；由复数模长的几何意义即可判断选项B；根据纯虚数的意义求解，进而即可判断选项C；根据矩形的性质及向量加法和减法的几何意义即可判断D． 【详解】对于选项A，若，则，故选项A正确； 对于选项B，若，则在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆， 即有无数个点与复数对应，故选项B错误； 对于选项C，若是纯虚数， 则，解得，故选项C错误； 对于选项D，若，则复平面内以，为邻边的平行四边形是矩形， 由矩形的对角线相等，则，即，故选项D正确． 故选：AD． 9．（24-25高一下·湖南郴州·期末）（多选）已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC 【分析】根据复数虚部的概念、模长计算公式、共轭复数的概念以及其几何意义，可得答案 【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高一下·青海海南·期末）（多选）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 【答案】BD 【分析】复数的乘法运算可得，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断； 【详解】由题意可得， A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确； C：，故C错误； D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD. 二、填空题 11．（24-25高一下·内蒙古·期末）________． 【答案】 【分析】根据复数模的定义计算即得. 【详解】． 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【答案】-1 【分析】根据复数的概念可知. 【详解】由题可知：的虚部是-1. 故答案为：-1 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则的最大值为______. 【答案】7 【分析】由复数的模、几何意义将转换为关于的三角函数即可求解. 【详解】因为，所以设， 而，从而 ， 其中，等号成立当且仅当， 所以的最大值为7. 故答案为：7. 三、解答题 14．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据纯虚数定义求参数，进而求复数的模长； （2）由第一象限得，即可求范围. 【详解】（1）复数是纯虚数， ，解得，则，故. （2）若在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得，则的取值范围为. 15．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件得，再利用复数的分类，即可求解； （2）设，根据条件，利用向量的夹角公式，得，即可求解. 【详解】（1）由已知得， 为纯虚数，， 解得. （2）设，则， 又， 由，夹角为锐角得：，且与不共线， ， 解得且， 故的取值范围为. ( 地 城 考点02 复数的加减运算及其几何意义 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·河北雄安·期末）若复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念及复数的几何意义可解. 【详解】，则， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D. 3．（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数代数形式的加法求解即得. 【详解】. 故选：A 4．（24-25高一下·河北邯郸·期末）若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】由，则， 则复数的虚部为. 故选：C. 5．（24-25高一下·四川乐山·期末）设，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点为在第一象限. 故选：A. 6．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的加法运算和复数的几何意义即可得到判断. 【详解】已知，，则, 所以在复平面内对应的点是，即该点位于第四象限， 故选：D 7．（24-25高一下·广东广州·期末）已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】A 【分析】求出复数和差的模即得． 【详解】， 故选：A． 8．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知复数是纯虚数，则为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义及复数的模求解即可. 【详解】由题意得，解得， 所以， 所以. 故选：. 9．（24-25高一下·福建泉州·期末）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若是方程的两根，则 D．若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的概念，复数与一元二次方程根的关系，复数的几何意义，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】设，则， 由，得， 所以，所以A正确； 当时，化简得，即，所以，所以B正确； 是方程的两根，根据韦达定理可知， 则，所以C错误； 当时，复平面内对应的点的组成图形为扇环，外侧半径为2，内侧半径为1， 面积为，所以D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）（多选）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．是实数 B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数z满足，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】先算z与其共轭复数的乘积，再从几何的角度考虑与关于实轴对称，最后分析表示圆. 【详解】对于A，复数的共轭复数为，,正确. 对于B，复数对应点，其共轭复数对应点，两点关于实轴（轴）对称，正确. 对于C，假设，则，但复数平方根有双解，另一个解为，题目中仅给出，未包含全部解，C错误. 对于D，表示以z为圆心、半径为1的圆.圆心z到原点的距离为，因此圆上的点到原点的距离范围为：，，即，D正确. 故选：ABD. 二、填空题 11．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 故答案为：. 12．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，且，则＝______． 【答案】 【分析】先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答. 【详解】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：. 13．（24-25高一下·福建三明·期末）设复数满足，且，则______. 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可计算. 【详解】设，所以，由， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 三、解答题 14．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知复数，其中m、n均为实数，在复平面中对应的点分别为，且为实数. (1)求n的值； (2)若与的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）由复数加法及复数类型求参数值即可； （2）写出复数对应向量的坐标表示，根据夹角为钝角及向量夹角的坐标运算求参数范围，注意反向共线情况. 【详解】（1）由题设为实数，则； （2）由题设及（1）知，则， 由与的夹角为钝角， 则，所以， 若与反向共线时，有， 综上，且. 15．（24-25高一下·山东菏泽·期末）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解； （2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出的取值范围； （ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进而计算的取值范围. 【详解】（1），，且， ，，即，， 又，故. （2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，， ， 又，则. 当时，取最大值为，当时，取最小值为， 的取值范围为； （ⅱ），， ， 又，则， 化简得，， ，由小问（ⅰ）的结论可知， ，解得或， 综上所述，的取值范围为：. ( 地 城 考点0 3 复数的乘除运算 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，所以 2．（24-25高一下·甘肃定西·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先化简复数，进而判断出对应点所在象限. 【详解】，对应点， 对应点在第一象限. 故选：A 3．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法与加法运算计算即可. 【详解】因为 所以. 故选：A 4．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【详解】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 5．（24-25高一下·江西九江·期末）已知复数满足，则，，，…不同的数有（    ） A．6个 B．4个 C．2024个 D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算计算出前六项即可求解. 【详解】由可得， 所以， ， ，，， 则， 因此可得周期为6，即, 所以，，，…不同的数有6个， 故选：A 6．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【分析】由复数的除法运算化简复数，根据虚部的概念判断A，根据共轭复数的概念判断B，求复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】由得，则虚部为， 则，，对应的点为，位于第四象限， 故ABC错误，D正确. 故选：D 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）下列关于非零复数、的结论正确的有（   ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断B选项；利用复数模的几何意义可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，但、不互为共轭复数，A错； 对于B选项，取，， 所以， ，B对； 对于C选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为的圆及其外部， 所以点所在的区域如下图所示： 故点所在的区域的面积为，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但，，即，D错. 8．（24-25高一下·吉林松原·期末）（多选）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 【答案】AD 【分析】利用复数除法运算得，求模判断A，求虚部判断B，代入方程计算判断C，求判断D. 【详解】因为， 则，z的虚部为，为纯虚数，故AD正确，B错误， 又因为， 所以不是方程的一个根，故C错误. 故选：AD. 9．（24-25高一下·安徽合肥·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．对于复数，若，则 B．若互为共轭复数，则为实数 C．若是关于的二次方程的根，则 D．复数满足，则的最小值是 【答案】BC 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由共轭复数概念可判断选项正误；对于C，将代入方程结合复数相等定义可判断选项正误；对于D，设，由题可得，然后由三角变换可得最小值. 【详解】对于A，取，，可得，，故A错误； 对于B，因互为共轭复数，设，则，从而为实数，故B正确； 对于C，将代入方程可得，则，故C正确； 对于D，设，则，令，. 则 ，当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：BC 10．（24-25高一下·新疆·期末）（多选）下列有关向量与复数的叙述中，正确的有（    ） A．若为任意向量，则 B．若z为任意复数，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 【答案】AC 【分析】应用向量数量积的定义判断A；取，应用复数模长、乘方运算判断B；应用向量数量积的运算律转化证明，判断C；令，，即可判断D. 【详解】因为，A正确； 不妨取，则，，，B错误； 由，得，即， 展开得，解得，C正确； 令，，此时，而，D错误. 故选：AC 二、填空题 11．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知是虚数单位，则_______. 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算求解. 【详解】. 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 13．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知复数，则z的共轭复数_________. 【答案】 【分析】先根据复数的乘法得出复数，再应用共轭复数的定义求解. 【详解】因为复数， 则z的共轭复数. 故答案为：. 三、解答题 14．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求解参数范围． 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. ( 地 城 考点0 4 复数的三角表示 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江西宜春·期末）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据复数新定义计算，再结合纯虚数定义列式求解. 【详解】， 由棣莫弗定理可得， 因为复数为纯虚数， 所以且，所以，，得，， 所以正整数m的最小值为4. 故选：A. 2．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 3．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 4．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 5．（24-25高一下·云南玉溪·期末）（多选）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给公式逐一验算各个选项即可得解. 【详解】由题可得，，，， 故选：ABD． 二、填空题 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 【答案】 【分析】根据复数的运算先计算复数，进而得，再转化为三角形式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 7．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则________. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模. 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 8．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 【答案】/90° 【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为，根据复数相等列出方程，求解即得. 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为______． 【答案】 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即可. 【详解】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转， 可得， 所以，所得的向量对应的复数虚部为. 故答案为：. 三、解答题 10．（24-25高一下·辽宁大连·期末）定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)或. 【分析】（1）根据给定定义及函数关系求解. （2）根据变换的定义及点与直线关系，建立恒成立的方程，进而求得方程组的解. （3）根据给定变换求出，再利用的几何意义建立不等式组，进而求出范围. 【详解】（1）依题意，点P对应的复数为， ，则点Q对应的复数为，所以. （2）设点P对应的复数为， 则点Q对应的复数， 点Q坐标为， 由点P在直线上，得， 的反函数为， 将点Q的坐标带入中得， 代入并整理得到， 由对于任意的该方程都成立，得， 解得或， 所以有序实数对为，或，. （3）设，则， ， 因此复数z经过“变换”后在复平面内得到的点的集合是一个圆心为、 内半径为、外半径为的一个圆环中辐角在内的部分， 又该部分点集是集合的子集，且， 则或， 解得或， 所以的取值范围是或. 11．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）根据欧拉公式展开复数，得出与实部相同，虚部相反，满足共轭复数定义；（2）运用双曲函数和三角函数的转换关系，，应用三角函数加法公式计算；（3）把已知条件代入复数表达式，分离实部和虚部，利用构造方程，得出结论. 【详解】（1）证明：， 的实部为，虚部为 又的实部为，虚部为 与实部相同，虚部相反，互为共轭复数. （2）代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式： （3）代入已知复数表达式并分离实部与虚部： 由， ， 得， 由，整理得 12．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 （辐角取主值）； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)以 (2) (3)存在这样的集合， 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义计算可求解； （2）设是 1 的 8 次方根，有，求解即可； （3）取，验证可得结论. 【详解】（1）由，, 则，, 由，则， 所以； （2）1 的三角形式： 设是 1 的 8 次方根，则：， 解得：，， 取，得到 8 个不同的根： 所以， 即1 的 8 次方根为：，， ，， ，， ，； （3）取， ， ， 则 ， 因为，，所以， 所以是的整数倍，故. 所以在复数范围内存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 . 13．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 【答案】(1)复数根分别为，，主值分别为， (2) 【分析】（1）根据题意，求得方程的根，，结合辐角主值的计算方法，即可求解； （2）根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合辐角主值的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程，即，解得，即， 故方程的所有复数根为，， 对于复数，可得，所以，又由，则； 对于，可得，所以，又由，则， 故，的辐角的主值分别为和. （2）由题意，可得 ， 所以，解得，所以. 14．（24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根； （2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根； （3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）有解， 又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆， 所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、， 故解为，    ，，，， ． （2）化简得，令，即， 由题知，，则， 其余个解与复数对应点均分单位圆， 所以，， 即，，， 综上，在复数域中的所有解为，， ． （3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解， 方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为， 故所有解与轴正方向的夹角分别为， 因为为偶数，所以，……， ， ， 所以与夹角相差，即， 所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 复数 4大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的加减运算及其几何意义 考点03复数的乘除运算 考点04 复数的三角表示 ( 地 城 考点01 复数的概念 )一、选择题 1．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 2．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·甘肃兰州·期末）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．25 B．3 C．5 D． 5．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 6．（24-25高一下·辽宁·期末）若复数为纯虚数，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．且 7．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（多选）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 8．（24-25高一下·河北石家庄·期末）（多选）已知为虚数单位，则下列命题正确的是（   ） A．若复数，则 B．若，则或 C．若复数是纯虚数，则实数或－4 D．在复平面内，，所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，若，则 9．（24-25高一下·湖南郴州·期末）（多选）已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 10．（24-25高一下·青海海南·期末）（多选）已知复数，则下列结论正确的是（   ） A．的实部是 B．的虚部为 C． D．在复平面内所对应的点位于第四象限 二、填空题 11．（24-25高一下·内蒙古·期末）________． 12．（24-25高一下·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，，则的最大值为______. 三、解答题 14．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数（，为虚数单位）. (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围. 15．（24-25高一下·河南洛阳·期末）在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. ( 地 城 考点02 复数的加减运算及其几何意义 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·河北雄安·期末）若复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·宁夏固原·期末）计算的值为（   ） A．5 B． C． D． 4．（24-25高一下·河北邯郸·期末）若复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B． C．3 D． 5．（24-25高一下·四川乐山·期末）设，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25高一下·广东广州·期末）已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（   ） A． B．10 C． D．5 8．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知复数是纯虚数，则为（   ） A． B．4 C． D． 9．（24-25高一下·福建泉州·期末）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若是方程的两根，则 D．若，则在复平面内对应的点的集合所成的图形面积为 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）（多选）关于复数，下列说法正确的是（    ） A．是实数 B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称 C．若复数z满足，则 D．若，则 二、填空题 11．（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 12．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，且，则＝______． 13．（24-25高一下·福建三明·期末）设复数满足，且，则______. 三、解答题 14．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知复数，其中m、n均为实数，在复平面中对应的点分别为，且为实数. (1)求n的值； (2)若与的夹角为钝角，求m的取值范围. 15．（24-25高一下·山东菏泽·期末）已知复数，，． (1)若，求角； (2)复数，对应的向量分别是，， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）存在使等式成立，求实数的取值范围． ( 地 城 考点0 3 复数的乘除运算 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知复数z满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25高一下·甘肃定西·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西九江·期末）已知复数满足，则，，，…不同的数有（    ） A．6个 B．4个 C．2024个 D．以上答案都不正确 6．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 7．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）下列关于非零复数、的结论正确的有（   ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 8．（24-25高一下·吉林松原·期末）（多选）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A． B．的虚部为 C．z是方程的一个根 D．为纯虚数 9．（24-25高一下·安徽合肥·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．对于复数，若，则 B．若互为共轭复数，则为实数 C．若是关于的二次方程的根，则 D．复数满足，则的最小值是 10．（24-25高一下·新疆·期末）（多选）下列有关向量与复数的叙述中，正确的有（    ） A．若为任意向量，则 B．若z为任意复数，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 二、填空题 11．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知是虚数单位，则_______. 12．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 13．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知复数，则z的共轭复数_________. 三、解答题 14．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 15．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. ( 地 城 考点0 4 复数的三角表示 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·江西宜春·期末）任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 3．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 5．（24-25高一下·云南玉溪·期末）（多选）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 7．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知复数，则________. 8．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为______． 三、解答题 10．（24-25高一下·辽宁大连·期末）定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 11．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 12．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 （辐角取主值）； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 13．（24-25高一下·安徽安庆·期末）定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 14．（24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $