学易金卷：八年级数学下学期期末模拟卷（扬州专用，范围：苏科版八下）

**基本信息** 以苏科版八年级下册为范围，融合科技情境（如配送机器人出口）与文化素材（如古诗概率题），通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度题型，考查数学抽象、推理及数据意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|随机事件、最简二次根式、因式分解等|以古诗“小荷才露”创设概率情境，结合几何中点性质考查直观想象| |填空题|10/30|概率计算、矩形性质、分式方程无解等|菱形动点问题（16题）结合垂线性质，考查空间观念与转化思想| |解答题|10/96|因式分解、统计应用、几何证明、新定义等|24题以科技出口为背景设计方程与不等式综合应用，27题“等根值”新定义考查推理能力，28题几何探究体现创新意识|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂【×1【W1【/打 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[AIIBIICIIDI 5.1A]IBIIC]IDI 2.[AJ[B][CIID] 6.[A]IBI[C]ID] 3.[AJIBIICJID] 7.AIIBIIC]IDI 4.[AI[BIICIIDI 8.[A]IBI[C]ID] 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 10. 12. 4 17. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(8分) 5T 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) 22.(8分) 0 D F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 学生完成作业的时长频数分布直方图学生完成作业的时长扇形统计图 频数（学生人数） 100 96 D 0 60 8% C 0 B 48% 20 8 18% 5060708090100时长x/分钟 图1 图2 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 26.(10分) C D B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(12分) A D a d ◇ D E P b C 图1 图2 O D B B 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件 【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：由题可知， 古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是随机事件． 故选：A． 2．下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，即可解答． 【解答】解：A、2，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、3，故D不符合题意； 故选：C． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B． C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．x2﹣5x+4＝x（x﹣5）+4 【答案】C 【分析】判断每个选项是否符合因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）； A选项是整式乘法，不符合； B选项右边含分式，不是整式，不符合； C选项将多项式化为整式的积，符合； D选项右边是和的形式，不符合． 【解答】解：A选项，（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，是将两个整式的积化为一个多项式，并非因式分解，所以A选项错误； B选项，中，不是整式，不符合因式分解中“化为几个整式的积”的要求，所以B选项错误； C选项，x2+6x+9＝（x+3）2是把多项式x2+6x+9化为了整式（x+3）与自身相乘的积的形式，符合因式分解的定义，所以C选项正确； D选项，x2﹣5x+4＝x（x﹣5）+4的右边不是几个整式的积的形式，而是一个整式与一个数的和，不符合因式分解的定义，所以D选项错误． 故选：C． 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点E是BC的中点，DE∥AC交AB于点D，若DE＝3，BC＝10，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先根据线段中点定义得到，再利用平行线分线段成比例和平行线的性质得到AD＝BD，∠BDE＝∠A＝90°然后利用勾股定理求得BD即可解答． 【解答】解：∵∠A＝90°，点E是BC的中点，BC＝10， ∴， ∵DE∥AC，交AB于点D， ∴，∠BDE＝∠A＝90°， ∴AD＝BD， ∵DE＝3， ∴， ∴AD＝4． 故选：B． 5．已知，下列结论正确的是（　　） A．A＝B B．A+B＝0 C．2A+B＝0 D．2A＝B 【答案】C 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论． 【解答】解：由条件可知， ∵， ∴，且A≠B，故A，B错误，不符合题意； ，2A≠B，故C正确，符合题意，D错误，不符合题意； 故选：C． 6．假设﹣1＜x＜0，那么等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2x﹣1 D．﹣2x+1 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出x+1的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：∵﹣1＜x＜0， ∴x+1＞0， ∴ ＝﹣x﹣（x+1） ＝﹣x﹣x﹣1 ＝﹣2x﹣1， 故选：C． 7．一块梯形木板ABCD，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝4，BC＝10，CD＝6，按如图方式设计一个矩形桌面EFCG（点E在边AB上）．当桌面面积最大时，EF为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作AH⊥BC于点H，先根据已知数据证明△AHB和△BFE是等腰直角三角形，再设EF＝BF＝x（0＜x＜6），则CF＝BC﹣BF＝10﹣x，列出矩形桌面面积关于x的函数关系式，即可得出答案． 【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H， ∵AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠D＝180°﹣∠BCD＝90°， ∵∠D＝∠BCD＝∠AHC＝90°， ∴四边形AHCD是矩形， ∴HC＝AD＝4，AH＝CD＝6， ∴BH＝BC﹣CH＝10﹣4＝6＝AH， ∴△AHB是等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， ∵矩形EFCG中，EF⊥CF， ∴△BFE是等腰直角三角形， ∴设EF＝BF＝x（0＜x≤6），则CF＝BC﹣BF＝10﹣x， ∴矩形桌面的面积S＝EF•CF＝x•（10﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣5）2+25≥25， ∴当x＝5时，S取最大值25， 即当EF＝5时，矩形桌面面积最大， 故选：C． 8．如图1，在△ABC中，AB＝8，，∠ABC＝30°，DE是△ABC的中位线．点M，N分别是线段DE，BC上的点，连接MN．现将四边形DBNM和四边形MNCE分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转180°，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图2所示．当点M，点N分别在线段DE，BC上运动时，有下列结论： ①旋转后拼成的图形始终是平行四边形； ②线段MN的最小值为2； ③线段MN的最大值为； ④旋转后拼成图形的周长是； ⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据旋转的性质和平行四边形的判定分析结论①；根据平行线间的距离分析结论②；利用勾股定理或余弦定理计算线段EB和DC的长度，确定MN的最大值，从而判断结论③；根据周长公式分析结论④；结合MN的最值计算周长差，判断结论⑤． 【解答】解：连接BE，CD，分别过点D，E作DG⊥BC，EH⊥BC，旋转后点N的对应点分别为点P、点Q，点M的对应点分别为点K、点L，过点A作AT⊥BC， ①由旋转的性质得AP＝BN，AQ＝CN，KD＝MD，LE＝ME，AP≌BC，AQ∥BC，DK∥BC，DL∥BC， ∴AP+AQ＝BN+CN＝BC＝2DE，MK+ML＝2DE，A，Q，P三点共线，K，D，L三点共线， ∴PQ＝KL，PQ∥KL， ∴旋转后拼成的图形始终是平行四边形，故①正确； ∵DE是△ABC的中位线，AB＝8， ∴D，E分别是AB，AC的中点， ∴， ∵∠DBC＝30°，， ∴， ∵DE∥BC， ∴当MN⊥BC时，即线段MN的最小值为DG＝2，故②正确； 同理，EH＝2， ∵∠ABC＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴MN的最大值为，故③错误； ∵四边形PKLQ是平行四边形，， 由旋转的性质得PK＝QL＝MN， ∴四边形PKLQ的周长为，即旋转后拼成图形的周长是，故④正确； ⑤由上知，当MN与线段BE重合时，MN的值最大，当MN⊥BC时，MN的值最小， 则周长最大值与最小值之差为，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有①②④⑤，共4个． 故选：B． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案： ①随机抽取300名女生调查； ②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查； ③从初一年级中随机抽取300名学生调查． 其中抽取的样本具有代表性的是　②　 ．（填序号） 【答案】②． 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【解答】解：①和③不具有广泛性与代表性，抽取的样本具有代表性的是②． 故答案为：②． 10．在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是 　　 ． 【答案】． 【分析】由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是黄球的有2情况，利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果， 其中摸出的球是黄球的结果有2种， ∴从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是， 故答案为：． 11．如图，点E是矩形ABCD内一点，连接AE、BE，BE＝CD．若∠DAE＝25°，则∠CBE的度数为　40　 °． 【答案】40． 【分析】先根据矩形性质得到∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝BE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到∠E＝∠BAE＝65°，∠ABE＝50°，然后进行角度运算可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BE＝CD， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝BE， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠DAE＝25°， ∴∠E＝∠BAE＝90°﹣∠DAE＝65°， ∴∠ABE＝180°﹣2×65°＝50°， ∴∠CBE＝90°﹣∠ABE＝40°， 故答案为：40． 12．已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　﹣20　 ． 【答案】﹣20． 【分析】依据题意，对要求多项式进行因式分解，然后代入数值即可得解． 【解答】解：由题意，mn2﹣m2n＝mn（n﹣m）＝﹣mn（m﹣n）， 又∵m﹣n＝4，mn＝5， ∴mn2﹣m2n＝﹣5×4＝﹣20． 故答案为：﹣20． 13．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，若AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为　12　 ． 【答案】12． 【分析】由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC＝2，由平行线的性质和角平分线的定义推出∠ABE＝∠AEB，得到AE＝AB＝2，同理ED＝DC＝2，求出AD＝4，即可求出平行四边形ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC＝2， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝2， 同理：ED＝DC＝2， ∴AD＝AE+DE＝4， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2×（4+2）＝12． 故答案为：12． 14．若实数x、y同时满足，则xy的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【解答】解：根据题意得， 解得x＝5， ∴y＝﹣1， ∴xy， 故答案为：． 15．若关于x的分式方程1无解，则m的值为 　﹣2或1　 ． 【答案】﹣2或1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x， 解得：（2+m）x＝3， 由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x1，即m＝1， 综上，m的值为﹣2或1． 故答案为：﹣2或1 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝135°，点P为对角线BD上的动点（不与端点重合），过点P作PG⊥AB于点G，作PH⊥AD于点H，若PG+PH＝2，则菱形ABCD的周长为　　 ． 【答案】 【分析】连接AP，作DM⊥AB于点M，根据菱形的性质，推出△ADM为等腰直角三角形，等积法得到DM＝PG+PH＝2，进而求出AD的长，即可得出结果． 【解答】解：连接AP，作DM⊥AB于点M， ∵∠ABC＝135°， ∴AD＝AB＝BC＝CD，AD∥BC， ∴∠DAB＝180°﹣135°＝45°， ∴， ∵PG⊥AB，PH⊥AD， 又S△ABD＝S△APD+S△APB， ∴， ∴DM＝PG+PH＝2， ∴， ∴菱形ABCD的周长为． 17．已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　2　 ． 【答案】2． 【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解． 【解答】解：∵x（）2＝2n+1﹣2， y（）2＝2n+1+2， ∴x+y＝4n+2，xy＝1， 将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985， 化简得x2+y2＝98， （x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100， ∴x+y＝10． ∴4n+2＝10， 解得n＝2． 故答案为：2． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 　2PD　 ． 【答案】2PD． 【分析】根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段P1P2，再根据矩形的性质及已知条件判断△DP1P2是直角三角形，从而得出点D到线段P1P2上各点的连线中，DP1最小，DP2最大． 【解答】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1＝BP1， 当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2， ∴P1P2∥EC且P1P2CE， 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP， 由中位线定理可知：P1P∥CF且P1PCF， ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点， ∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形， ∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°， ∵P1P2∥EC， ∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°， ∴∠P2P1D＝90°， ∴DP的长DP1最小，DP2最大， ∵CD＝CP1＝DE＝2， ∴DP1＝2，CE＝2， ∴P1P2， ∴DP2， 故答案为：2PD． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）分解因式： （1）24x2y﹣12xy2； （2）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）． 【分析】（1）提取公因式即可； （2）利用提取公因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝12xy（2x﹣y）；(4分) （2）原式＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z） ＝（y﹣z）（2a+3b）．(8分) 20．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式及平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式；(4分) （2）原式 ．(8分) 21．（8分）本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）填空：a＝　0.305　 ；b＝　148　 ； （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为　0.3　 ；（结果精确到0.1） （3）小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗？为什么？ 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出a、b的值； （2）根据扇形统计图中的信息，可以计算出转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率； （3）先判断，然后根据转盘中的信息，可以计算出小明获胜和小红获胜的概率，从而可以说明判断是否正确． 【解答】解：（1）由表格可得， a＝122÷400＝0.305，(1分) b＝500×0.296＝148，(3分) 故答案为：0.305，148； （2）由扇形统计图可知，一共有10种等可能性，其中转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的可能性有3种， ∴转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3， 故答案为：0.3；(5分) （3）游戏公平， 理由：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“贴纸”有5份，不是“贴纸”有5份． ∴，(6分) ．(7分) ∴这个游戏公平．(8分) 22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，取OC中点F，连接BF并延长，使得EF＝BF，连接CE，DE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若∠EBD＝15°，，过点F作BE的垂线交BD于点G，连接GE．求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）由菱形的性质得OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，再证明OF是△BDE的中位线，得OF∥DE，OFDE，则OC＝DE，然后证明△OCED是平行四边形，即可得出结论； （2）根据三角形中位线定理得到DE＝OC＝2OF＝1，得到AC＝2OC＝2，根据等腰三角形的性质得到∠GEB＝∠GBE＝15°，求得∠DGE＝∠GBE+∠GEB＝30°，根据勾股定理得到DG，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵F是OC的中点， ∴OF是△BDE的中位线，OF＝CFOC， ∴OF∥DE，OFDE， ∴OC＝DE， ∴△OCED是平行四边形， 又∵∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED为矩形；4分) （2）解：如图，∵BF＝EF，BO＝OD， ∴DE＝OC＝2OF＝1， ∴AC＝2OC＝2， ∵FG⊥BE， ∴BG＝EG， ∴∠GEB＝∠GBE＝15°， ∴∠DGE＝∠GBE+∠GEB＝30°， ∵∠EDG＝90°， ∴GE＝2DE＝2， ∴BG＝EG＝2， ∴DG， ∴BD＝BG+DG＝2， ∴菱形ABCD的面积BD•AC2．(8分) 23．（10分）某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校2000名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在50～100分钟）分为5个等级（A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100），并随机抽取了部分学生的调查问卷进行了分析，根据分析结果绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　200　 名学生的调查问卷，“A”对应扇形圆心角的度数为　14.4　 °； （2）补全频数分布直方图； （3）请你估计全校2000名学生中，完成作业的时间少于70分钟的学生人数． 【分析】（1）根据C等级的数据求出总数，用A等级人数除以总数乘以360°即可求出“A”对应扇形圆心角的度数； （2）根据总数求出B、D等级的人数，进而补全频数分布直方图即可； （3）用2000乘以，完成作业的时间少于70分钟的学生人数的比例即可． 【解答】解：（1）本次调查共抽取学生96÷48%＝200（名）(2分) “A”对应扇形圆心角的度数为，(4分) 故答案为：200，14.4°； （2）频数分布直方图中“B”的人数为18%×200＝36（名），(5分) “D”的百分比为1﹣4%﹣18%﹣48%﹣8%＝22%， “D”的人数为22%×200＝44（名）．(6分) 补全频数分布直方图如图； （3）完成作业的时间少于70分钟的学生人数（4%+18%）×2000＝440（名），(10分) 答：估计全校2000名学生中，完成作业的时间少于70分钟的学生人数为440名． 24．（10分）2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． （1）求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ （2）企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 【分析】（1）设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是（x+1）万元，根据“60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶下巴（6﹣m）台，根据“小巴的数量不超过配送机器人数量的一半”列出不等式求出m的取值范围，得出配送方案，并求出每一种方案的利润，得出最大值． 【解答】解：（1）设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是（x+1）万元， 根据题意得：， 解得x＝2，(4分) 检验，当x＝2时，x（x+1）≠0，所以x＝2是原方程的解， 此时x+1＝3， 答：无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元；(5分) （2）设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶下巴（6﹣m）台， 根据题意得：6﹣mm， 解得m≥4，(6分) 又6﹣m≥1， ∴m≤5， ∴m的取值范围为4≤m≤5，(7分) ∵m为整数， ∴m＝4或5， 方案1：配送机器人4台，无人驾驶小巴2台， 总利润：4×（5﹣3）+2×（3﹣2）＝10（万元）；(8分) 方案2：配送机器人5台，无人驾驶小巴1台， 总利润：5×（5﹣3）+21×（3﹣2）＝11（万元）；(9分) ∴方案2的利润最大，最大为11万元． 答：所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大．(10分) 25．（10分）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若a与是关于6的友好二次根式，则a的值为　　 ； （2）若与是关于8的友好二次根式，求x． （3）已知，若m与n是关于1的“友好二次根式”，且a，b为整数，请求出a，b的值． 【分析】（1）根据已知条件和“友好二次根式”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据已知条件和“友好二次根式”的定义，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据已知条件和“友好二次根式”的定义，列出关于a，b的方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）∵a与是关于6的友好二次根式， ∴， ，(2分) 故答案为：； （2）∵与是关于8的友好二次根式， ∴， ， ， ， ， ；(6分) （3）∵，m与n是关于1的“友好二次根式”， ∴， ， ， ∵a，b为整数， ∴， ②×2得：2b+4a＝0③， ①﹣③得：a＝1， 把a＝1代入②得：b＝﹣2， ∴．(10分) 26．（10分）（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使DF＝BE． （2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使DM＝BE． 【分析】（1）先连接AC、DB，再连接其交点与E点即可； （2）用无刻度直尺作图即可． 【解答】解：（1）如图1，点F就是所求的点．(5分) （2）如图2，点M为所求的点．(10分) 27．（12分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0），若存在实数n，使得当x＝n时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式2x2+3x，当x＝0时，2×02+3×0＝0，因此0是该代数式的等根值． 【1】基础计算 关于x的代数式x2﹣3x+2的等根值是　　 ． 【2】存在判断 关于x的代数式3x2﹣2x+5是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． 【3】综合应用 已知关于x的代数式（k﹣1）x2﹣2kx﹣3． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值n1、n2，且（n1+1）（n2+1）为整数，求正整数k的所有可能值． 【分析】（1）根据题意得x2﹣3x+2＝x2解方程即可； （2）根据题意得3x2﹣2x+5＝x2，根据一元二次方程根的判别式判断此方程是否有解判断是否存在等根值即可； （3）①根据题意得（k﹣1）x2﹣2kx﹣3＝x2（k﹣1≠0），然后化简成（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0，根据代数式（k﹣1）x2﹣2kx﹣3仅有一个等根值可得关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0有两个相等的实数根或k﹣2＝0时的一元一次方程有一个实数根，再分情况讨论计算即可； ②根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系以及（n1+1）（n2+1）为整数计算，然后分情况讨论即可． 【解答】解：（1）由题意，得x2﹣3x+2＝x2， 化简得3x﹣2＝0， 解得x，(2分) 故答案为：； （2）不存在等根值．理由如下：(3分) 假设存在等根值，则3x2﹣2x+5＝x2， 化简得2x2﹣2x+5＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×25＝4﹣100＜0， ∴此关于x的一元二次方程没有实数根， ∴关于x的代数式3x2﹣2x+5不存在等根值；(5分) （3）①由题意，得（k﹣1）x2﹣2kx﹣3＝x2（k﹣1≠0）， 化简得（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0，(6分) ∵代数式（k﹣1）x2﹣2kx﹣3仅有一个等根值， ∴关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0有两个相等的实数根或k﹣2＝0． 当关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0有两个相等的实数根时， Δ＝（﹣2k）2﹣4•（k﹣2）•（﹣3）＝0， 解得k；(7分) 当k﹣2＝0时，即k＝2时，方程变为4x+3＝0，是一元一次方程，仅有一个实根x，符合题意． ∴k或k＝2；(8分) ②∵代数式（k﹣1）x2﹣2kx﹣3有两个不相等的等根值n1、n2，且（n1+1）（n2+1）为整数， ∴（k﹣1）x2﹣2kx﹣3＝x2， 即（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4•（k﹣2）•（﹣3）＝4k2+12k﹣24＞0，n1n2，n1+n2，(9分) ∵（n1+1）（n2+1） ＝n1n2+（n1+n2）+1 1 ＝3，(10分) ∵（n1+1）（n2+1）为整数， ∴k﹣2＝±1． 当k﹣2＝1时，k＝3，此时Δ＝4k2+12k﹣24＝36+36﹣24＝48＞0，符合题意；(11分) 当k﹣2＝﹣1时，k＝1，此时Δ＝4k2+12k﹣24＝4+12﹣24＝﹣8＜0，不符合题意，舍去．(12分) 综上，正整数k＝3． 28．（12分）【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图1，已知四边形ABCD的对角线AC和BD垂直，若a＝4，c＝2，则b2+d2＝ 　20　 ；小欢进一步发现图1中的四条线段a、b、c、d存在数量关系：a2+c2＝b2+d2 ； 【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图2，点P在矩形ABCD内，连接PA，PB，PC，PD，可得：PA2+PC2＝PB2+PD2．小欢尝试在图3中进行结论证明： 证明：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F， 在Rt△PEA中，PA2＝PE2+AE2， 在Rt△PFC中，PC2＝PF2+CF2， 同理可得：PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2． 请帮助小欢继续完成结论的证明； 【拓展应用】（3）在图3的基础上，若PE＝3PF，小欢将△DPC绕着点P逆时针旋转，当∠ADP＝90°时， 　　 ； （4）如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D和点E分别在边AB和BC上，连接AE、CD和DE，若CD＝9，AE＝10，DE＝6，求边AC的长． 【分析】（1）直接利用勾股定理即可求解； （2）过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点 F，则∠AEF＝90°，由勾股定理得PA2＝PE2+AE2，PC2＝PF2+CF2，PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2，然后证明四边形AEFD是矩形，同理可得四边形BEFC是矩形，故有AE＝DF，BE＝CF，然后进行代换即可； （3）由（2）得AE＝DF，PA2+PC2＝PB2+PD2，设AE＝DF＝b，PF＝a，则PE＝3a，由旋转性质可知PD＝PD1，所以，同理AP2＝b2+（3a）2＝b2+9a2，然后通过勾股定理，最后代入求解即可； （4）作点E关于AB对称点E1，点D关于BC对称点D1，连接AE1、BE1、BD1、CD1，则有BE＝BE1，DB＝D1B，从而可得A、B、D1共线，C、B、E1共线，则有 CD＝CD1＝9，AE＝AE1＝10，∠DBE＝∠D1BE1＝90°，证明△DBE≌△D1BE1（SAS），得出D1E1＝DE＝6，由（1）得，即AC2+62＝102+92，然后求解即可． 【解答】（1）解：∵AC⊥BD， ∴∠AEB＝∠CEB＝∠CED＝∠AED＝90°， 由勾股定理得：AE2+BE2＝a2，CE2+BE2＝b2，CE2+ED2＝c2，CE2+AE2＝d2， ∴AE2+BE2+CE2+ED2＝CE2+BE2+CE2+AE2， ∴a2+c2＝b2+d2，(1分) 当a＝4，c＝2，则b2+d2＝42+22＝20，(2分) 故答案为：20；a2+c2＝b2+d2； （2）证明：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点 F，则∠AEF＝90°，如图2， 在Rt△PEA中，由勾股定理得：PA2＝PE2+AE2， 在Rt△PFC中，由勾股定理得：PC2＝PF2+CF2， 同理：在直角三角形BEP中，由勾股定理得：PB2＝PE2+BE2，(3分) 在直角三角形DPF中，由勾股定理得：PD2＝PF2+DF2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形，同理可得四边形BEFC是矩形，(4分) ∴AE＝DF，BE＝CF， ∴PA2+PC2＝PE2+AE2+PF2+CF2，PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2， ∴PA2+PC2＝PB2+PD2；(5分) （3）解：如图3，由（2）得AE＝DF，PA2+PC2＝PB2+PD2， 设AE＝DF＝b，PF＝a，则PE＝3a， ∵将△DPC绕着点P逆时针旋转，∠ADP＝90°， ∴PD＝PD1， ∴， 同理：AP2＝b2+（3a）2＝b2+9a2，(7分) ∵∠AD1P＝90°， 由勾股定理得：， ∴， ∴，(8分) 故答案为：； （4）解：如图4，作点E关于AB对称点E1，点D关于BC对称点D1，连接AE1、BE1、BD1、CD1， ∴BE＝BE1，DB＝D1B， ∵∠B＝90°， ∴A、B、D1共线，C、B、E1共线， ∴CD＝CD1＝9，AE＝AE1＝10，∠DBE＝∠D1BE1＝90°， 在△DBE和△D1BE1中， ， ∴△DBE≌△D1BE1（SAS），(10分) ∴D1E1＝DE＝6， 由（1）得：， ∴AC2+62＝102+92， ∴．(12分) 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C B C C C B 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．② 10． 11．40 12．﹣20 13．12 14． 15．﹣2或1 16． 17．2 18．2PD 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分） 【解答】解：（1）原式＝12xy（2x﹣y）；(4分) （2）原式＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z） ＝（y﹣z）（2a+3b）．(8分) 20．（8分） 【解答】解：（1）原式；(4分) （2）原式 ．(8分) 21．（8分） 【解答】解：（1）由表格可得， a＝122÷400＝0.305，(1分) b＝500×0.296＝148，(3分) 故答案为：0.305，148； （2）由扇形统计图可知，一共有10种等可能性，其中转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的可能性有3种， ∴转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3， 故答案为：0.3；(5分) （3）游戏公平， 理由：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“贴纸”有5份，不是“贴纸”有5份． ∴，(6分) ．(7分) ∴这个游戏公平．(8分) 22．（8分） 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵F是OC的中点， ∴OF是△BDE的中位线，OF＝CFOC， ∴OF∥DE，OFDE， ∴OC＝DE， ∴△OCED是平行四边形， 又∵∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED为矩形；4分) （2）解：如图，∵BF＝EF，BO＝OD， ∴DE＝OC＝2OF＝1， ∴AC＝2OC＝2， ∵FG⊥BE， ∴BG＝EG， ∴∠GEB＝∠GBE＝15°， ∴∠DGE＝∠GBE+∠GEB＝30°， ∵∠EDG＝90°， ∴GE＝2DE＝2， ∴BG＝EG＝2， ∴DG， ∴BD＝BG+DG＝2， ∴菱形ABCD的面积BD•AC2．(8分) 23．（10分） 【解答】解：（1）本次调查共抽取学生96÷48%＝200（名）(2分) “A”对应扇形圆心角的度数为，(4分) 故答案为：200，14.4°； （2）频数分布直方图中“B”的人数为18%×200＝36（名），(5分) “D”的百分比为1﹣4%﹣18%﹣48%﹣8%＝22%， “D”的人数为22%×200＝44（名）．(6分) 补全频数分布直方图如图； （3）完成作业的时间少于70分钟的学生人数（4%+18%）×2000＝440（名），(10分) 答：估计全校2000名学生中，完成作业的时间少于70分钟的学生人数为440名． 24．（10分） 【解答】解：（1）设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是（x+1）万元， 根据题意得：， 解得x＝2，(4分) 检验，当x＝2时，x（x+1）≠0，所以x＝2是原方程的解， 此时x+1＝3， 答：无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元；(5分) （2）设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶下巴（6﹣m）台， 根据题意得：6﹣mm， 解得m≥4，(6分) 又6﹣m≥1， ∴m≤5， ∴m的取值范围为4≤m≤5，(7分) ∵m为整数， ∴m＝4或5， 方案1：配送机器人4台，无人驾驶小巴2台， 总利润：4×（5﹣3）+2×（3﹣2）＝10（万元）；(8分) 方案2：配送机器人5台，无人驾驶小巴1台， 总利润：5×（5﹣3）+21×（3﹣2）＝11（万元）；(9分) ∴方案2的利润最大，最大为11万元． 答：所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大．(10分) 25．（10分） 【解答】解：（1）∵a与是关于6的友好二次根式， ∴， ，(2分) 故答案为：； （2）∵与是关于8的友好二次根式， ∴， ， ， ， ， ；(6分) （3）∵，m与n是关于1的“友好二次根式”， ∴， ， ， ∵a，b为整数， ∴， ②×2得：2b+4a＝0③， ①﹣③得：a＝1， 把a＝1代入②得：b＝﹣2， ∴．(10分) 26．（10分） 【解答】解：（1）如图1，点F就是所求的点．(5分) （2）如图2，点M为所求的点．(10分) 27．（12分） 【解答】解：（1）由题意，得x2﹣3x+2＝x2， 化简得3x﹣2＝0， 解得x，(2分) 故答案为：； （2）不存在等根值．理由如下：(3分) 假设存在等根值，则3x2﹣2x+5＝x2， 化简得2x2﹣2x+5＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×25＝4﹣100＜0， ∴此关于x的一元二次方程没有实数根， ∴关于x的代数式3x2﹣2x+5不存在等根值；(5分) （3）①由题意，得（k﹣1）x2﹣2kx﹣3＝x2（k﹣1≠0）， 化简得（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0，(6分) ∵代数式（k﹣1）x2﹣2kx﹣3仅有一个等根值， ∴关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0有两个相等的实数根或k﹣2＝0． 当关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0有两个相等的实数根时， Δ＝（﹣2k）2﹣4•（k﹣2）•（﹣3）＝0， 解得k；(7分) 当k﹣2＝0时，即k＝2时，方程变为4x+3＝0，是一元一次方程，仅有一个实根x，符合题意． ∴k或k＝2；(8分) ②∵代数式（k﹣1）x2﹣2kx﹣3有两个不相等的等根值n1、n2，且（n1+1）（n2+1）为整数， ∴（k﹣1）x2﹣2kx﹣3＝x2， 即（k﹣2）x2﹣2kx﹣3＝0， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4•（k﹣2）•（﹣3）＝4k2+12k﹣24＞0，n1n2，n1+n2，(9分) ∵（n1+1）（n2+1） ＝n1n2+（n1+n2）+1 1 ＝3，(10分) ∵（n1+1）（n2+1）为整数， ∴k﹣2＝±1． 当k﹣2＝1时，k＝3，此时Δ＝4k2+12k﹣24＝36+36﹣24＝48＞0，符合题意；(11分) 当k﹣2＝﹣1时，k＝1，此时Δ＝4k2+12k﹣24＝4+12﹣24＝﹣8＜0，不符合题意，舍去．(12分) 综上，正整数k＝3． 28．（12分） 【解答】（1）解：∵AC⊥BD， ∴∠AEB＝∠CEB＝∠CED＝∠AED＝90°， 由勾股定理得：AE2+BE2＝a2，CE2+BE2＝b2，CE2+ED2＝c2，CE2+AE2＝d2， ∴AE2+BE2+CE2+ED2＝CE2+BE2+CE2+AE2， ∴a2+c2＝b2+d2，(1分) 当a＝4，c＝2，则b2+d2＝42+22＝20，(2分) 故答案为：20；a2+c2＝b2+d2； （2）证明：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点 F，则∠AEF＝90°，如图2， 在Rt△PEA中，由勾股定理得：PA2＝PE2+AE2， 在Rt△PFC中，由勾股定理得：PC2＝PF2+CF2， 同理：在直角三角形BEP中，由勾股定理得：PB2＝PE2+BE2，(3分) 在直角三角形DPF中，由勾股定理得：PD2＝PF2+DF2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠BAD＝∠ADC＝∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形，同理可得四边形BEFC是矩形，(4分) ∴AE＝DF，BE＝CF， ∴PA2+PC2＝PE2+AE2+PF2+CF2，PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2， ∴PA2+PC2＝PB2+PD2；(5分) （3）解：如图3，由（2）得AE＝DF，PA2+PC2＝PB2+PD2， 设AE＝DF＝b，PF＝a，则PE＝3a， ∵将△DPC绕着点P逆时针旋转，∠ADP＝90°， ∴PD＝PD1， ∴， 同理：AP2＝b2+（3a）2＝b2+9a2，(7分) ∵∠AD1P＝90°， 由勾股定理得：， ∴， ∴，(8分) 故答案为：； （4）解：如图4，作点E关于AB对称点E1，点D关于BC对称点D1，连接AE1、BE1、BD1、CD1， ∴BE＝BE1，DB＝D1B， ∵∠B＝90°， ∴A、B、D1共线，C、B、E1共线， ∴CD＝CD1＝9，AE＝AE1＝10，∠DBE＝∠D1BE1＝90°， 在△DBE和△D1BE1中， ， ∴△DBE≌△D1BE1（SAS），(10分) ∴D1E1＝DE＝6， 由（1）得：， ∴AC2+62＝102+92， ∴．(12分) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册全册。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件 2．下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B． C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．x2﹣5x+4＝x（x﹣5）+4 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点E是BC的中点，DE∥AC交AB于点D，若DE＝3，BC＝10，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 5．已知，下列结论正确的是（　　） A．A＝B B．A+B＝0 C．2A+B＝0 D．2A＝B 6．假设﹣1＜x＜0，那么等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2x﹣1 D．﹣2x+1 7．一块梯形木板ABCD，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝4，BC＝10，CD＝6，按如图方式设计一个矩形桌面EFCG（点E在边AB上）．当桌面面积最大时，EF为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图1，在△ABC中，AB＝8，，∠ABC＝30°，DE是△ABC的中位线．点M，N分别是线段DE，BC上的点，连接MN．现将四边形DBNM和四边形MNCE分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转180°，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图2所示．当点M，点N分别在线段DE，BC上运动时，有下列结论： ①旋转后拼成的图形始终是平行四边形； ②线段MN的最小值为2； ③线段MN的最大值为； ④旋转后拼成图形的周长是； ⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案： ①随机抽取300名女生调查； ②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查； ③从初一年级中随机抽取300名学生调查． 其中抽取的样本具有代表性的是　 　 ．（填序号） 10．在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是 　 　 ． 11．如图，点E是矩形ABCD内一点，连接AE、BE，BE＝CD．若∠DAE＝25°，则∠CBE的度数 为　 　 °． 12．已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　 　 ． 13．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，若AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为　 　 ． 14．若实数x、y同时满足，则xy的值为　 　 ． 15．若关于x的分式方程1无解，则m的值为 　 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝135°，点P为对角线BD上的动点（不与端点重合），过点P作PG⊥AB于点G，作PH⊥AD于点H，若PG+PH＝2，则菱形ABCD的周长为　 　 ． 17．已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　 　 ． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 　 　 ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）分解因式： （1）24x2y﹣12xy2； （2）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）． 20．（8分）计算： （1）； （2）． 21．（8分）本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）填空：a＝　 　 ；b＝　 　 ； （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为　　 　 ；（结果精确到0.1） （3）小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗？为什么？ 22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，取OC中点F，连接BF并延长，使得EF＝BF，连接CE，DE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若∠EBD＝15°，，过点F作BE的垂线交BD于点G，连接GE．求菱形ABCD的面积． 23．（10分）某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校2000名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在50～100分钟）分为5个等级（A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100），并随机抽取了部分学生的调查问卷进行了分析，根据分析结果绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　 　名学生的调查问卷，“A”对应扇形圆心角的度数为　 　°； （2）补全频数分布直方图； （3）请你估计全校2000名学生中，完成作业的时间少于70分钟的学生人数． 24．（10分）2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． （1）求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ （2）企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 25．（10分）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若a与是关于6的友好二次根式，则a的值为　 　 ； （2）若与是关于8的友好二次根式，求x． （3）已知，若m与n是关于1的“友好二次根式”，且a，b为整数，请求出a，b的值． 26．（10分）（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使DF＝BE． （2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使DM＝BE． 27．（12分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0），若存在实数n，使得当x＝n时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式2x2+3x，当x＝0时，2×02+3×0＝0，因此0是该代数式的等根值． 【1】基础计算 关于x的代数式x2﹣3x+2的等根值是　 　． 【2】存在判断 关于x的代数式3x2﹣2x+5是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． 【3】综合应用 已知关于x的代数式（k﹣1）x2﹣2kx﹣3． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值n1、n2，且（n1+1）（n2+1）为整数，求正整数k的所有可能值． 28．（12分）【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图1，已知四边形ABCD的对角线AC和BD垂直，若a＝4，c＝2，则b2+d2＝ 　 　；小欢进一步发现图1中的四条线段a、b、c、d存在数量关系：　 　； 【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图2，点P在矩形ABCD内，连接PA，PB，PC，PD，可得：PA2+PC2＝PB2+PD2．小欢尝试在图3中进行结论证明： 证明：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F， 在Rt△PEA中，PA2＝PE2+AE2， 在Rt△PFC中，PC2＝PF2+CF2， 同理可得：PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2． 请帮助小欢继续完成结论的证明； 【拓展应用】（3）在图3的基础上，若PE＝3PF，小欢将△DPC绕着点P逆时针旋转，当∠ADP＝90°时， 　 　； （4）如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D和点E分别在边AB和BC上，连接AE、CD和DE，若CD＝9，AE＝10，DE＝6，求边AC的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册全册。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（　　） A．随机事件 B．确定性事件 C．必然事件 D．不可能事件 2．下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B． C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．x2﹣5x+4＝x（x﹣5）+4 4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点E是BC的中点，DE∥AC交AB于点D，若DE＝3，BC＝10，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 5．已知，下列结论正确的是（　　） A．A＝B B．A+B＝0 C．2A+B＝0 D．2A＝B 6．假设﹣1＜x＜0，那么等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2x﹣1 D．﹣2x+1 7．一块梯形木板ABCD，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝4，BC＝10，CD＝6，按如图方式设计一个矩形桌面EFCG（点E在边AB上）．当桌面面积最大时，EF为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图1，在△ABC中，AB＝8，，∠ABC＝30°，DE是△ABC的中位线．点M，N分别是线段DE，BC上的点，连接MN．现将四边形DBNM和四边形MNCE分别按箭头所示的方向绕点D，E旋转180°，使得点B，C均与点A重合，旋转后拼成的图形如图2所示．当点M，点N分别在线段DE，BC上运动时，有下列结论： ①旋转后拼成的图形始终是平行四边形； ②线段MN的最小值为2； ③线段MN的最大值为； ④旋转后拼成图形的周长是； ⑤旋转后拼成图形的周长最大值与最小值之差为． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9．为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案： ①随机抽取300名女生调查； ②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查； ③从初一年级中随机抽取300名学生调查． 其中抽取的样本具有代表性的是　 　 ．（填序号） 10．在一个不透明的口袋中，装有2个黄球，3个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是 　 　 ． 11．如图，点E是矩形ABCD内一点，连接AE、BE，BE＝CD．若∠DAE＝25°，则∠CBE的度数 为　 　 °． 12．已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　 　 ． 13．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，若AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为　 　 ． 14．若实数x、y同时满足，则xy的值为　 　 ． 15．若关于x的分式方程1无解，则m的值为 　 　 ． 16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝135°，点P为对角线BD上的动点（不与端点重合），过点P作PG⊥AB于点G，作PH⊥AD于点H，若PG+PH＝2，则菱形ABCD的周长为　 　 ． 17．已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　 　 ． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 　 　 ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）分解因式： （1）24x2y﹣12xy2； （2）2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）． 20．（8分）计算： （1）； （2）． 21．（8分）本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）填空：a＝　 　 ；b＝　 　 ； （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为　　 　 ；（结果精确到0.1） （3）小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗？为什么？ 22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，取OC中点F，连接BF并延长，使得EF＝BF，连接CE，DE． （1）求证：四边形OCED为矩形； （2）若∠EBD＝15°，，过点F作BE的垂线交BD于点G，连接GE．求菱形ABCD的面积． 23．（10分）某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校2000名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在50～100分钟）分为5个等级（A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100），并随机抽取了部分学生的调查问卷进行了分析，根据分析结果绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　 　名学生的调查问卷，“A”对应扇形圆心角的度数为　 　°； （2）补全频数分布直方图； （3）请你估计全校2000名学生中，完成作业的时间少于70分钟的学生人数． 24．（10分）2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． （1）求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ （2）企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 25．（10分）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若a与是关于6的友好二次根式，则a的值为　 　 ； （2）若与是关于8的友好二次根式，求x． （3）已知，若m与n是关于1的“友好二次根式”，且a，b为整数，请求出a，b的值． 26．（10分）（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边AD上找点F，使DF＝BE． （2）如图2，四边形ABCD是菱形，E为BC上任意一点，请仅用无刻度直尺，在边DC上找点M，使DM＝BE． 27．（12分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0），若存在实数n，使得当x＝n时，代数式的值等于n2，则称n为这个代数式的等根值．例如：对于代数式2x2+3x，当x＝0时，2×02+3×0＝0，因此0是该代数式的等根值． 【1】基础计算 关于x的代数式x2﹣3x+2的等根值是　 　． 【2】存在判断 关于x的代数式3x2﹣2x+5是否存在等根值？若有，请求出所有等根值；若没有，试说明理由． 【3】综合应用 已知关于x的代数式（k﹣1）x2﹣2kx﹣3． ①若此代数式仅有一个等根值，求实数k的值； ②若此代数式有两个不相等的等根值n1、n2，且（n1+1）（n2+1）为整数，求正整数k的所有可能值． 28．（12分）【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图1，已知四边形ABCD的对角线AC和BD垂直，若a＝4，c＝2，则b2+d2＝ 　 　；小欢进一步发现图1中的四条线段a、b、c、d存在数量关系：　 　； 【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图2，点P在矩形ABCD内，连接PA，PB，PC，PD，可得：PA2+PC2＝PB2+PD2．小欢尝试在图3中进行结论证明： 证明：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F， 在Rt△PEA中，PA2＝PE2+AE2， 在Rt△PFC中，PC2＝PF2+CF2， 同理可得：PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2． 请帮助小欢继续完成结论的证明； 【拓展应用】（3）在图3的基础上，若PE＝3PF，小欢将△DPC绕着点P逆时针旋转，当∠ADP＝90°时， 　 　； （4）如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D和点E分别在边AB和BC上，连接AE、CD和DE，若CD＝9，AE＝10，DE＝6，求边AC的长． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.___________ 14. ___________ 10. ___________ 15. ___________ 11. ___________ 16.___________ 12. ___________ 17. ___________ 13. ___________ 18. ___________ 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （8分） 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $