专题02 平面向量数量积（7大考点期末真题汇编，辽宁专用）高一数学下学期人教B版

**基本信息** 平面向量数量积专题汇编，涵盖定义、模长、夹角等7大高频考点，精选辽宁多地期末真题，题型多样，注重基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选|22题|模长问题（如已知向量模与数量积求最值）、夹角问题（如单位向量夹角余弦值计算）|基础题为主，覆盖核心概念| |填空|10题|投影向量（如坐标法求投影向量）、四心（如外心性质应用）|注重细节辨析，强化易错点| |多选|3题|向量垂直与夹角（如单位向量垂直条件判断）|多角度考查，培养批判性思维| |解答题|6题|建系法（如平行四边形中向量数量积计算）、三角函数交汇（如向量伴生函数与方程根问题）|综合应用，对接高考命题趋势|

专题02 平面向量数量积 7大高频考点概览 考点01平面向量数量积定义 考点02平面向量数量积模长问题 考点03平面向量数量积夹角与垂直问题 考点04平面向量数量积投影、投影向量问题 考点05平面向量数量积建系法/基底法 考点06四心 考点07平面向量与三角函数交汇 地 城 考点01 平面向量数量积 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)在边长为的正三角形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积定义直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 2．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得； 【详解】解：根据正六边形的几何性质，可知，，，． ，，， ．比较可知A正确． 故选：A 二、填空题 3．（24-25高一下·辽宁省重点高中联合体·期末）已知边长为4的菱形的一个内角为，则_____． 【答案】或 【分析】由平面向量数量积的定义即可求解． 【详解】由题可知，或， 若，则， 若，则， 故答案为：或． 地 城 考点02 平面向量数量积模长问题 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末)已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 2．(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的点到射线距离最小值求解. 【详解】由是单位向量，，得，即， 作向量，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，作向量，， 过作射线的垂线，垂足为， 所以. 故选：D 二、填空题 3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知向量与的夹角为，则__________. 【答案】1 【分析】根据向量的数量积和模长的运算即可得出结果. 【详解】∵， ∴ ， 整理得，解得（舍）， 故答案为：1. 4．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】利用向量的数量积的定义，求得，再根据，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 地 城 考点03 平面向量数量积夹角与垂直问题 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)已知向量，，若与垂直，则（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数，然后由模的坐标表示计算． 【详解】因为向量，，所以， 因为与垂直，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 2．(24-25高一下·辽宁重点高中联合体·期末)已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解. 【详解】依题意，. 故选：C 3．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期末)已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以，，， 所以， 又，所以. 故选：D 4．(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)已知两个单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律进行运算. 【详解】因为均为单位向量，所以. 由 . 即 . 所以. 故选：A 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量夹角的公式求解即可，注意向量夹角的取值范围. 【详解】因为点、点，所以 ， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为. 故选：B. 6．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可得，利用向量的坐标运算可得，求解即可. 【详解】由题意可知.因为，， 所以，整理得，解得或. 故选：A. 二、多选题 7．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)（多选）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由，所以，再平方可得，再逐项验证即可. 【详解】因为，所以， 即， 所以，故A正确； 又，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知向量与垂直，则实数的值为_____. 【答案】1 【分析】根据向量垂直的坐标公式计算即可. 【详解】由可得：. 故答案为：1 9．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)已知向量，若，则的值为_________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积表示计算即可. 【详解】由题得，， 由，得，即， 所以，解得. 故答案为：. 10．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦为________． 【答案】/ 【分析】根据向量数量积的运算律化简可得，即可由夹角公式求解. 【详解】由可得， 故，解得， 故， 故答案为： 11．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 四、解答题 12．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知向量． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解即可； （2）利用坐标表示向量的数量积及向量夹角公式得解. 【详解】（1）由题意，设， 因为，所以，所以， 所以或． （2）因为， 所以，所以， 即， 设与的夹角为，则， 又，所以，所以与的夹角． 13．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）已知是夹角为的两个单位向量，. (1)求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义可得，结合数量积的运算律计算即可求解； （2）根据数量积的运算律计算求出，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以； （2）由题意得，， ， 由（1）知，所以， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 地 城 考点04 平面向量数量积投影、投影向量问题 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 2．(24-25高一下·辽宁锦州·期末)已知，，则向量在上的投影的数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，， 则向量在向量上的投影的数量为. 故选：A 3．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)已知向量在上的投影的数量为，且，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】直接根据投影公式进行求解即可. 【详解】由题意得，所以. 故选：B 4．(24-25高一下·辽宁名校联盟·期末)已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的共线求得的值，结合与方向相反确定，根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】由题意知向量，共线， 故，解得或， 又因为与方向相反，故，所以，又， 则在方向上的投影向量是， 即在方方向上的投影向量的坐标是， 故选：D. 5．(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求，最后根据投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意有，所以向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 6．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期末)已知，，在上的投影向量为，记向量与的夹角为，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由投影向量的定义算出，再根据算出和，然后再利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系即可算出的值. 【详解】由题意，，则在上的投影向量： ， 所以，则， 那么, 又， 由此. 故选：A 二、多选题 7．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）（多选）已知向量，．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为锐角，则 D．若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】A选项，根据平行关系得到方程，求出；B选项，根据垂直关系得到方程，求出；C选项，根据夹角为锐角，得到且与不同向共线，得到不等式，求出答案；D选项，利用投影向量的求解公式求出答案. 【详解】A选项，，解得，A错误； B选项，，故，解得，B正确； C选项，向量与的夹角为锐角，故且与不同向共线， 故且，解得且，C错误； D选项，若，则向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：BD 地 城 考点05 平面向量数量积建系法/基底法 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期末)在平行四边形中，，，，为的中点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性关系结合平面向量数量积的运算律计算求解. 【详解】平行四边形中，，，， 为的中点，则. 故选：B. 2．（24-25高一下·辽宁鞍山台安县·期末）在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为且点是的中点， 所以， 又， 所以 . 故选：B 3．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】由题意可得，结合向量的运算律及数量积定义求解即可. 【详解】解：由题意可得，      所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥与展开图的关系，求对应的圆心角，再转化向量，求向量的数量积. 【详解】如图，连结， 圆锥底面圆的周长为，母线为3，所以扇形展开图的圆心角为， 则，， ， . 故选：D 5．(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】建立坐标系，利用向量数量积的坐标表示，再确定其最大值. 【详解】如图： 以为原点，建立平面直角坐标系，则，， 设，则，，. 所以，. 所以，因为，， 所以，当或，时取等号. 故选：D 二、填空题 6．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围______． 【答案】 【分析】设，可得,，以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,然后求出的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解. 【详解】设, 则，. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 则，, 所以. 令，，则，. 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以在上的值域为， 所以. 故答案为：. 地 城 考点06 四心 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁名校联盟·期末)在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以， 所以，所以，同理可得，， 故点P是的垂心. 故选：B. 二、填空题 2．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末)已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的______心． 【答案】重 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则， 取的中点为，如下图：    可得，所以动点必定在的中线所在直线上， 即点的轨迹一定通过的重心. 故答案为：重. 3．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)已知锐角△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，O是三角形ABC的外心，若，则实数m的最大值为________． 【答案】/ 【分析】首先利用数量积公式以及外心的条件，对所给的式子进行化简得到，再结合正弦定理得到，，再消去得到，最后利用不等式即可求得. 【详解】如图所示：设，，由题意可得：， 由是的外心可得，是三边中垂线的交点，则，， 代入上式得：，即，为外接圆半径， 根据正弦定理可得：，，，代入 得：，又，则，， 因为为锐角三角形，所以，，由余弦定理可知：， 所以，当且仅当即时取得最大值. 故答案为：. 三、解答题 4．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期末)已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得，然后由数量积几何意义可得答案； （2）设三角形外接圆半径为R，用两种办法表示，可得，及，据此可完成证明. 【详解】（1）， 由数量积几何意义可得：， 同理得. 则 ； （2）证明：设三角形外接圆半径为R， ，. 因，所以. 同理，所以， 又，，. 则. 故  ① ∵点O为三角形ABC的外心，， ，， 同理，. 则. 代入上式①中，结合，可得： ， 所以，原命题得证 地 城 考点07 平面向量与三角函数交汇 一、多选题 1．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)（多选）如图，正方形的所有顶点都在坐标轴上，中心为坐标原点，，角以为顶点，轴的非负半轴为始边，终边交正方形的边于点，将角的终边逆时针旋转后，交正方形的边于点.记函数，则（    ）    A． B．的最小正周期是 C．为偶函数 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】由得，当角为第一象限角时得，，进而得，又由得，进而得，逐项验证即可求解. 【详解】由题得，所以① ，当角为第一象限角时，②，③，联立①②③可得，所以， 同理当角分别为第二、三、四象限角和轴线角时，均可得，所以， 又，所以，，所以， 所以，故A正确；，故B错误；因为，所以为偶函数，故C正确； ，因为，所以，故D正确， 故选：ACD. 二、解答题 2．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期末)已知，，函数． (1)求函数的单调减区间； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标运算，利用降幂及辅助角公式化简，整体法求单调区间即可； （2）由可得，根据同角三角函数求值问题可求，接着求、的值，最后再利用正弦和角公式求值即可. 【详解】（1） 由，，解得，（）， 所以函数的单调减区间为（） （2）由，得，又， 所以，所以． 所以， ， 所以 ． 3．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点共线，点O不在直线AB上，满足. (1)求的值； (2)，，，，若的最小值为，求的最大值. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）根据给定条件，利用平面向量基本定理推理计算作答. （2）利用向量数量积的坐标表示求出函数，再借助二次函数在闭区间上的最值求出即可求解作答. 【详解】（1）因，，三点共线，即，则有， 依题意，不共线，而，于是得，解得， 所以的值是. （2）因，，由（1）知，，， ，而， 当时，，有， 当时，，有， 当时，，有， 所以的最大值是1. 4．(24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．    (1)若函数的“源向量”为，且以O为圆心，为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值； (2)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； (3)已知向量为函数的“源向量”，在时的取值为．设P是△ABC外心，若，且，求实数λ的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一，根据所给定义，先找到的“源向量”，再结合正三角形的性质得到，，根据向量的减法转化，再根据向量数量积的运算法则计算即可求出定值；法二，先求出四点的坐标，再得到的向量坐标，再根据坐标分别计算出，再求和即可求出定值； （2）先求出伴生函数，将，转化成在上有且仅有四个不相等的实数根，然后根据在上的正负去掉绝对值符号，将写成分段函数的形式，并将其化简，作出其图象，数形结合即可求出实数k的取值范围； （3）法一，先求出角，设P是△ABC外心，可得 ，设，，则，，利用向量的减法转化中的，再将其两边同时乘以，再利用向量的数量积，二倍角及和差角公式变形化简即可求出；法二，将的两边同时乘以，利用向量的数量积及正弦定理将其转化为，再化简求值即可. 【详解】（1）法一：因为函数， 所以其“源向量”，显然， 即M轨迹为单位圆， 由正三角形的性质可知，， 所以 ， 是定值； 法二：由题意可知，，，， 所以，，， 所以， ， 所以，是定值； （2）因为向量为函数的“源向量”，所以， 则方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 所以在上有且仅有四个不相等的实数根， 令，， ①当时， ； ②当时，， 所以. 其图象为：    结合，，， 故当在上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为； （3）法一：由题意得，，则， 在三角形ABC中，，因此， 因为设P是△ABC外心，所以， ，， 设，，则，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，因为， 所以． 法二：由 可得， 由向量的数量积公式可得， 即， 由正弦定理可得， 即， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 目目 考点01 一、单选题 1.C 2.A 二、填空题 3.8或-8. 目目 考点02 一、单选题 1.D 2.D 二、填空题 3.1 4.万 目目 考点03 一、单选题 1.C. 2.C 3.D 4.A B. 5. 6.A 二、多选题 7.ACD 三、填空题 8.1 9. 11. 10.-支 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 平面向量数量积 平面向量数量积 平面向量数量积模长问题 平面向量数量积夹角与垂直问题 1/8 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.器 四、解答题 12.【详解】(1)由题意，设6=入a=(几，1)， 因为=22，所以2+2=2V2,所以7=±2， 所以6=(2,2)或6=(-2，-2). (2)因为(5-25)1(a+6), 所以(5-26)（有+)=0，所以52+3a.6-26=0: 即10+3a.6-2×8=0, 设5元的夹角为0、则e0s9-最=万=生， 2 又6E[0,π]，所以日=号，所以a与6的夹角号 13.【详解】(1)由题意知，·E2=|川cos受=0， 所以a·6=(3日-2)(2可-3=6-13间可+62=12 (2)由题意得，=V3可-2=92-12河可+42=3， |a-=+=+-2+2+=V反， 由(1)知.6=12，所以a:(-=2-·6=13-12=1, 所以cos(豆，a-)= 春) 铺- 即与-的夹角的余弦值为受 目目 考点04 平面向量数量积投影、投影向量问题 一、单选题 1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.A 2/8 耐学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 7.BD 目目 考点05 平面向量数量积建系法/基底法 一、单选题 1.B 2.B 3.D 4.D 5.D 二、填空题 6.[8v2-8,4] 目目、 考点06 四心 一、单选题 1.B 二、填空题 2.重 3./0.75 三、解答题 4.【详解】(1)A成.Aò=(A+AC)·Aò=(A.Aò+AC.Aò)， 由数量积L有意文可得：ABA0=出o∠BA0=B=AB2, 12 同理得ACAò=AC2 则A应A0=A2+Ac2=主×(52+72)=要， (2)证明：设三角形ABC外接圆半径为R, Spn=支AP·A0·sin∠PA0,S△4B0=AB·A0·sin∠BA0 因sin∠PA0=sin∠BA0,所以S△APo=器·S△ABo 同理SAAQ0=架·SA0AC,所以SAPQ=器·SA0AB+架·SAOAC, 3/8 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 又：S△4PQ=AP:AQ·sin∠PAQ,S△4Bc=iAB·AC·sin∠BAC,∠PAQ=∠BAC. 则SAr 是→SAF9=-是SAaC APAO 器·S20aB+是·Sa0ac=器，8 SABG 故6·S△OAB十器·SOAC=SAABC① :点O为三角形ABC的外心，·∠A0B=2∠ACB=2C,∠A0C=2∠ABC=2B, ∠B0C=2∠BAC=2A,:S△40B=支0A·0B·sin∠A0B=专R3sin2C, 同理S△4oc=专R2sin2B,S△Boc=号R2sin2A 则S△4Bc=专R2(sin2A+sin2B+sin2C). 代入上式①中，结合S△4os=号R2sin2C,S△40c=号R2sin2B可得： ·Rsin2C+·R2sin2B=S△ABc=R2(sin2A+sin2B+sin2C), 所以5·sin2C+器·sim2B=sin2A+sin2B+sin2C,原命题得证 B M 目目 考点07 平面向量与三角函数交汇 一、多选题 1.ACD 二、解答题 2.【详解】(1)f(x)=sin2x-cos2x+2V3 sinxcosx=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-晋)） 由2kT+罗≤2x-晋≤2kT+要，kEZ,解得km+胃≤x≤km+晋，(k∈Z), 所以函数f(x)的单调减区间为[kπ+哥，kT+要](k∈Z) (2)r(倍+)=-29，得sin(a+)=-与，又写<a<等， 4/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以号<+晋<受，所以cos(a+若)=-V-sin(a+)--5 所以sin(2a+号)=2sin(a+)cos(a+号)=29， cos(2a+号)=2cos2(a+晋)-1=青， 所以f(晋+a)=2sin(2&+晋)=2sin[(2&+号)-] =2(9.9-青)= 3.【详解】(1)因A,B,C三点共线，即AC=uAB,则有OC=(1-)0A+uOB,u∈R, 依题意，0A0B不共线，而0C=青0A+入0B,于是得1-u=言u=入，解得入=号， 所以入的值是美 (2)因A(1,cosx),B(1+cosx,cosx),由(1)知，0C=(1+cosx,cosx),x∈[0，]， fs)=1+号cosx+cos2x-(2m+3)cosx=(cosx-m2+1-m2,而0≤cosx≤1， 当m≤0时，cosx=0,有gm=f8mn=1, 当0<m<1时，cosx=m,有叫=xmn=1-m2e(0,小， 当m≥1时，cosx=1,有gm=〔xm=2-2m≤0， 1,m≤0 所以8(m)》 1-m2,0<m<1的最大值是1 2-2m,m21 4.【详解】(1)法一：因为函数g(x)=sin(x+c=cosasinx+sinacosx, 所以其“源向量0M=(cos%,sinc),显然0M=Vcos2a+sin2a=1, 即M轨迹为单位圆， 由正三角形的性质可知OA=2=O=O心，0A+0方+O元=0， 所以MA2+MB2+MC2=(OA-0+(O-od)'+(O元-02 =0A2+022+0d+30iM2-20m.(可A+08+00)=12+3=15, 是定值； 法二：由题意可知M(cossina),A-5,-1),B(5,-1,C0,2), iMA=(-V3-cosa,-1-sina).MB=(V3-cosa,-1-sina),MC=(-cosa.2-sina) 5/8 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以MA2=3+2W3cosa+cos2a+1+2sinc+sin2a, MB2-3-2/3 cosa+cos2a+1+2sina+sin a. MC2=cos+4-4cosa+sin"a 所以MA2+MB2+MC2=15,是定值： (2)因为向量OA=(2,0)为函数g(x)的“源向量”，所以h(x)=2sinx, 则方程2sinx=k+1一2W3cosx在[0,2m]上有且仅有四个不相等的实数根， 所以k=2sinx+2V3cosX-1在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根， 令x)=2sinx+2V5cos-1,x∈[0,2m, ①当xe[0,]U[变，2π]时， 1(x)=2sinx+25cosx-1=4sin(x+号)-1： ②当xe(罗，要)时，1(8)=2sinx-2V3cosx-1=4sin(x-号)-1， 青a4cia3a时 4sin(x-)-1,xe(罗，变) 其图象为： v=k NB 2π y=l(x) 结合A0,23-1,B(,1),c2m25-1: 故当k=2sinx+2V5cosX-1在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为1,23-U(2V3-1,3): (3)法-：由题意得，P=c05x,则cost=号， 6/8 耐学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在三角形C中，cosA=付=cast=号，医此A=手， 因为设P是△ABC外心， 所以pA=P=P=r, ∠APB=2∠ACB,∠APC=2∠ABC, 设∠ABC=,∠ACB=B,则∠APB=23,∠APC=2, 因为影·A店+影e·AC=A, 所以器·(-A+器元-PA=正， 所以"器·（店-PApA+器（元-PA·PA=a.PA, 所以器pa+器.p心.a-.a+器paa+器apa 所以器cAP8+器r2eos∠APC=-1r2+器r2+器r2, 所以器c028+器c0s2x=-1+器+器， 所以器(cos26-1+器(cos2a-1)=-入， 所以盟器(1-2sin2B-1)+0器(1-2sim2a-1)=-1, 所以2(cosasin3+cosBsina)=, 所以2sin(au+B)=λ， 又sin(x+β)=sin(∠ABC+∠ACB)=sin∠BAC,因为∠BAC=, 所以n=2sin号=V2. 法二：由器·A店+器·AC=A 可得器+器·C应=， 由向量的数量积公式可得器·c2+器·b·c.cosA=c2, 即品器·c+品器b·cosA-入c, 由正弦定理可得cosB+cosC·cosA=λsinC, 即号=8+0Ce04=-oCeo8ce0￥=5 所以，=V2 718 耐学科网 www.zxxk.com 8/8 让教与学更高效 专题02 平面向量数量积 7大高频考点概览 考点01平面向量数量积定义 考点02平面向量数量积模长问题 考点03平面向量数量积夹角与垂直问题 考点04平面向量数量积投影、投影向量问题 考点05平面向量数量积建系法/基底法 考点06四心 考点07平面向量与三角函数交汇 地 城 考点01 平面向量数量积 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)在边长为的正三角形中，（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）如图所示，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一下·辽宁省重点高中联合体·期末）已知边长为4的菱形的一个内角为，则_____． 地 城 考点02 平面向量数量积模长问题 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末)已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 二、填空题 3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知向量与的夹角为，则__________. 4．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）已知向量的夹角为，则__________. 地 城 考点03 平面向量数量积夹角与垂直问题 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)已知向量，，若与垂直，则（   ） A．3 B． C．5 D． 2．(24-25高一下·辽宁重点高中联合体·期末)已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期末)已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)已知两个单位向量满足，则夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 二、多选题 7．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)（多选）已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知向量与垂直，则实数的值为_____. 9．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)已知向量，若，则的值为_________. 10．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦为________． 11．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 四、解答题 12．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）已知向量． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 13．（24-25高一下·辽宁抚顺六校协作体·期末）已知是夹角为的两个单位向量，. (1)求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 地 城 考点04 平面向量数量积投影、投影向量问题 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·辽宁锦州·期末)已知，，则向量在上的投影的数量为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)已知向量在上的投影的数量为，且，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 4．(24-25高一下·辽宁名校联盟·期末)已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期末)已知，，在上的投影向量为，记向量与的夹角为，则的值为（   ）. A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）（多选）已知向量，．下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为锐角，则 D．若，则向量在向量上的投影向量为 地 城 考点05 平面向量数量积建系法/基底法 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期末)在平行四边形中，，，，为的中点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25高一下·辽宁鞍山台安县·期末）在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·辽宁丹东·期末)在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 4．（24-25高一下·辽宁省鞍山市·期末）如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·辽宁辽阳·期末)在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 二、填空题 6．（24-25高一下·辽宁省沈阳市五校协作体·期末）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围______． 地 城 考点06 四心 一、单选题 1．(24-25高一下·辽宁名校联盟·期末)在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 二、填空题 2．(24-25高一下·辽宁朝阳凌源·期末)已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的______心． 3．(24-25高一下·辽宁重点中学协作校·期末)已知锐角△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，O是三角形ABC的外心，若，则实数m的最大值为________． 三、解答题 4．(24-25高一下·辽宁大连第二十四中学·期末)已知平面内一三角形，点为其外心. (1)点为边的中点，，，求的值； (2)若过点的直线分别交边、于点，证明：. 地 城 考点07 平面向量与三角函数交汇 一、多选题 1．(24-25高一下·辽宁县域重点高中·期末)（多选）如图，正方形的所有顶点都在坐标轴上，中心为坐标原点，，角以为顶点，轴的非负半轴为始边，终边交正方形的边于点，将角的终边逆时针旋转后，交正方形的边于点.记函数，则（    ）    A． B．的最小正周期是 C．为偶函数 D．的值域为 二、解答题 2．(24-25高一下·辽宁大连第八中学·期末)已知，，函数． (1)求函数的单调减区间； (2)若，且，求的值． 3．（24-25高一下·辽宁沈文新高考研究联盟·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点共线，点O不在直线AB上，满足. (1)求的值； (2)，，，，若的最小值为，求的最大值. 4．(24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．    (1)若函数的“源向量”为，且以O为圆心，为半径的圆内切于正△ABC（顶点C恰好在y轴的正半轴上），求证：为定值； (2)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； (3)已知向量为函数的“源向量”，在时的取值为．设P是△ABC外心，若，且，求实数λ的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $