辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024——2025学年度下学期期末考试高一年级数学科试卷 命题人：郐绍洋 校对人：何建璋 孙晨曦 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如图，三棱柱中，点分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）. A.四点共面 B.与是异面直线 C.∠=∠ D.三线共点 2.已知复数，记z的辐角为，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）. A.的虚部为 B. C.z的模等于 D. 3.已知=5，=，在上的投影向量为，记向量与的夹角为，则的值为（ ）. A. B. C. D. 4.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（ ）. A. B. C. D. 5.已知三角形中，点在边上，平分∠，且，若，则=（ ）. A.1 B. C.2 D. 6.一正四棱台内接于圆锥，其俯视图如右图所示.若底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为，则圆锥与棱台体积之比为（ ）. A. B. C. D. 7.已知函数，曲线与坐标轴的三个交点分别为，如图所示，直线交曲线于点，若直线的斜率分别为、，则（ ）. A. B. C. D. 8.三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于空间中的几何体和基本事实，下列说法错误的是（ ）. A.长方体不同的三条棱长分别为3、5、8，则其外接球的表面积为 B.所有侧面均为全等的等腰三角形的棱锥一定是正棱锥 C.点A、B是某一给定平面外的两点，则一定存在过直线AB的平面垂直于这个平面 D.棱长相同的正方体和正四面体的棱切球的表面积之比为 10.已知锐角三角形中角的对边分别为，有，则的取值不可能是（ ）. A. B. C. D. 11.三角形中角的对边分别为，点是三角形所在平面内的点，分别满足、、||，下列关于动点的说法正确的是（ ）. A.平面内点的集合是∠的角平分线所在的直线 B.点的运动轨迹与∠的角平分线有且仅有两个交点 C.若三角形是边长为2的等边三角形，则的取值范围为[] D.若三角形内心为，“∠为钝角”是“不存在点使得”的充分不必要条件 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数=，则复数的辐角 . 13.古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，表述如下：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知为圆内接四边形的两条对角线，且四边形中有=.若，则可求出实数的最小值为 . 14.已知正四棱台中，，其侧面积为，为侧面的中位线，若该棱台内切球半径为，则二面角的余弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分） 如图，在三棱锥中，平面⊥平面，，为的中点. (1)求证：； (2)若，，，求异面直线与所成的角的大小. 16.（本题满分15分） 已知平面内一三角形，点为其外心. （1）点为边的中点，，，求的值； （2）若过点的直线分别交边、于点，证明：. 17.（本题满分15分） 如图①，在三角形中，，，，分别为的中点，以为折痕，将三角形折起，使点到的位置，且，如图②. （1）设平面平面，证明：平面； （2）若是棱上一点(不含端点)，过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比. 18.（本题满分17分） 已知函数，其最小正周期为. （1）求的解析式； （2）已知锐角三角形的内角满足，，过点作，且四点共圆，，求的面积； （3）把的图像先将所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度、向下平移个单位长度后得到的图像.已知函数，方程在上的所有根之和等于，求满足条件的整数的取值集合. 19.（本题满分17分） 定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. （1）已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； （2）若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图像上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； （3）设()，其中。集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围. 高一数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下期末数学试卷命题细目表 题型 题号 类型 核心知识 答案 难度系数 单选题 1 D 空间中点线面的关系 C 1 2 C 复数的计算及相关知识 B 1 3 B 向量的投影、数量积，倍角公式 A 2 4 D 几何体表面积的计算 D 2 5 A 正余弦定理，解三角形 C 2 6 D 圆锥和台体的体积 D 2 7 A 正弦型函数的性质及其图像 B 3 8 A 正余弦定理及基本不等式 B 4 多选题 9 D 立体几何基础知识 ABD 2 10 A 余弦定理 ABD 3 11 B 向量数量积与三角形的五心 BCD 5 填空题 12 C 复数的化简，辐角的计算 2 13 A 正余弦定理的计算，均值不等式 3 14 D 空间二面角的计算 4 解答题 15（1） D 线面垂直及面面垂直性质（5分） 见详解； 2 15（2） 异面直线夹角大小（8分） 3 16（1） B 向量的数量积（6分） ；见详解 2 16（2） A 正弦定理（9分） 4 17（1） D 线面垂直的证明（5分） 见详解； 2 17（2） 二面角，体积的计算（10分） 4 18（1） A 三角恒等变换，正弦型函数的性质（5分） 说明：若化简正确但的值求错，本题得2分 2 18（2） 正余弦定理的计算（5分） 3 18（3） 函数的对称性、周期性应用（7分） 4 19（1） C 复数的新定义问题（复变函数） (1)2分；(2)6分；(3)9分 2 19（2） 4 19（3） 5 说明： （1）类型分为A（三角函数相关知识），B（平面向量的数量积），C（复数的表示及其运算），D（立体几何初步），其中A类52分，B类17分，C类27分，D类54分； （2）难度系数由易至难依次为1/2/3/4/5； （3）整张试卷平均难度系数约为2.9（按分数加权计算）。 部分题提示与解析 选择填空部分题： 8.利用题中所给关系以及余弦定理可以得到，注意到，其中，又因为利用均值不等式有，当且仅当取等号。可知，所以，所以，并注意为钝角，进而可得到边上的高为，故选。 11.点M为三角形中点B对应的旁心，点P在∠的角平分线上除了点A外的线上运动（），又由||，容易证明QM的长度等于旁切圆半径（面积法），故Q的轨迹为三角形ABC中边AC外侧的旁切圆上运动，据此作答可知BCD正确。本题难点在于M和Q的位置，但依旧可以排除A项，在BCD中任意选择考生仍有机会拿到2分（或4分）。 14.由内切球半径为可知棱台的高为，设未知量后表示出侧面积即可解出棱台上底长1，下底长2，斜高，设上底中点为E，MN中点为F，CD中点为G，则二面角的大小即为∠的大小，在三角形中利用余弦定理，，，，求得，故答案为。 解答题： 15.（第一问5分，第二问8分） （1）证明： （2）解： 16.（第一问6分，第二问9分） （1）解： （2）证明：设三角形ABC外接圆半径为R， ，而，所以 同理，所以， 又 故① ∵点O为三角形ABC的外心 同理，， 代入上式①中得到， 所以，原命题得证 17.（第一问5分，第二问10分） 解： 18.（第一问5分，第二问5分，第三问7分） 解：（1） 的最小正周期为 （2） 为锐角 设三角形ABC外接圆为⊙O，由题意点D在⊙O上， 又因为，即，所以AD为⊙O的直径 在三角形BCD中， 又， （3）由题意可得 在同一个坐标系内作出的图像如下 显然的图象均关于点(1,0)对称，则它们图象的交点也关于点(1,0)对称 又因为区间的中点是，所以两函数的交点个数为偶数个 设交点横坐标按从小到大记为， 则，其中， 所以，，即在内有1012个交点，506对交点 由图像可知在区间(0,2)上无交点,在(2,4),(4,6),(6,8)……上各有两个交点 又因为的周期为，故 解得，所以符合条件的n的取值集合为 19.（第一问2分，第二问6分，第三问9分） 解：（1）由题意可知，点P对应的复数为， ，故点Q对应的复数为 （2）设点P对应的复数为 则点Q对应的复数，所以点Q坐标为， 因为点P在直线上，所以有 的反函数为，将点Q的坐标带入中得 代入并整理得到 因为对于任意的该方程都成立 所以，解得 综上，有序实数对为 （3）设，则 所以复数z经过“变换”后在复平面内得到的点的集合是一个圆心在、内半径为、外半径为的一个圆环中辐角在内的部分 又因为该部分点集是集合的子集，而且注意到 因此需要满足或 解得 高一数学答案 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$