专题 10.6 二元一次方程组全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 10.6 二元一次方程组全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】二元一次方程（组） 1 【题型 1】二元一次方程（组）及其解 2 【知识点二】消元法解二元一次方程组 3 【题型 2】解二元一次方程组 4 【题型 3】整体法解二元一次方程组 7 【题型 4】二元一次方程组中的出错问题 10 【题型 5】含参数的方程组问题 13 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 15 【题型 6】行程与工程问题 16 【题型 7】营销与利润问题 19 【题型 8】方案与分配问题 23 【题型 9】几何与古代问题 27 【知识点四】三元一次方程组的解法 30 【题型 10】解三元一次方程组 30 二.同步检测 32 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 32 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 38 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 41 一.知识梳理与题型分类精析 【知识点一】二元一次方程（组） 1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式： 【特别提示】二元一次方程有无数组解，每组解是一对未知数的值。 2、二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 【题型 1】二元一次方程（组）及其解 【例题1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若是二元一次方程，则________． 【答案】4 【分析】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，且未知项的系数不等于0，据此可列出方程，，，且，求解得出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，且， 解得：，， ∴． 故答案为：4． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期末）如果是方程的一组解，那么代数式_____． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据二元一次方程解的定义，将解代入方程得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】因为是方程 的解， 所以． 代数式． 故答案为：6． 【变式2】（25-26八年级上·全国·开学考试）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球元/个，篮球元/个，共有______种购买方案． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买足球个，篮球个，根据题意列出方程，找出满足为非负整数的解的组数，明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程非负整数解是解题的关键． 【详解】解：购买足球个，篮球个， 根据题意得，， 整理得：， ∴， ∵为非负整数 ∴或或或或或， ∴共有种购买方案， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若是方程的一组解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】将解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可．本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：代入方程，得： 整理，得 解得： 故选：D． 【知识点二】消元法解二元一次方程组 1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式： 【特别提示】二元一次方程有无数组解，每组解是一对未知数的值。 2、二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 代入消元法 某个未知数的系数为1 或-1. ①用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代入另一个方程消元；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 变形时要注意符号，代入时要代入“未变形的方程”. 加减消元法 同一未知数的系数相等或相反或成倍数. ①变形方程组，使某一未知数的系数相等或相反；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 系数成倍数时，两边要同乘“最小公倍数”，避免漏乘常数项. 【题型 2】解二元一次方程组 【例题2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得：③  ……第一步 ，得：  ……第二步 把代入①，得：  ……第三步 ∴原方程组的解为  ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】第二步是消元，依据见解析，小明的解答过程不正确，正确的过程见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【详解】解：第二步是消元； 消元的依据是：等式的性质1或等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式． 小明的解答过程不正确，正确过程如下： 解：得：③， 得：， 将代入①得：， 即， ∴原方程组的解为． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， ①代入②得，， 解得：， 将代入①得，； ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：； ∴原方程组的解为：． 【变式2】（25-26七年级上·山东泰安·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握方程组的求解方法为解题关键． （1）利用代入消元法求解方程组的解即可； （2）利用加减消元法求解方程组的解即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 方程组的解为； （2）解：， 得③， 得④， 得：， 解得：， 将代入①，得， 原方程组的解是． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据代入消元法求解即可； （2）将原方程组整理后根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 将代入得， 解得：， 将代入得， 即； （2）解： 原方程组整理得： 得：， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴． 【题型 3】整体法解二元一次方程组 【例题3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【详解】解：， 先将看作一个整体， 则整理①，得③， 将③整体代入②，得， 解得． 把代入③得， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接将两个方程作差，得到关于的表达式，结合已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， 得， 化简得． ∵， ∴， 解得． 【变式2】（浙江温州市2025-2026学年下学期七年级期中检测数学学科题库）已知实数、满足，且则的值为_________． 【答案】4 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，进而得到关于的方程求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 解得：． 【变式3】（25-26八年级上·广东梅州·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）整体代入消去未知数，再求解即可； （2）先整理方程，观察两个方程特征，整体代入消去未知数，再求解即可； 【详解】（1）解：， 把②代入①，得：， 解得， 把代入②，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：原方程组整理为， 把①代入②，得：， 解得， 把代入①，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为． 【点睛】重点观察两个方程的特征，整体代入后能消去一个未知数． 【题型 4】二元一次方程组中的出错问题 【例题4】（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】． 【分析】将代入方程，将代入方程，求出，的值，再把，代入解方程组即可． 【详解】解：将代入方程，得：，解得， 将代入方程，得：，解得， 把，代入原方程组， 得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为（   ） A．10 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，将代入中，可得；将代入中，可得；再求解即可． 【详解】解：∵解方程组时，甲看错了方程组中的a， ∴方程在解的过程中是正确的， ∵方程组的解为， ∴， ∴； ∵解方程组时，乙看错了方程组中的b， ∴在解的过程中是正确的， ∵方程组的解为， ∴， ∴； ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】，． 【分析】先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 【题型 5】含参数的方程组问题 【例题5】（25-26七年级下·河北邢台·期中）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据相反数的定义可得，求出方程组的解，再把该方程组的解代入方程中计算求解即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵x，y是一对相反数， ∴， 联立 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴ ∴． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·月考）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 【变式2】（2026·四川成都·二模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】2 【分析】用方程组中的两个方程相减得出，再根据，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：， 得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 【答案】 【分析】由得：，再由，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 1、解题步骤： （1）审题：找两个等量关系；（2）设元：直接设未知数或间接设未知数；（3）列方程组：根据等量关系列方程；（4）求解与检验：解出未知数后，要检验是否符合实际意义。 2、主要题型： （1）和差倍分问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（3）配套问题；（4）利润问题。 【题型 6】行程与工程问题 【例题6】（23-24六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【题型 7】营销与利润问题 【例题7】（25-26七年级上·安徽六安·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元； (2)共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； (3)方案1获利最大，最大利润是万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、方程的正整数解问题以及利润的计算与最值比较，关键是根据实际购进的资金等量关系建立方程(组)，结合车辆数为正整数的实际意义确定取值，再通过计算比较得出利润最值． （1）先设、两种型号汽车的进价分别为万元、万元，根据题干中两种购进方式的资金总额，列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种车型的每辆进价； （2）设购进型辆、型辆，且、均为正整数，根据总购进资金万元列出不定方程，整理化简后结合正整数的限制条件，分析得出未知数的取值需满足的倍数和不等关系，逐一验证求出所有符合条件的、值，进而确定所有购买方案； （3）根据每辆、型汽车的利润，分别计算出（2）中各方案的总利润，通过比较各方案的利润数值，得出获利最大的方案以及对应的最大利润． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， 根据题意列方程组：，解得， 答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元． （2）解：设购进型汽车辆，型汽车辆(、均为正整数)， 根据题意得，整理得， ∵、为正整数， ∴需为3的正倍数，且，即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； ∴共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； （3）解：方案1的利润：(万元)； 方案2的利润：(万元)； 方案3的利润：(万元)； ∵， ∴方案1获利最大，最大利润是万元； 答：方案1获利最大，最大利润是万元． 【变式1】（23-24七年级上·重庆合川·期末）某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为， 根据题意得， 解得， ， 故选D． 【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍________本． 【答案】15 【分析】设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，根据题意列二元一次方程求出x，y的值，设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，根据题意得，整理得到，表示出，由均为正整数得到方程的解，由此得到答案． 【详解】解：设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，则 ， 解得， 设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，则 ， 整理得：， ∴， ∴， 得， ∵均为正整数， ∴（舍去）或（舍去）或， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意，列得方程组或二元一次方程是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (2)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． (1)设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，根据“总价单价数量”，再结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买钥匙扣个、玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，结合“均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个， 由题意得： 解得：， 答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个； （2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 由题意得：， ， 是正整数，且，， 或 或 ， 共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个； 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个； 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 【题型 8】方案与分配问题 【例题8】（25-26八年级上·广东深圳·期末）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案，见解析，最省费用为12800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·一模）学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题考查了不定方程的应用，二元一次方程的应用，正整数解，设购买篮球个，足球个，排球，又购买的足球数量是的倍数，设（为正整数），则有，即，整理得，然后分或进行求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：购买篮球个，足球个，排球， ∵购买的足球数量是的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴，整理得：， ∵，为正整数， ∴或， ∴当时，， ∴或或或或或， ∴当时，， ∴， 综上可知：该学校的购买方案有种， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．已知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元． (1)求A，B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答） (2)若某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．请问该茶叶店有几种购进方案？ 【答案】(1)A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元 (2)该茶叶店有2种购进方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设A，B茶叶的单价分别为元，元，根据购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元，进行列方程组，即可作答． （2）先理解题意，列式，整理得，因为、都为正整数，22与15互质，得出n的正整数取值为15、30，即可作答． 【详解】（1）解：设A，B茶叶的单价分别为元，元， 依题意，得， 解得， ∴A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元； （2）解：由（1）得A种茶叶单价为300元，B种茶叶单价为440元； 设购进A茶叶盒，购进B茶叶盒， ∵某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元． ∴， 整理得， ∵、都为正整数， ∴是的正倍数， 则， ∴ ∵22与15互质， 则n的正整数取值为15、30， 当时，则，符合题意； 当时，则，符合题意； 综上：该茶叶店有2种购进方案． 【题型 9】几何与古代问题 【例题9】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【答案】甜果买了657个，苦果买了343个 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设甜果买x个，苦果买y个根据数量和钱数，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甜果买x个，苦果买y个． 列方程组得，， 解得， 答：甜果买了657个，苦果买了343个． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘得一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有钱，乙原有钱，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解。设甲原有文钱，乙原有文钱，根据题意可得，甲的钱乙的钱的一半文钱，乙的钱甲所有钱的文钱，据此列方程组可得． 【详解】解：设甲原有文，乙原有文， ∵ 甲得到乙所有钱的一半后共有文， ∴， ∵ 乙得到甲所有钱的后共有文， ∴， 方程组为： ． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为________． 【答案】，， 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（）设每个长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组解答即可求解； （）根据（）解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， 答：每个小长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴图（）正方形的边长为． 【知识点四】三元一次方程组的解法 定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，且共有三个方程的方程组。 解题步骤：（1）用代入或加减消元法消去同一个未知数，转化为二元一次方程组；（2）解二元一次方程组，得到两个未知数的值；（3）回代求第三个未知数的值；（4）写出方程组的解。 【题型 10】解三元一次方程组 【例题10】（25-26七年级下·全国·周测）如果方程组的解使成立，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确计算是解题的关键． 求出方程组的解得到的值，代入已知等式计算即可求出的值． 【详解】解：解方程组 得：， 解得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为： ，解得． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·月考）已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【答案】A 【分析】此题考查解三元一次方程组，根据各方程的特点选用加减法将三个方程相加即可求出结果，熟练掌握加减法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， ①+②+③得， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，满足且，则为________． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，把当作常数，解关于、的方程组，求出、的值，再求出比值即可． 【详解】解：， 由①得，③， 将③代入②，得， 整理得，， 将代入③，， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 二.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 【答案】B 【分析】先将已知的代入，求出第二个被遮盖的的值，再将和的值代入，求出第一个被遮盖的数，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入，得， 解得，即第二个被遮盖的数为， 再将，代入，得，即第一个被遮盖的数为， 因此被遮盖的前后两个数分别为、． 2．（江苏宿迁市2025~2026学年第二学期七年级期中学业水平监测数学）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中，项的次数为，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； B、方程中含有个未知数，含未知数的项的次数均为，且是整式方程，符合二元一次方程定义，故此选项符合题意； C、 只含有个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； D、 含有个未知数，不符合二元一次方程定义，故此选项不符合题意； 3．（25-26七年级下·北京·期中）在代数式中，当分别取，0，1，2时，对应代数式的值如下表，则的值为（   ） … 0 1 2 … … 1 3 5 … A． B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题根据表格给出的x对应代数式的值，先求出k和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴，解得：， ∴． 4．（25-26七年级下·浙江金华·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将①代入②后去括号整理即可得到结果，掌握代入消元法的步骤是解题关键． 【详解】解： ∵将方程①代入方程②消去， ∴把代入②得： ， 根据去括号法则去括号得： ， 因此正确选项为C． 5．（25-26七年级下·四川内江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质得到关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴①+②得，解得， 把代入①解得， ∴． 6．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解同时满足所有方程，因此先联立不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，得到关于的方程组即可求解． 【详解】解：根据题意，联立不含参数的方程得 ， ①+②得，解得， 把代入①得 ，解得， 把代入和得： ， 将代入得，解得 把代入得 ， 所以，即选项A符合题意． 7．（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯， ∴，A选项正确，不符合题意； 套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个， ∴，B选项正确，不符合题意； 套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个， ∴，C选项正确，不符合题意； 总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入， 即， D选项错误，符合题意． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 【答案】D 【分析】根据加减消元法的规则，使目标未知数的系数和为0即可消去该未知数，据此判断各选项即可. 【详解】解：对于方程组 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，需要， ∴选项A、C错误； 若消去： ∵的系数分别为和，要使的系数和为，将，可得： ，的系数和为，被消去， ∴选项B错误，选项D正确. 9．（2026·广东东莞·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得大马和小马的总匹数为（匹），大马和小马一共驮的瓦片数为（块）， 则． 10．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解及方程组解的定义判断即可得解． 【详解】已知关于、的方程组， 解得：， 当时，， 变形为无意义， 不可能等于，故正确； 当时，方程组的解为， 代入方程， 左边， 右边， 左边右边， 当时，方程组的解也是方程的解，故正确； 当，时，代入方程组得， 解得：，无实数解， 不存在某一个值，使得，，故错误； ， ， 的最小值为，故正确． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（湖北黄冈市部分学校2026年春季七年级期中综合素质监测数学试题）已知方程，是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】0 【分析】根据二元一次方程的定义，即方程是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为的整式方程，据此列出关于，的方程，求解得到，的值后代入计算即可． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程． ，． 解得，． ． 12．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）在方程中，用含的代数式表示为：_____． 【答案】或 【分析】通过移项和系数化为求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 即：或. 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为_________． 【答案】2 【分析】根据相反数的性质得到，代入方程组得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：方程组为， ∵x与y互为相反数， ∴， 将代入①得， 可得③， 将代入②得， 可得④， 联立③④得，解得． 14．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果x，y满足方程组，那么的值是________． 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，通过将方程组中两个方程相加可直接得到所求代数式的值． 【详解】解： 由可得： ， 整理得 ． 15．（上海市静安区2025-2026学年第二学期六年级数学期中练习）已知是二元一次方程组的解，则的值是____． 【答案】 【分析】先将方程组的解代入方程组，得到关于的二元一次方程组，再由加减消元法解方程组求出，再进行代数式求值． 【详解】解：由题意得，将代入， 则， 得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴． 16．（25-26七年级下·广东广州·期中）现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共元．角、角、元硬币的取法共有______种． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设角、角、元硬币分别取枚、枚、枚，根据总枚数和总金额列出方程组，结合为不超过10的非负整数，即可求出取法的数量． 【详解】解：设角、角、元硬币分别取枚、枚、枚，将单位统一为角，元角， 由题意得 由①得：，代入②得： 整理得： ∵均为不超过的非负整数，所以为非负整数， 因此是的倍数， 当时，，，不符合题意， 当时，，，满足，，，符合题意， 当时，，为负数，不符合题意， 综上，符合条件的取法只有种． 17．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】根据方程组解的定义，先利用已知的原方程组的解求出m和n的值，再将m，n代入所求方程组，解二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：将代入原方程组， 解得， 将代入所求方程组，得 ， 整理，得 ，， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 18．（25-26七年级下·河北邢台·期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______． 【答案】如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房 【分析】根据方程组中的方程分析对应的等量关系，从而推导出省略的条件． 【详解】解：由题意可知，方程组中第一个方程对应题干已知的“每一间客房住人，那么有人无房住”． 第二个方程，为客房总数量，表示实际使用的客房比总客房少间，即空出间客房， 表示所有客人恰好住满， 因此可得省略的条件为如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·北京·期中）解方程组： (1)代入法解方程组； (2)选择合适的方法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先从第二个方程将y用含x的代数式表示，再代入第一个方程求出x，最后回代求出y即可； （2）先将第一个方程去分母化为整系数二元一次方程，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解：记原方程组为， 由②得，， 将③代入①得， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为； （2）解：记原方程组为， 得，， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入， 得： ， 解得． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南开封·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】根据这四个方程的解相同，重新联立方程即可求出x和y，然后代入另外两个含a和b的方程中，即可求出a和b，最后代入即可． 【详解】解：联立得：， 解得 把代入 解得 ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·浙江金华·期中）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）方法一根据消元法求解即可，方法二题中提供的方法求解即可； （2）根据题中提供的方法求解即可． 【详解】（1）解：方法一： ， ，得：， 解得：， 将代入②，得：， 解得：， ∴； 方法二： ， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东青岛·期中）推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元． (1)求甲、乙两种智能收纳桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？ 【答案】(1)甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元 (2)社区购买了20个乙种智能收纳桶 【分析】（1）设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元，根据购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元，购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元，列出方程组进行求解即可． （2）设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个，根据订购这两种智能收纳桶共30个，总费用为7000元，列出方程组进行求解即可. 【详解】（1）解：设甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元， 由题意得，      解得，     答：甲种智能收纳桶的单价为元，乙种智能收纳桶的单价为元；   （2）解：设购买甲种智能收纳桶个，则购买乙种智能收纳桶个， 由题意得，     解得， 答：社区购买了20个乙种智能收纳桶． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江苏常州·期中）【阅读】如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：与．当任取一个数时，如，，这两个多项式的值都是相等的．因此，多项式与是恒等的． 【探究】 （1）若关于的多项式与恒等（其中是常数），则___________，___________． （2）若关于的多项式与恒等（其中是常数），求的值； 【拓展】 （3）若关于的多项式与恒等（其中是常数），求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式，代数式求值，掌握两个多项式恒等，相同项的系数相等是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到，的值； （2）根据对应系数相等列方程求解即可； （3）根据对应系数相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：关于的多项式与恒等， ∴，， 故答案为：； （2）关于的多项式与恒等， 所以，解得． （3）关于的多项式与恒等， 所以，解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10.6 二元一次方程组全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】二元一次方程（组） 1 【题型 1】二元一次方程（组）及其解 2 【知识点二】消元法解二元一次方程组 2 【题型 2】解二元一次方程组 3 【题型 3】整体法解二元一次方程组 4 【题型 4】二元一次方程组中的出错问题 4 【题型 5】含参数的方程组问题 5 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 5 【题型 6】行程与工程问题 6 【题型 7】营销与利润问题 7 【题型 8】方案与分配问题 8 【题型 9】几何与古代问题 9 【知识点四】三元一次方程组的解法 10 【题型 10】解三元一次方程组 10 二.同步检测 11 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与题型分类精析 【知识点一】二元一次方程（组） 1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式： 【特别提示】二元一次方程有无数组解，每组解是一对未知数的值。 2、二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 【题型 1】二元一次方程（组）及其解 【例题1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若是二元一次方程，则________． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期末）如果是方程的一组解，那么代数式_____． 【变式2】（25-26八年级上·全国·开学考试）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球元/个，篮球元/个，共有______种购买方案． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若是方程的一组解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【知识点二】消元法解二元一次方程组 1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式： 【特别提示】二元一次方程有无数组解，每组解是一对未知数的值。 2、二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 代入消元法 某个未知数的系数为1 或-1. ①用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代入另一个方程消元；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 变形时要注意符号，代入时要代入“未变形的方程”. 加减消元法 同一未知数的系数相等或相反或成倍数. ①变形方程组，使某一未知数的系数相等或相反；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 系数成倍数时，两边要同乘“最小公倍数”，避免漏乘常数项. 【题型 2】解二元一次方程组 【例题2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得：③  ……第一步 ，得：  ……第二步 把代入①，得：  ……第三步 ∴原方程组的解为  ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）解方程组： (1) (2) 【变式2】（25-26七年级上·山东泰安·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列方程组 (1)； (2)． 【题型 3】整体法解二元一次方程组 【例题3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 【变式1】（23-24七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】（浙江温州市2025-2026学年下学期七年级期中检测数学学科题库）已知实数、满足，且则的值为_________． 【变式3】（25-26八年级上·广东梅州·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 【题型 4】二元一次方程组中的出错问题 【例题4】（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【变式1】（24-25七年级下·四川德阳·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为（   ） A．10 B． C．9 D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【变式3】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【题型 5】含参数的方程组问题 【例题5】（25-26七年级下·河北邢台·期中）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 【变式1】（25-26七年级下·重庆·月考）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川成都·二模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 1、解题步骤： （1）审题：找两个等量关系；（2）设元：直接设未知数或间接设未知数；（3）列方程组：根据等量关系列方程；（4）求解与检验：解出未知数后，要检验是否符合实际意义。 2、主要题型： （1）和差倍分问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（3）配套问题；（4）利润问题。 【题型 6】行程与工程问题 【例题6】（23-24六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工________米，乙工程队每天施工________米． 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【题型 7】营销与利润问题 【例题7】（25-26七年级上·安徽六安·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【变式1】（23-24七年级上·重庆合川·期末）某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍________本． 【变式3】（25-26七年级上·安徽六安·期末）某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【题型 8】方案与分配问题 【例题8】（25-26八年级上·广东深圳·期末）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【变式1】（2025·黑龙江牡丹江·一模）学校为了开展球类活动，准备用元同时购买若干个篮球、足球、排球（三种球类都买），且购买的足球数量是的倍数．若篮球每个元，足球每个元，排球每个元，则该学校的购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）中国的茶文化源远流长，融合了哲学、艺术、礼仪与生活方式，是中华文明的重要组成部分．已知小艺购进1盒B种茶叶比购进1盒A种茶叶多140元；购进2盒A种茶叶和1盒B种茶叶共1040元． (1)求A，B这两种茶叶的单价；（用方程组的知识解答） (2)若某茶叶店购进A，B两种茶叶（两种茶叶均购买），费用恰好为18000元．请问该茶叶店有几种购进方案？ 【题型 9】几何与古代问题 【例题9】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期末）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘得一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有钱，乙原有钱，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为________． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【知识点四】三元一次方程组的解法 定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，且共有三个方程的方程组。 解题步骤：（1）用代入或加减消元法消去同一个未知数，转化为二元一次方程组；（2）解二元一次方程组，得到两个未知数的值；（3）回代求第三个未知数的值；（4）写出方程组的解。 【题型 10】解三元一次方程组 【例题10】（25-26七年级下·全国·周测）如果方程组的解使成立，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·月考）已知三元一次方程组，则 （    ） A．20 B．30 C．35 D．70 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，满足且，则为________． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 二.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 2．（江苏宿迁市2025~2026学年第二学期七年级期中学业水平监测数学）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）在代数式中，当分别取，0，1，2时，对应代数式的值如下表，则的值为（   ） … 0 1 2 … … 1 3 5 … A． B．6 C．4 D． 4．（25-26七年级下·浙江金华·期中）用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·四川内江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知方程组和方程组有相同的解，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（   ） A．要消去y，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去x，可以将 9．（2026·广东东莞·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组，以下说法不正确的是（    ） A．无论实数取何值，不可能等于 B．当时，方程组的解也是方程的解 C．存在某一个值，使得， D．代数式的最小值为7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（湖北黄冈市部分学校2026年春季七年级期中综合素质监测数学试题）已知方程，是关于，的二元一次方程，则_____． 12．（25-26七年级下·湖南长沙·期中）在方程中，用含的代数式表示为：_____． 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为_________． 14．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果x，y满足方程组，那么的值是________． 15．（上海市静安区2025-2026学年第二学期六年级数学期中练习）已知是二元一次方程组的解，则的值是____． 16．（25-26七年级下·广东广州·期中）现有角、角、元硬币各枚，从中取出枚，共元．角、角、元硬币的取法共有______种． 17．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 18．（25-26七年级下·河北邢台·期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·北京·期中）解方程组： (1)代入法解方程组； (2)选择合适的方法解方程组． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若原方程组的解满足，求m的值． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南开封·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·浙江金华·期中）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东青岛·期中）推进科技文化进社区活动，提升社区居民对科技文化的体验感，某社区计划打造科技文化角，准备购买甲、乙两种具有科技文化展示功能的智能收纳桶．已知甲种智能收纳桶专注于科普知识展示，乙种智能收纳桶侧重文化历史呈现，且购买甲种智能收纳桶的单价比购买乙种智能收纳桶的单价少50元．购买4个甲种智能收纳桶和6个乙种智能收纳桶所需费用为2300元． (1)求甲、乙两种智能收纳桶的单价； (2)该社区拟计划订购这两种智能收纳桶共30个，用于丰富科技文化角的展示内容，且总费用为7000元，则社区购买了多少个乙种智能收纳桶？ 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江苏常州·期中）【阅读】如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母的一元多项式，当任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：与．当任取一个数时，如，，这两个多项式的值都是相等的．因此，多项式与是恒等的． 【探究】 （1）若关于的多项式与恒等（其中是常数），则___________，___________． （2）若关于的多项式与恒等（其中是常数），求的值； 【拓展】 （3）若关于的多项式与恒等（其中是常数），求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $