专题01 二次根式 3大高频考点（期末真题汇编，北京专用人教版）八年级数学下学期

**基本信息** 汇集北京多区期末真题，聚焦二次根式3大高频考点，题型全面适配八年级下册期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|13题|最简二次根式识别、有意义条件、运算辨析|覆盖燕山等多区期末真题，基础考点重复考查强化理解| |填空题|8题|有理化因式、自变量取值范围|结合开放题（如写出符合条件的二次根式）培养创新意识| |解答题|14题|混合运算、代数式求值|包含多步运算及代入求值，体现运算能力与推理意识，适配期末综合考查|

专题01 二次根式 3大高频考点概览 考点01 最简二次根式 考点02 二次根式有意义的条件 考点03 二次根式的运算 地 城 考点01 最简二次根式 一、单选题 1．(24-25八下·北京燕山区·期末)化简的结果是（   ） A． B．2 C． D．4 2．(24-25八下·北京西城区·期末)下列各式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·北京东城区·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25八下·北京海淀区·期末)下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八下·北京大兴区·期末)下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．(24-25八下·北京朝阳区·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25八·北京二中教育集团·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．(24-25八下·北京燕山区·期末)请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______． 10．(24-25八下·北京丰台区·期末)写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是___________． 地 城 考点02 二次根式有意义的条件 一、单选题 1．(24-25八下·北京丰台区·期末)函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八下·北京燕山区·期末)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 3．(24-25八下·北京燕山区·期末)请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______． 4．(24-25八下·北京西城区·期末)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 5．(24-25八下·北京东城区·期末)若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 6．(24-25八下·北京海淀区·期末)函数 中，自变量x的取值范围是__________． 7．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)函数中，自变量的取值范围是_______. 8．(24-25八·北京二中教育集团·期末)在函数中，自变量x的取值范围是___． 地 城 考点03 二次根式的运算 一、单选题 1．(24-25八下·北京西城区·期末)下列计算中正确的是（  ） A． B． C． D． 2．(24-25八下·北京东城区·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·北京海淀区·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八下·北京大兴区·期末)下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)下列计算正确的是（　 ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25八下·北京朝阳区·期末)计算： =_____． 7．(24-25八下·北京丰台区·期末)计算：_____． 三、解答题 8．(24-25八下·北京燕山区·期末)计算：． 9．(24-25八下·北京燕山区·期末)计算：． 10．(24-25八下·北京燕山区·期末)已知，求代数式的值． 11．(24-25八下·北京西城区·期末)计算： (1)： (2)． 12．(24-25八下·北京东城区·期末)计算： (1)； (2)． 13．(24-25八下·北京海淀区·期末)计算： (1)； (2)． 14．(24-25八下·北京海淀区·期末)已知，，求代数式的值． 15．(24-25八下·北京大兴区·期末)计算：． 16．(24-25八下·北京大兴区·期末)已知，求代数式的值． 17．(24-25八下·北京朝阳区·期末)计算：． 18．(24-25八下·北京朝阳区·期末)已知，，求代数式的值． 19．(24-25八下·北京丰台区·期末)计算：． 20．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)计算 (1) (2) 21．(24-25八·北京二中教育集团·期末)计算：． 22．(24-25八·北京二中教育集团·期末)计算：． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 3大高频考点概览 考点01 最简二次根式 考点02 二次根式有意义的条件 考点03 二次根式的运算 地 城 考点01 最简二次根式 一、单选题 1．(24-25八下·北京燕山区·期末)化简的结果是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求算术平方根．利用算术平方根的性质解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．(24-25八下·北京西城区·期末)下列各式中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．(24-25八下·北京东城区·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握知识点是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A：．故不是最简二次根式． 选项B：．故不是最简二次根式． 选项C：．故不是最简二次根式． 选项D：．被开方数，无完全平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件． 故选D． 4．(24-25八下·北京海淀区·期末)下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号，掌握以上知识是解答本题的关键； 本意根据了最简二次根式的定义知识，进行作答，逐一验证各选项即可求解； 【详解】解：选项A：，被开方数为，分母含根号，需有理化为，故不是最简二次根式； 选项B：，被开方数9为完全平方数，可化简为整数3，故不是最简二次根式； 选项C：，分母含根号，需有理化为，故不是最简二次根式； 选项D：，被开方数3为质数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式的条件； 故选：D； 5．(24-25八下·北京大兴区·期末)下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了最简二次根式，满足：①被开方数不含分数或小数；②被开方数不含有开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，据此逐一判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 解：、被开方数，含开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：． 6．(24-25八下·北京朝阳区·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件； 选项B：，被开方数为分数，且分母10含非平方因子，需分母有理化，故不是最简； 选项C：，分母含根号，需化简为，故不是最简； 选项D：，被开方数8含平方因子4，可进一步化简，故不是最简． 故选：A． 7．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的条件，掌握最简二次根式的条件（①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号）成为解题的关键． 根据最简二次根式的条件逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式，不符合题意； B．是质数，无法分解为平方数与其他数的乘积，且分母无根号，则符合最简二次根式的条件，符合题意； C．分母含根号，需有理化，故原式不是最简二次根式，不符合题意； D． 是整数，故不是最简二次根式，不符合题意. 故选B． 8．(24-25八·北京二中教育集团·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，据此即可判断． 【详解】解：选项A：，因，可化简为，不是最简二次根式； 选项B：，因，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件； 故选D． 二、填空题 9．(24-25八下·北京燕山区·期末)请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可判断． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次根式，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 10．(24-25八下·北京丰台区·期末)写出一个使式子“”成立的的值，这个值可以是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．根据二次根式的性质与化简得出，然后找出一个符合条件的值即可． 【详解】解：若， 则， 所以a的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点02 二次根式有意义的条件 一、单选题 1．(24-25八下·北京丰台区·期末)函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件.根据函数表达式是二次根式时，被开方数非负，即被开方数大于等于0，据此可列出不等式，解不等式可求出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故答案为：B． 二、填空题 2．(24-25八下·北京燕山区·期末)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 3．(24-25八下·北京燕山区·期末)请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可判断． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次根式，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 4．(24-25八下·北京西城区·期末)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 5．(24-25八下·北京东城区·期末)若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的、分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义， 则， 解得， 故答案为：． 6．(24-25八下·北京海淀区·期末)函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 7．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 8．(24-25八·北京二中教育集团·期末)在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须． 地 城 考点03 二次根式的运算 一、单选题 1．(24-25八下·北京西城区·期末)下列计算中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.和不是同类项，不能合并，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算错误，故不符合题意； D. ，选项计算正确，故符合题意； 故选：D． 2．(24-25八下·北京东城区·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算等知识点，根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的加法法则对C选项进行判断，根据二次根式的减法法则对D选项进行判断即可，熟练掌握二次根式加减乘除法则进行运算是解决问题的关键． 【详解】A． ，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D． 和不是同类项，不能进行减法运算，所以D选项不符合题意； 故选：B． 3．(24-25八下·北京海淀区·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二次根式的运算的知识进行作答，需逐一验证各选项的正确性，然后即可求解； 【详解】选项A：， 合并同类项，系数相加：，但结果误写为，故错误； 选项B：， 化简：，但结果误写为，故错误， 选项C：， 利用根式除法法则：，计算正确， 选项D：， 被开方数为，故，但结果误写为，故错误， 故选：C； 4．(24-25八下·北京大兴区·期末)下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．根据二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简各项后，再进行判断即可得到结论． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故答案为：B． 5．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)下列计算正确的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质，根据二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质 判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．(24-25八下·北京朝阳区·期末)计算： =_____． 【答案】 【分析】此题利用二次根式的除法法则进行计算即可求出答案． 【详解】解： 故答案为． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，此题较简单，解题时要利用二次根式的除法法则进行计算是本题的关键． 7．(24-25八下·北京丰台区·期末)计算：_____． 【答案】４ 【分析】利用平方差公式计算，平方差公式为：。 令，，代入计算即可． 【详解】 解：原式． 三、解答题 8．(24-25八下·北京燕山区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法以及利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 9．(24-25八下·北京燕山区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和算术平方根的运算，熟练掌握平方差公式以及算术平方根的计算是解题的关键． 本题可利用平方差公式对进行化简，再计算，最后进行减法运算得出结果． 【详解】解： ． 10．(24-25八下·北京燕山区·期末)已知，求代数式的值． 【答案】4 【分析】将变形后，再将a的值代入计算可得结果． 【详解】解：． 当时，， ∴ 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式． 11．(24-25八下·北京西城区·期末)计算： (1)： (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先运算二次根式的乘法和化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．(24-25八下·北京东城区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何化简二次根式、平方差公式和完全平方公式． （1）先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 13．(24-25八下·北京海淀区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）结合多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 14．(24-25八下·北京海淀区·期末)已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是对代数式进行因式分解后再代入计算． 先对代数式因式分解，再代入、的值计算． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 15．(24-25八下·北京大兴区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 16．(24-25八下·北京大兴区·期末)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用因式分解进行简便运算成为解题的关键． 先因式分解，然后将代入并运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．(24-25八下·北京朝阳区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法、化简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 18．(24-25八下·北京朝阳区·期末)已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、二次根式的混合运算等知识点．先求出、，然后再对原式因式分解，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 19．(24-25八下·北京丰台区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算．利用二次根式的性质，零指数幂计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 20．(24-25八下·北京海淀区北师大实验中学·期末)计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据最简二次根式的定义，对每个式子化简后再合并同类二次根式即可； （2）二次根式化简为最简二次根式，利用平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：． （2）． 21．(24-25八·北京二中教育集团·期末)计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意，利用平方差公式及完全平方公式计算即可． 【详解】解： 22．(24-25八·北京二中教育集团·期末)计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据二次根式的性质，先化简，然后计算即可． 【详解】解： 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $