10.5 用二元一次方程组解决问题（第3课时）教学设计 2025-2026学年苏科版七年级下册数学

该初中数学教学设计聚焦用二元一次方程组解决行程问题，通过复习解题步骤及行程基本量，搭建从基础到复杂问题的思维桥梁，为后续学习提供支架。 特色在于借助线形示意图将高铁过桥、环形跑道等动态问题转化为静态分析，渗透“化动为静”思想，培养几何直观与抽象能力。任务驱动从典例到变式训练，发展模型观念，提升学生分析与应用能力，为教师提供结构化教学流程和直观分析工具。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 春季 课题 10.5 用二元一次方程组解决问题（第3课时） 教学目标 1．能用二元一次方程组解决实际问题，会用线形示意图分析数量关系． 2．经历“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的过程，体会二元一次方程组的应用价值，发展模型观念和抽象能力． 教学重难点 教学重点： 用二元一次方程组解决实际问题． 教学难点： 用线形示意图分析数量关系列出方程组． 教学过程 一、复习引入 1．用二元一次方程组解决问题的一般步骤是什么？ 学生活动：审→设→列→解→验→答． 2．行程问题的应用题中涉及到哪几个量？它们之间有什么等量关系？ 学生活动：路程、速度、时间；速度×时间＝路程． 【设计意图】复习行程问题基本量与关系，强化知识间的联系，以“路程＝速度×时间”为纽带，帮助学生将已学知识迁移到复杂行程问题的分析中，为后续学习搭建思维桥梁，让学生清晰认识到基础知识在解决复杂问题中的关键作用． 二、典例示范 任务一：高铁过桥问题 例4 某铁路桥长2120 m，现有一列高铁列车从桥上通过．某人测得该列车从开始上桥到完全过桥共用了31 s，整列列车完全在桥上的时间共22 s．求列车的平均速度和长度． 1．探究问题： （1）引导学生思考：在上面的问题中，已知量是什么？未知量是什么？怎样设未知数？ （2）组织学生讨论：如何直观形象地分析问题中的数量之间的关系？ 2．分析过程： 设列车的平均速度为x m/s，列车的长度为y m． 可以画出如图所示的线形示意图，分析数量关系： 由示意图可知： 列车31 s行驶的路程＝ 桥长＋列车长 ； 列车22 s行驶的路程＝ 桥长－列车长 ． 3．解题过程： 解：设列车的平均速度为x m/s，列车的长度为y m． 根据题意，得 解这个方程组，得 答：列车的平均速度为80 m/s，列车的长度为360 m． 4．活动展示：组织学生分组讨论解题思路，推选代表展示解题过程，促进学生之间的交 流与合作，培养学生的团队协作能力和表达能力． 【设计意图】借助动态示意图，将高铁过桥的动态过程转化为直观的静态图示，帮助学生理解车长与桥长在不同行驶状态下和路程的关系，突破“车长参与路程计算”这一理解难点．在这一过程中，向学生渗透“化动为静”的数学思想，引导学生学会将复杂的动态问题转化为静态分析，培养学生的空间转换能力和数学思维．同时，组织学生分组讨论、展示解题过程，培养学生团队协作能力和表达能力． 任务二：环形跑道问题 例5 小明、小亮在400 m的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200 s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40 s两人第一次相遇．若小明比小亮跑得快，则小明、小亮跑步的平均速度分别是多少？ 1．思考问题： （1）在上面的问题中，已知量是什么？未知量是什么？怎样设未知数？ （2）如何直观形象地分析问题中的数量之间的关系？ 2．分析过程： 设小明的平均速度是x m/s，小亮的平均速度是y m/s，可以列表如下： 3．解题过程： 解：设小明的平均速度是x m/s，小亮的平均速度是y m/s． 根据题意，得 解这个方程组，得 答：小明的平均速度是6 m/s，小亮的平均速度是4 m/s． 4．活动展示：请学生展示解题过程，分享思路，其他学生进行评价和补充，教师总结和 点评． 【设计意图】利用环形运动示意图呈现环形跑道上的循环运动，帮助学生理解同向和反向跑步时两人相对速度的概念及形成原理，突破 “循环运动” 带来的抽象理解障碍．在分析过程中，着重培养学生对相对运动的分析能力，引导学生从相对运动的角度思考问题，提高学生的逻辑思维能力．通过学生上台展示、互动交流，培养逻辑思维和语言表达能力． 三、学以致用 任务三：追及和相遇问题 1．小红和姐姐相距1.6 km．如果她们同时出发且相向而行，那么经过10 min两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发10 min，那么在小红出发后15 min姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ （1）分析过程： 设小红的平均速度是x km/min，姐姐的平均速度是y km/min． （2）解题过程： 解：设小红的平均速度是x km/min，姐姐的平均速度是y km/min． 根据题意，得 解这个方程组，得 答：小红的平均速度是0.04 km/min，姐姐的平均速度是0.12 km/min． （3）活动展示：鼓励学生独立完成解题过程，然后同桌之间相互检查和交流，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并给予帮助，培养学生独立思考和自我纠错的能力． 【设计意图】设置追及和相遇问题进行变式训练，引导学生将在高铁过桥、环形跑道等陆地运动问题中建立的二元一次方程组模型应用到此类场景中．通过解决问题，进一步加深学生对行程问题中数量关系的理解和运用，让学生体会数学模型的通用性，提高学生运用数学模型解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识，感受数学与生活的紧密联系．鼓励学生独立完成并相互交流，培养独立思考和自我纠错能力． 任务四：流水行船问题 2．A、B两地相距96 km，一艘船若从A地出发，则顺水航行4 h到达B地；若从B地出发，则逆水航行6 h到达A地．求该船在静水中航行的平均速度和水流平均速度． （1）分析过程：设船在静水中航行的平均速度为 x km/h，水流平均速度为 y km/h，分析数量关系． 顺水航行时，4（x＋y）＝96； 逆水航行时，6（x－y）＝96． （2）解题过程： 解：设船在静水中航行的平均速度为x km/h，水流平均速度为y km/h． 根据题意，得 解这个方程组，得 答：船在静水中航行的平均速度为20 km/h，水流平均速度为4 km/h． （3）活动展示：请学生上台展示解题过程，讲解思路，其他学生进行提问和质疑，教师引导学生进行总结归纳，培养学生的逻辑思维和语言表达能力． 【设计意图】将问题拓展到流水行船场景，引导学生迁移已建立的二元一次方程组模型。在解决问题过程中，强化学生对“速度合成”思想的理解和运用。让学生认识到数学模型在不同运动情境下的广泛适用性，进一步提升学生运用数学模型解决实际问题的能力，体会数学的实用性和模型的普适价值，增强学生学习数学的自信心和成就感．通过学生上台展示、互动交流，培养逻辑思维和语言表达能力． 四、课堂小结 谈谈你这一节课有哪些收获． 【设计意图】通过课堂小结，提炼本节课的核心知识，如运用线形示意图分析行程问题、建立二元一次方程组模型等，以及重要的数学思想方法，如“化动为静”、相对运动分析、速度合成思想等和解题策略．帮助学生梳理知识体系，促进知识的内化和吸收，引导学生从单纯的解题步骤记忆上升到策略选择层面的思考．让学生学会根据不同问题情境选择合适的解题方法，形成可迁移的问题解决能力，提升学生的数学素养，为今后解决各类数学问题和实际问题提供帮助． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $