精品解析：安徽六安第一中学2026届高三第十次月考数学试卷

六安一中2026届高三年级第十次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合A的子集个数是（     ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可求出集合A的子集个数. 【详解】由题意，在中， ，解得， ∴， ∴集合A的子集个数是. 2. 在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由复数对应的点关于实轴对称，且，得， 所以 . 3. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直观图还原，然后去求即可. 【详解】由题意，在直观图中，与轴平行且，所以在还原图中，与轴平行且. 直观图中，与轴重合且，所以在还原图中，与轴重合且. 由题意可知，在还原图中，. . 4. 设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解. 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 5. 等比数列中，与的等差中项为，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项和等比数列的性质即可求解. 【详解】由于与的等差中项为17，所以 ， 又由于，可得， 因为数列是等比数列，是的等比中项，有， 所以 ，解得 ， 又因为 ，且公比为实数且不为0，所以 ， 因此，故C正确. 6. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A. B. C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，， ， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， . 7. 对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的零点，由定义确定函数零点所在的区间，再利用零点的意义分离参数并构造函数，利用导数参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 函数在R上单调递增，而， 因此函数有唯一零点2026，即， 由，得，解得， 则函数在上存在零点，令，由，得， 由，得，则，依题意，在上有解， 令函数，求导得，当时，； 当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减， ，而， 则函数在的值域为，所以的取值范围为. 8. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（    ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值. 【详解】对于式子变为 两边同乘，可得，即 ，化简为 ， 由正弦定理得，，即 移项得到：，因为，故，故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（    ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则事件A与B为互斥事件 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义可判断A；根据互斥事件的定义可判断B；由条件概率的公式可判断C；由，，结合题意可判断D. 【详解】对于A：由，故，则事件A、B互斥，不能得到事件A、B对立，故A错误； 对于B：若则事件A和B相互独立，而互斥事件的定义是，故B错误； 对于C：，，故C正确； 对于D：，， 若则，故D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的图象关于点中心对称 C. 若在上恰有三个零点，则 D. 若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的图像性质可判断A、B；根据正弦函数的单调区间，确定区间端点满足的不等式求解，可判断C；根据正弦函数平移的性质可判断D. 【详解】对于A，若，可得，当，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以A错误； 对于B，若，可得，则 ， 所以的图象关于点中心对称.所以B正确; 对于C，当，可得， 要使得函数在上恰有三个零点，则需要包含， 则满足 ，解得，所以C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后，可得， 要使得函数的图象关于轴对称，则满足 ， 解得，因为，所以的最小值为.所以D正确. 11. 某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A. 等额本息方案，每月还款金额为10196元 B. 等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C. 等额本金方案，所有的利息和为2430元 D. 等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于BC选项，根据等额本金的还款方案分析结合等差数列求和公式计算即可；对于A选项，等额本息的还款方案，结合等比数列的判定及求和公式计算；对于D选项，通过比较两种还款方案的利息进行判断. 【详解】对等额本金的还款方案，设每月的还款额为（万元）， 则，，…，， 所以B选项正确； 所还的利息总数为 （万元）， 所以C选项错误； 对等额本息的还款方案，设第个月的贷款利息为（万元），偿还本金为（万元）， 则，，，， 同理可得：，，…，. 所以是以为首项，为公比的等比数列， 其前12项的和为： ，解得. 所以每月的还款额为，故A选项正确； 所以等额本息的还款方案，所还利息总和为万元， 又等额本金的还款方案，所还的利息总数为万元， 因为，所以等额本息还款的利息多，故D正确. 综上所述，选项ABD正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用 平面向量三点共线的结论得到，利用基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】、、三点共线（该直线不过原点），且， ，， 当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值为. 13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义和余弦定理可构造方程，利用表示出的长度，再利用余弦定理构造关于的齐次式即可求得离心率. 【详解】 设，则， 由椭圆定义可知：，， 由余弦定理得：， 整理可得：，（舍）或， ，，， ，，即， 的离心率. 14. 已知球是正三棱锥的外接球， ，过点作球的截面，若截面面积为 ，则直线与该截面所成的角为________. 【答案】 【解析】 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为 ，，所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， 即与该截面所成角为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求出A角正弦值，最后根据A为钝角确定角A大小； （2）先用余弦定理求出a与b的关系，再结合周长条件解出b，最后代入面积公式得到结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为的面积为，所以， 即，所以， 因为为钝角，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，所以， 又， 所以，故. 16. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上的点，且是线段的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，进而得，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以. 在等腰梯形中，， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，故，故以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 则此梯形的高为. 因为， 则， 所以. 设平面的法向量为，则有，即， 取，则，，即. 则点到平面的距离. 17. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若对，有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在 上单调递增 ，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数的单调性; （2）求导可得时函数在上单调递增，将不等式化为恒成立，即对恒成立，令并求出其最小值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时， ，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在 上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在 上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. 【小问2详解】 当时，可得， 此时恒成立， 所以在上单调递增， 若对，有恒成立， 可得恒成立，且，即； 可等价于对恒成立， 令，则； 因为时，恒成立，因此在上单调递增， 所以即可满足题意， 因此实数m的取值范围为 18. 双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. （1）如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； （2）按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. （i）求证：数列为等比数列； （ii）求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设的方程为，根据题意得到，设，，则代入方程可得的等式，又，得到，从而得到的方程； （2）（i）求出，由得到，，，，从而得到得到直线，直线和双曲线联立方程组，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到，又点在直线上，将代入直线的方程，从而得到，通过计算得到数列是以为首项，以为公比的等比数列. （ii）由（i）得到数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式得到， 通过计算得到 . 【小问1详解】 设的方程为，因的右顶点旋转成的圆半径为， 上口圆的半径为，下口圆的半径为，则， 设，，则， 将代入方程可得，且， 解得，，故该双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （i），，直线， 因为，可得，，，， 直线，即， 联立方程组， 整理得， 则恒成立， 所以，即 ①， 又因为满足直线方程， 所以， 即②， 设， 由①②得，所以， 解得，当时，， ， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列. （ii）由（i）知 ③， 当时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ④， 由③减去④整理得到. 19. 设，集合（为向量），若，定义． （1）若，且，写出所有的； （2）若，且，设满足的的个数为，求的值； （3）从集合中任取两个不同的向量，记，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）设，，，根据定义列方程求，由此可得结论； （2）法一：根据定义，由条件可得，由二项式定理可得，由此可求结论； 法二：根据定义，由条件可得，结合组合数性质，分为奇数，为偶数两种情况结合裂项相消法分别求结论； （3）法一：根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可得结论； 法二：根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，由此可求结论. 【小问1详解】 设，，， 因为，， 所以，，所以， 若，则， 若，则，或，， 所以满足的为：． 【小问2详解】 法一：因为，， 则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1， 剩下个位置上的值为0， 即，由二项式定理，， 所以，因此． 法二：因为，， 则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1， 剩下个位置上的值为0，即． 由帕斯卡恒等式得：， 所以为奇数时， ． 为偶数时， ． 因此； 【小问3详解】 法一：若，则，，与为不相等的向量矛盾， 所以随机变量的可能取值有， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为. 首先计算： 设， 两边求导得，， 两边乘以后得， 令，得， 所以 所以. 下面计算： 因为， ， ， ， 因为， 所以，所以. 所以.. 法二：由题意可知，， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为， 令，因为， 可得 其中， 因为， 所以，，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2026届高三年级第十次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合A的子集个数是（     ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 无数个 2. 在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（     ） A. B. C. D. 3. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（     ） A. B. C. D. 4. 设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列中，与的等差中项为，若，则（     ） A. B. C. D. 6. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A. B. C. 7 D. 9 7. 对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则（    ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（    ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则事件A与B为互斥事件 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则在上单调递增 B. 若，则的图象关于点中心对称 C. 若在上恰有三个零点，则 D. 若将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为2 11. 某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率0.3％，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ）（参考：，，计算结果精确到元） A. 等额本息方案，每月还款金额为10196元 B. 等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C. 等额本金方案，所有的利息和为2430元 D. 等额本金方案比等额本息方案还款的利息少 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 13. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 14. 已知球是正三棱锥的外接球， ，过点作球的截面，若截面面积为 ，则直线与该截面所成的角为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． （1）求； （2）若的周长为，求的面积． 16. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上的点，且是线段的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 17. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若对，有恒成立，求实数m的取值范围. 18. 双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. （1）如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； （2）按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. （i）求证：数列为等比数列； （ii）求数列的通项公式. 19. 设，集合（为向量），若，定义． （1）若，且，写出所有的； （2）若，且，设满足的的个数为，求的值； （3）从集合中任取两个不同的向量，记，求X的分布列与数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $