精品解析：安徽六安市毛坦厂中学等校2026届高三下学期5月学业质量检测数学试题

2026庙高二5月学业质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，所以，所以， 所以. 2. 设复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，， 所以复数z的虚部是. 3. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】，， 4. 已知点，，O为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量夹角的条件结合充分性和必要性的定义即可判断. 【详解】由和的夹角为锐角得且 故“和的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件 5. 函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 6. 已知函数，先将图象向左平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将图象向左平移个单位，得到函数， 再将图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到， 由，得， 所以. 7. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当，可得，令，过作圆的切线，切点分别为，连接，求出，结合斜率的几何意义求解即可. 【详解】由题知,圆心，半径为 若，则； 若，则，令，则 过作圆的切线，切点分别为，连接， 由于,, 同理可得， 所以， 由于在上单调递减，在上单调递减， 则， 所以，综上， 8. 已知函数，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，令，（，），化简可得，令，利用导数得到函数单调性即可求解. 【详解】， 令，（，），则有 显然 又，所以 令，， 所以， 所以在单减，在单增， 所以时最小为4，所以的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（ ） A. B. mn的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是9 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 10. 如图所示，正方体的棱长为2，M为棱（不包括端点）上的动点，在M的运动过程中，下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 过、M、D三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 C. 当点M为中点时，过、M、D三点的平面把正方体分成两部分的体积之比为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用三棱锥的体积公式求解即可；对于B，过点M作交于点G，连接，可得截面为四边形 ，即可判定；对于C，由B选项可得当点M为中点时，为的中点，可得为三棱台。利用台体的体积公式求解即可.对于D，将平面沿展开到与同一个平面，所以的最小值为. 【详解】对于A选项，，故A选项错误； 对于B选项，过点M作交于点G，连接，则截面为四边形 ，因为，， 所以 ，且与不相等，由于,则 ，则四边形为等腰梯形，故B选项正确； 对于C选项，由B选项可得当点M为中点时，为的中点， 则立体图形为三棱台 所以，，，故C选项正确； 对于D选项，如图，将平面沿展开到与同一个平面， 连接,所以的最小值为，,故D正确. 11. 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为AB的中点，下列选项正确的是（ ） A. 当直线l斜率为1时， B. 直线l斜率可能为2 C. 若直线l斜率不为0，则M点轨迹是一条直线 D. 当时，符合条件的直线l有且仅有两条 【答案】AD 【解析】 【详解】设，，，， 因为，所以 因为，所以，即， 对于A选项，由知；又 ，得 ， 所以，所以，此时直线过抛物线焦点， 故，所以A选项正确； 对于B选项，由知；又 ，得 ，所以， 所以不在抛物线开口内，它不可能是AB中点，故B选项错误； 对于C选项，当时，由 得 ， 所以，所以点M在直线上； 但M是AB中点，那么M必须在抛物线开口内，所以M的轨迹不可能是一条直线；故C选项错误； 对于D选项，当时由C选项知，又，得， 此时，与条件矛盾（舍去）； 当时，显然有2条直线满足题意；故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为160，则它展开式的第5项为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知的展开式的常数项为，则，所以展开式的第5项为． 13. 已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则 有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 14. 如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，利用等体积法可知：，分别计算出该几何体的体积以及表面积即可求解. 【详解】取的中心O，连接DO，EO，则DO，EO即分别为两个正三棱锥的高，易知D，O，E三点共线，连接AO，延长后与BC相交于点M，则为中点， ， ，， ，，， 该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，其半径为， 由题意可得：， 又， 则， 由等体积法可知：，所以可得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 15. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 （1）求角B； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合商数关系化简以及和角公式可得，分和两种情况讨论即可求解； (2)结合(1)可得,分别求出,利用求出，结合正弦定理和面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知： ， 化简可知： ， 得， ①时，，又，则，A为锐角，不符合题意； ②，此时可得（B为锐角），此时符合题意． 综上， 【小问2详解】 ， 可得，， ， ，， ． 16. 如图，矩形ABCD中，，，将沿矩形对角线BD翻折至，使得点S在底面BCD内的投影点O在CD上，M为BS中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知可得，进而可证得平面，进而可证平面，从而可证结论； （2）法一：延长CM，在平面SBC内，过S作CM的垂线，垂足为H，连接HD，可得为所求二面角的平面角，求解即可.法二：建立空间直角坐标系，求得平面CDM的法向量为，可得平面SBC的法向量为，进而利用向量法可求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 平面，又平面， ，又，且，平面， 平面，平面， ，又 ，且，平面， 平面，平面， . 【小问2详解】 法一：延长CM，在平面SBC内，过S作CM的垂线，垂足为H，连接HD． 由（1）可知，又 ，且平面SHD， 平面SHD，平面SHD，， ，又CM为二面角的棱， 平面SMC，平面CDM， 为所求二面角的平面角 平面SCD，， ， 又M为SB的中点，可得， ， ，， 法二：如图，以O为坐标原点，OS所在直线为z轴，OC所在直线为x轴，在平面BCD内，以过O且垂直于CD的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 计算可得：，，， 则，，，，， 由题意可知，平面SBC的法向量为， 设平面CDM的法向量为， ，， ，得，令，则， . 二面角的平面角显然为锐角， 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． （1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值 【解析】 【分析】（1）由题意计算可得，结合椭圆的性质可求离心率； （2）由题意求得椭圆C的方程，设直线MN的方程为：，，，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，求得，，利用，计算求解即可. 【小问1详解】 将代入椭圆可得，， 又为正三角形，，即，则可得， 又， ． 离心率，，（舍去）. 【小问2详解】 由题意可知：，结合（1）可得，，则椭圆。 由题意可知，符合条件的直线MN的斜率必存在， 设直线MN的方程为：，，， 联立椭圆和直线方程：，消去y可得， 直线和椭圆必有交点，则， ，， ，ND的斜率是互为相反数， ． 又，， ， 化简可得， 即 因式分解，则可得或 ， 当 时，所以， 所以直线MN经过点，故不符合题意. 则直线MN的斜率为定值． 18. 强健的体魄是高效学习的保障．为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种： 方式一：随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，该同学停止投篮，由另一位同学投篮；若后投篮的同学也出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，游戏结束．游戏中累计投中次数多的同学获胜，若两人投中次数一致，则为平局． 方式二：每次由其中一人投篮，规则如下：若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮．由掷质地均匀的硬币决定第1次投篮的人选. 已知甲同学每次投篮的命中率为，乙同学每次投篮的命中率为，且每位同学每次投篮是否命中相互独立． （1）选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）选择方式二时， （ⅰ）两人约定先累计投中2次者获胜，游戏结束．在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过4次，求此过程中甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）若二人一直进行投篮，记第n次是甲投篮的概率为，前n次投篮中甲的投篮次数为Y，求和． （参考知识：若随机变量服从两点分布，且，，则．） 【答案】（1）分布列见解析， （2）（ⅰ）； （ⅱ），. 【解析】 【分析】（1）由已知得投篮次数的可能取值为2，3，4，5，求得分布列，进而可求得期望； （2）（ⅰ）设甲投中为事件，乙投中为事件，利用独立事件概率乘法公式与互斥事件概率加法公式计算即可求得甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）第次投篮的是甲的概率为，第次投篮是甲的概率为，进而可得，构造等比数列求解即可． 【小问1详解】 结束投篮时甲的投篮次数X的可能取值为2，3，4，5， ，， ， ， 2 3 4 5 P 【小问2详解】 （ⅰ）设甲投篮投中为事件，乙投中为事件， 投篮2次游戏结束的情况有： 投篮3次游戏结束的情况有：， 投篮4次游戏结束的情况有：，，， ， ， 则此过程中甲只进行了2次投篮的概率为， （ii）由题意可知，第n次投篮的是甲的概率为，第次投篮是甲的概率为， 第次投篮是乙的概率为，则一定满足， 即 则可构造如下关系： 可得： 若记第i次投篮甲投的次数为，不难发现甲投 ，乙投 ，则服从两点分布， 则， ，又 则 19. 已知函数 （1）若有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导数，将问题转化为导函数有两个变号零点即可求解； （2）按照和分类讨论，当时，参变分离，构造函数，利用导数研究的最大值即可求解； （3）由（2）可知，恒成立，即恒成立，取， 可得，化简可得，利用累加法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：，令， 的解为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 有两个极值，且，，，， ，，经检验符合题意； 【小问2详解】 在时恒成立，即恒成立， 当时, ，此时，符合题意， 当时，转化为恒成立， 设，则 则， 设，，， 当时，，为增函数， ，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，综上， 又，且，则； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，当必有恒成立， 即恒成立，取， 可得， 两边同时乘以n，可得， 则必有， … ， ， 累加可得，① 再取，可得，则必有 ， ， … ，， 累加可得，② ①②可得，证毕． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026庙高二5月学业质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知点，，O为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，先将图象向左平移个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（ ） A. B. mn的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是9 10. 如图所示，正方体的棱长为2，M为棱（不包括端点）上的动点，在M的运动过程中，下列选项正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 过、M、D三点的平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 C. 当点M为中点时，过、M、D三点的平面把正方体分成两部分的体积之比为 D. 的最小值为 11. 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点，且M为AB的中点，下列选项正确的是（ ） A. 当直线l斜率为1时， B. 直线l斜率可能为2 C. 若直线l斜率不为0，则M点轨迹是一条直线 D. 当时，符合条件的直线l有且仅有两条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为160，则它展开式的第5项为________． 13. 已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 14. 如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步骤. 15. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 （1）求角B； （2）若，，求的面积． 16. 如图，矩形ABCD中，，，将沿矩形对角线BD翻折至，使得点S在底面BCD内的投影点O在CD上，M为BS中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． （1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 18. 强健的体魄是高效学习的保障．为增强体魄、放松身心，甲、乙两位同学周末相约在小区篮球场进行投篮游戏，游戏的方式有两种： 方式一：随机决定谁先投篮，若先投篮的同学出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，该同学停止投篮，由另一位同学投篮；若后投篮的同学也出现连续2次未投中或投篮次数达到5次，游戏结束．游戏中累计投中次数多的同学获胜，若两人投中次数一致，则为平局． 方式二：每次由其中一人投篮，规则如下：若投中则此人继续投篮，若未投中则换对方投篮．由掷质地均匀的硬币决定第1次投篮的人选. 已知甲同学每次投篮的命中率为，乙同学每次投篮的命中率为，且每位同学每次投篮是否命中相互独立． （1）选择方式一时，记甲在游戏中的投篮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）选择方式二时， （ⅰ）两人约定先累计投中2次者获胜，游戏结束．在游戏结束时，两人合计投篮次数不超过4次，求此过程中甲只进行了2次投篮的概率； （ⅱ）若二人一直进行投篮，记第n次是甲投篮的概率为，前n次投篮中甲的投篮次数为Y，求和． （参考知识：若随机变量服从两点分布，且，，则．） 19. 已知函数 （1）若有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $