12.4定理（第一课时）教案 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

该教案聚焦三角形内角和定理及推论，从小学测量、拼图旧知切入，指出直观方法的不足，引出证明必要性，搭建从直观认知到逻辑证明的学习支架。 以推理能力培养为核心，通过分析命题条件结论、探究多种辅助线证法，发展几何直观，如“移角”转化思想。规范文字与符号语言表达，例2逆命题证明强化逻辑思维，助力学生提升推理与表达能力，为教师提供清晰教学逻辑。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 春季 课题 12.4定理（1） 教学目标 经历三角形内角和定理的探究过程，了解定理与推论的意义与作用，进一步掌握证明的基本形式与规则，感悟转化的思想，发展学生的空间观念、推理能力和有条理的表达能力. 教学重难点 教学重点：理解定理与推理的意义与作用；证明三角形内（外）角和定理；理解定理与推论之间的逻辑关系. 教学难点：理解定理与推论之间的逻辑关系；熟练掌握证明的形式与规则. 教学过程 1、 创设情境，提出问题 在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时我们用什么办法来说明这一结论的呢？ 我们可以用量角器测量，或者借助纸片把角剪下来再拼在一起.但是测量是有误差的，直观判断也不可靠，因此，我们有必要来证明这个命题. 那我们该如何来证明这个命题的正确性呢？ 2、 研究问题，形成新知 证明：三角形三个内角的和等于180°. 回顾命题证明的步骤，提出问题. 问题1：（1）这个命题的条件是什么？结论是什么？ （2）根据命题的条件怎么画图形？ （3） 结合图形，怎么写已知、求证？ 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 问题2：从“拼图”的过程中，你能发现证明的思路吗？ 证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A =∠1，(两直线平行，内错角相等) ∠B =∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1 +∠2 +∠ACB= 180°， (平角的定义) ∴ ∠A +∠B +∠ACB = 180°.（等量代换） 问题3：你还有其他的方法吗？ 证明：过点C作DE∥BA， ∴ ∠A =∠1，(两直线平行，内错角相等) ∠B =∠2. (两直线平行，内错角相等) 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， (平角的定义) ∴ ∠A +∠B +∠ACB = 180°.（等量代换） 证明：过点C作CE∥BA， ∴ ∠A =∠1，(两直线平行，内错角相等) ∠B +∠BCE= 180°. (两直线平行，同旁内角互补) 又∴ ∠BCE=∠ACB +∠1 , ∴∠B +∠ACB +∠A = 180°.（等量代换） 小结：同一个命题的证明方法往往可以不止一种. 追问：多种方法证明的核心是什么？ 借助“平行线”的“移角” 功能 既然“三角形内角和等于180°”已证明，所以我们今后使用就有底气了.我们把这个命题称为三角形内角和定理． 文字语言：三角形三个内角的和等于180°； 符号语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem). 作用：定理可以作为证明后续命题的依据. 三、利用新知、解决问题 例1 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD＝∠A＋∠B. 证明：∵∠ACD ＋∠ACB＝180° (平角的定义)， ∠A＋∠B＋∠ACB＝180° (三角形内角和定理)， ∴∠ACD＝180°－∠ACB， ∠A＋∠B＝180°－∠ACB (等式性质). ∴∠ACD＝∠A＋∠B (等量代换). 除此之外，你还有其他证明方法吗？ 方法2：过点C作 CE∥BA， ∴∠A＝∠ACE (两直线平行，内错角相等)， ∠B＝∠DCE (两直线平行，同位角相等)， ∵∠ACD ＝∠ACE＋∠DCE (已知)， ∴∠ACD ＝∠A＋∠B (等量代换). 由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 三角形内角和定理的推论： 文字语言：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 符号语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A＋∠B. 作用：推论和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 例2 （1）如图，△ABC是直角三角形，其中∠C＝90°.那么两个锐角有怎样的数量关系呢？ 解：∵∠A＋∠B ＋∠C ＝180° (三角形内角和定理) ∠C＝90° (已知)， ∴∠A＋∠B＋90°＝180° ∴∠A＋∠B＝180°－90°＝90° (等式性质). 两个角相加等于90° ，我们可以说成两角互余. 用文字语言来叙述：直角三角形两锐角互余. （2）写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明. 解：逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”.这个逆命题是真命题. 已知：如图，△ABC中，∠A与∠B互余 . 求证：△ABC是直角三角形. 证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠C＝180 °－(∠A＋∠B) (等式性质). ∵∠A与∠B互余(已知)， ∴ ∠A＋∠B＝90 ° (互余的定义). ∴∠C＝180 °－90 °＝90 ° (等量代换). ∴△ABC是直角三角形 (直角三角形的定义). 四、课堂小结、反思提升 通过本节课的学习，你有哪些收获？你对这些知识有什么新的认识？ 学科网（北京）股份有限公司 $