2026年中考数学二轮复习《几何图形变换综合压轴题》考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 聚焦几何图形变换四大类型，以题载法构建从性质应用到综合探究的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平移|5题|平移性质构造平行四边形、动态问题坐标转化|从平移基本性质到函数与几何综合，层层递进| |轴对称|5题|折叠性质转化线段角关系、最值问题对称化归|以折叠为核心，联结三角形与四边形性质应用| |中心对称|5题|中心对称图形性质、函数图像旋转变换|结合坐标系，深化对称与函数图像的关联| |旋转|5题|旋转构造全等/等腰三角形、动态几何多解分析|从旋转性质到综合压轴，培养空间观念与推理能力|

2026年春九年级数学中考二轮复习《几何图形变换综合压轴题》 考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、平移 1.如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD,将线段AB平移得到DM,且M为BC垂直平 分线上一点，连接CM,BM,DM与BC交于点N,连接AN G B M M 图1 图2 (1)求证：∠ADM=∠DCM; (2)求证：AN CD; (3)如图2，连接DB交AN于点G,连接CG,若AG=DC,求证：四边形BMCG是菱形. 2.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+1(k≠0)的图象与反比例函数y=的 图象交于点A、B,与y轴交于点C,点A的纵坐标为3. 图1 图2 (1)求k的值； 2)利用图象直接写出kx+1≥时x的取值范围； (3)如图2，将直线AB沿y轴向下平移5个单位，与函数y=(x>0)的图象交于点D,与y轴 交于点E,再将函数y=(x>0)的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中 阴影部分的面积. 3.如图1，点A(a,0)、B(b,0),其中a、b满足VQ+1+Vb-3=0,将点A、B分别向上平 移2个单位，再向右平移1个单位至C、D,连接AC、BD y C C 图1 图2 备用图 (1)请直接回答：a= 6 C的坐标是 D的坐标是 (2)连接AD交0C于点E,求OE的长； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒 2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒(0<t≤2)，射线DN交y轴于点F.问S△FMD S△Ow的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由， 4.综合与探究 问题情境：如图1，在□ABCD中，AB=5,BC=4,AC为□ABCD的对角线，且 AC⊥BC,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,点A,B的对应点分别是A', B,A'C与AB交于点E,A'B与BC交于点F, D B. 图1 图2 备用图 操作探究： (1)如图2，A'BIAC. ①善思小组发现此时EB=EC,请你证明这一结论； ②求A'F的长， (2)勤学小组将△A'BC从图2的位置开始沿射线BC向右平移，当以点A,A',D为顶点的 三角形是以AD为腰的等腰三角形时，请直接写出平移的距离. 5.△ABC中，AB=AC,∠ABC=LACB,点D从点B以1cm/s的度沿着射线BC方平移，到 点C停止平移，同时，点E也以1cm/s的速度从点C沿着射线CB平移，到点B停止平 移，（不考虑D、E重合的情况） B D B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，求证：△ABD≌△ACE; (2)在直线BC上一定存在一个点F,使△ADF和△AEF的面积始终相等，则BF=BC; (3)将△AEC沿着AE翻折至△AEG ①若LCAE=22.5°，LACB=45°，则AG_(2)中的点F(填经过"或不经过”)，此时，∠BEG 的度数为°； ②猜想LCAE、LACB、LBEG之间的数量关系，并给出详细证明过程. 二、轴对称 6.在△ABC中，∠BCA=90°，∠B=a,点D是AC边上一点，E为AB边上一个动点，将△ADE 沿DE翻折后得到△A'DE(点A的对应点为点A') D D 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点A落在AB上方时，a=60°，∠ADE=x°，则LBED=一；（用含x的代数式表 示) (2)点A'落在AB上方，当∠DA'E的一边与BC平行时，求LADE的度数.（用含a的代数式表示） (3)如图2，DE的延长线与AA'交于点F,若AC=8,CD=3时，当△ADF面积最大时，求 △CDF的面积. 7.综合与实践 已知，在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD II BC,AB II CD,∠CBD=60°.点 E是边CD上一动点，将△BCE沿BE翻折，点C的对应点为C'. 图1 图2 图3 【初步探索】 (1)尺规作图：若点C恰好落在对角线BD上，请在图1中作出点E.此时LCBE= 【深入探究】 (2)如图2，若点C'落在△ABD内（包含△ABD的边）. ①直接写出LCBE的最大值与最小值的和 ②探究LCBD与LBEC的关系. 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，如图3，点F是边CD上一动点，将△ADF沿AF翻折，点D的对应点为 D'.若点D'落在△BCD内（包含△BCD的边），当△AD'F的其中一边与△BCE的某一边平 行时，试探究LBEC与LDAF的关系 8.综合与实践 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘， 【动手操作】现有一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°，AC=6,BC=8,小明用这张直角 三角形纸片进行折纸操作，折叠LB,折痕为DE,顶点B的对应点是点B. A(B) C(B) 图1 图2 备用图 (1)①如图1，当点B与点C重合时，则BE的长为 ②如图2，当点B与点A重合时，求△ACE的面积； (2)当点B落在AC的三等分点时，求BE的长； 【类比操作】 (3)如图3，折叠长方形ABCD的一角，使点D落在BC边的点F处，折痕AE交CD于点E,若 AB=12,BC=20,求CE的长 9.在数学综合实践课上，数学老师以折叠为主题开展数学活动. G 图1 图2 图3 (1)图形感知：如图1，折叠等边三角形ABC纸片，使点A与BC边中点F重合，折痕为DE,分 别交边AB、边AC于点D、点E, ①求LADF的度数； ②求证：△BDF为等边三角形； (2)性质梳理：如图2，将等边三角形ABC沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处， 折痕分别交AB,AC于D,E两点，求证：怨-器。 (3)拓展探究：如图3，将正方形ABCD沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，点D落 在点H处，折痕分别交AB,CD于E,F两点，设GH,CD交于点L.若AB=8,求GI的长。 10,【模型建立】(1)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边AB,AD上的点，连接CE, CF,∠ECF=45°，连接EF,探究线段DF,EF,BE之间的数量关系.小明发现可以将△CBE 沿CE折叠，△CDF沿CF折叠，CB和CD恰好重合在CG上，进而利用折叠的性质来证明此问 题，请你根据小明的解题方法探究DF,EF,BE之间的数量关系； D ·B 【类比探究】(2)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D,E在AB边上，连接CD, CE,∠DCE=45°，探究线段AD,DE,EB之间的数量关系； 【拓展迁移】(3)如图，在△ABC中，CD1AB于点D,若AD=6,DB=4,∠ACB=45, 求△ABC的面积. 三、中心对称 11.如图，在7×7的网格线中，己知A、B、C、D是格点，E是AB与网格线的交点.仅用无 刻度的直尺完成下列作图.画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（每个任务的画线 不得超过三条) 图1 图2 (1)在图1中，先画口ABFD,再在FD上画点G,使AE=FG; (2)在图2中，作点E关于AC的对称点M; (3)在图2中，分别在AC、BC上找点N、T,连接EN、NT,使得EN+NT最小. 12.如图，抛物线L1y=ax2+6ax-16a(a>0)的顶点为M,交y轴于点C,将抛物线L1绕原 点0旋转180得到抛物线L2,抛物线L2的顶点为W,交y轴于点D,L1与L2相交于点A和点B (点A在y轴左侧). D 备用图 (1)求点C,D,N的坐标（用含a的式子表示)； (2)顺次连接A,C,B,D四点，当四边形ACBD的面积为32时， ①求a的值； ②将抛物线L1,L2位于直线AB上方的图象（包含A,B两点）记为L,图象L对应的函数为 y2,当-3-2n≤x≤-3+n时，函数y2的最大值与最小值的差等于10，求n的值， 13.定义：己知一次函数f(x)=kx+m(k≠0)与二次函数g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，我们 把函数h(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c称为f(x)与g(x)的“复合函数”. 例如：一次函数f(x)=x+1与二次函数g(x)=x2+x+1的“复合函数”为h(x)=(x+1)2+ (x+1)+1=x2+3x+3. 己知一次函数f(x)=x-1与二次函数g(x)=ax2+bx+c(a≠0)，函数h(x)为f(x)与g(x)的 “复合函数”。 --1----1- 2 --1----1 4-3-2-10 1 234 1 2 (1)如果h(x)的图像上存在不同的两点(m,n)与(2-m,n),求b的值 (2)如果h(x)的图像经过原点，那g(x)的图像是否经过某一定点P?若经过，求出点P坐标， 若不经过，请说明理由； (3)如果h(x)的图像同时满足(1)(2)的条件，记h(x)的图像与x轴的另一个交点为点A,记 g(x)的图像与y轴的交点为点B,则f(x)的图像上是否存在点C,使得以A、B、C、P四点 为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对 称中心坐标，若不存在，请说明理由 14.如图①，在平面直角坐标系中，以点P(1,0)为圆心的圆，交x轴于B,C两点(B在C 的左侧)，交y轴于A,D两点(A在D的下方)AD=23. A D M M D E B P C B P B -10 G y 图① 图② 图③ 【问题提出】 (1)直接写出B、C两点的坐标； 【问题探究】 (2)如图②，将△ABC绕点P旋转180得到△MCB,试说明四边形ACMB的形状，并求 出点M的坐标； 【问题解决】 (3)在一次数学建模设计大赛上，智慧组操作的四个电子机器人A,B,M,C一开始均在 如图③所示的⊙P上，其中BC是⊙P的直径，四边形ABMC是矩形.表演开始后，机器人B 先从点B出发，沿直线BC与直线BM之间的某个直线方向运动到CM上的点E处，然后立即 调整方向，沿垂直BC的方向运动到BC上的点G处停止；机器人M沿直线先运动到BE的中 点Q处，再沿QG方向运动到点G处和机器人B汇合，请你通过计算分析，机器人M的两 次运动路线形成的LMQG的大小是否为定值？若是定值，请计算这个定值；若不是定值，请 说明理由 15.抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,m)和B(3,m),与y轴交于点C. 图① 图② (1)如图①， 当m=0时. ①求抛物线的解析式： ②作直线BC,P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PEIy轴交BC于点E,连接PC, 当PC=PE时，求点P的坐标： (2)如图②，设抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点D(x1,0),E(x2,0),此时抛物线也可以表 示为交点式y=-(x-x1)(x-x2).若m≠0，F为x轴上方抛物线上一点，FG1x轴，G为垂 足，直线FA交x轴于点N,GD·GE=c,当点A,N,F三点中有两点关于另一点对称时， 求c的值， 四、旋转 16,如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°. D H B (图1) (图2) (图3) (1)点D在AB边上，连接CD, ①如图1，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE,连接BE,求证： △ACD≌△BCE; ②如图2，将线段CD绕点D逆时针旋转90得到线段DF,连接BF,若AB=62,BF=2, 求△BDF的面积； (2)如图3，将线段CA绕点C逆时针旋转30°得到线段CG,连接AG,BG,过点A作AH⊥AG交 BG于点H,求证：BG=V2AH+BC, 17,通过旋转将具有特殊数量关系的角组合到一起，转化为角的相等关系，并进一步构成全 等三角形，这是一种常见的解决问题的思路.。 图1 图2 图3 (1)如图1，在等腰直角△BAC中，∠BAC=90°，当∠BAD+∠EAC=∠BAC=45时，可通 过旋转将LBAD和LEAC这两个角组合到一起，再进一步得到对称全等的三角形，可得出图1 中线段BD,DE,CE之间的数量关系为 (直接填写结果). 【触类旁通】小张思考，若LBAD+LEAC=∠BAC时，有什么有趣的结论呢？ 2)如图2，在等腰直角△BAC中，∠BAC=90°，当∠BAD+∠EAC=∠BAC=30°.AF平分 ∠DAE且AF=AE.请求出此时BD,CE,DF之间的数量关系. 【举一反三】 (3)如图3，∠BAC=135°，AB=AC,∠BAD+∠EAC=45°，BD=4,CE=V2.将线段AE绕点A顺 时针旋转45°得线段AF,连接DF,求DF的长度， 18.【综合与实践】如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，点P,Q分别在边BC,CD上，且 ∠PAQ=45,连接PQ. D A 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠PAC=∠QAC时， ①求证：△ABP兰△ADQ; ②求点A到PQ的距离： (2)【转一转】将图1中的LPAQ绕点A旋转，使它的两边分别交边BC,CD于点P,Q,连接 PQ,如图2，点A到PQ的距离是否发生变化？说明理由； (3)【探一探】连接正方形ABCD的对角线BD,若图中的LPAQ的边AP,AQ分别交BD于点 M,N,如图3，当点Q是CD边的三等分点时，求BM的长. 19.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在AB上，作射线DE D E B E B 图① 图② 备用图 【动手操作】 (1)如图①，点E在线段AB上，将射线DE绕点D逆时针旋转60与线段BC交于点F,根据题 意在图中画出图形，则图中LEDF=°，LAED与LDFB的数量关系是：； 【问题探究】 (2)根据（1)所画图形，探究线段AE、BF的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图②，若点E为射线AB上一动点，连接DE,将射线DE绕点D逆时针旋转60°与射线BC 交于点F,连接EF,若AD=3,当BE=AB时，求EF的长。 20.如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3), 顶点为D,连接BC, V YA B A 图1 图2 备用图 (1)抛物线的解析式为_； (2)如图1，点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直 线BC于点E,作GF⊥BC于点F.当△GEF的周长最大时，求△GEF的面积； (3)如图2，连接BD,点P是线段BD的中点，点Q是线段BC上一动点，连接DQ,将△DPQ沿 PQ翻折，且线段D'P的中点恰好落在线段BQ上，将△AOC绕点O逆时针旋转60°得到△AOC, 点T为坐标平面内一点，当以点Q、A'、C'、T为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点T 的坐标 参考答案 1.(1)证明：将线段AB平移得到DM, .AB II DM,AB=DM, :.四边形ABMD是平行四边形， :.LADM LABM, M为BC垂直平分线上一点， ..MB=MC, ∠MBC=∠MCB, .∠ABC=∠BCD, ∠ABC+∠MBC=∠BCD+∠MCB, LABM=∠DCM, .∠ADM=∠DCM (2)证明：四边形ABMD是平行四边形， ..AD=BM, 又.：MB=MC, ..AD MC AB II DM, ∠DNC=∠ABC .∠ABC=∠BCD, ∠DNC=∠BCD, ..DN DC, 在△ADN和△MCD中， AD=MC ∠ADN=∠MCD, DN=DC .△ADN≌△MCD(SAS), .∠AND=∠MDC, .AN II CD. (3)证明：AG IICD,AG=DC, :四边形AGCD为平行四边形， ..AD I CG,AD=CG, 四边形ABMD是平行四边形， ..AD II BM,AD BM, .CGBM,CG=BM, :四边形BMCG是平行四边形， 又MB=MC, .四边形BMCG是菱形 2.1)解：将y=3代入y=得x=2, 点A的坐标为(2,3)， 将点A(2,3)代入y=kx+1,得， 3=2k+1, 解得k=1; (2)解：由(1)可知，一次函数的解析式为y=x+1, 联立一次函数与反比例函数，得， y=x+1 y=’ 解得=-2=子， ∴点B的坐标为(-3，-2)， 结合图象可知，在BC之间（包括点B)和点A以及点A的右侧部分，一次函数的图象不低于 反比例函数的图象， kx+1≥的解集为-3≤x<0或x≥2： (3)解：如图，连接AD、CF,作CH⊥DE于点H,设直线DE交x轴于点G, G B 由平移的性质可知，四边形ACFD是平行四边形，且阴影部分的面积等于平行四边形ACFD 的面积， 直线DE由直线AB向下平移5个单位得到， 直线DE的解析式为y=x+1-5=x-4, 将x=0代入y=x-4,得y=-4, ∴点E的坐标为(0，-4)， 将y=0代入y=x-4,得x=4, ∴点G的坐标为(4,0)， .0G=0E=4, LE0G=90°， “△E0G是等腰直角三角形， .∠0EG=45°， CH⊥DE, “△CEH也是等腰直角三角形， ..CH=EH, 将x=0代入y=x+1,得y=1, 点C的坐标为(0,1)， CE=5, 在Rt△CEH中，CH2+EH2=CE2, 2CH2=25,解得CH=52, 2 由勾股定理可得，AC=V(2-0)2+(3-1)2=2V2, SGACFD AC.CH=212x52=10, :阴影部分的面积为10， 3.(1)解：Va+1+Vb-3=0, .a+1=0,b-3=0, .a=-1,b=3, ·A(-1,0),B(3,0), 由平移的性质得CD=AB=3-(-1)=4, ~将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D, ∴.C(0,2),D(4,2) (2)解：如图1中， B 图1 由题意得，C0=2-0=2,CD=4,A0=0-(-1)=1, C0.CD=CE·A0+2CE.CD, 即×4×2=×1×GE+x4×B=C, 解得GB=号 0E=C0-CE=2-5= 82 (3)解：结论：S△FMD-S△oFw的值是定值.理由：如图2-1中，当点N在线段OB上时， 连接OD y A B 图2-1 设运动时间为t秒， 由题意：OM=t,BN=2t, 5w0D=含×E×4=2,S60w=x2LX2=2, S△MOD=S△BDN, 1 S四边形DN0N=S△B0D=2X3×2=3, S△FMD-S△OFN=S四边形DMON=3; 如图2-2中，当点N在BO的延长线上时，连接OD. M A(N)O B 图2-2 SAFMD-SAOFN SAODM-SAODN SADBN-SAODN SAOBD =3, 综上所述，SAFMD-S△OFw的值是定值，定值为3. 4.(1)①证明：AC⊥BC,A'BIAC, A'B⊥BC, LA'+∠A'CF=90°， 将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'BC, LA'CB=LACB=90°，∠B=∠B, LA'+LB=90°， ∠B'=∠ANCF, ∠B=∠ECB, ..EB EC; ②解：AB=5,BC=4,AC1BC, AC=VAB2-BC2=V52-42=3, 将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C, ..A'B'=AB=5,B'C=BC=4,A'C=AC=3, 由①知A'B⊥BC,∠A'CB'=90°， SAARC=AB'.CF=AC.B'C, 5C℉=3×4， 解得CF=品 在R△MGFt,AP=MC2-cP2=32-(得2=号 即AP的长为 (2)解：①当AD=A'1D时，连接A'A',交AC于点N,过点D作DM⊥AA'1于点M,如图， M B B B .☐ABCD中，BC=4, ..AD=BC=4, △A'BC沿射线BC向右平移， ..AN DM,AD=MN, 由(1)知，AG=3,AP=?,则DM=AN=AC-AP=3-号= A'1D=AD=4, 4M=DA2-DM2=4-(目°- 5 MA=AN+NM-,M=CF+AD-,M=号+4-2=号-a7, 5 559 ②当AD=A'2D时，连接A'A'2交AC于点N,如图， D B. B2 同理，4：W=a)2AW2=4-9 391 5 AA2=N+NM2=号+27， 5 ③当AD=A'3D时，连接A'A'3交AC于点N,过点D作DM⊥A'A'3于点M,如图， B. C B's 同军，A,M=D2-DM2=4-(目2= 5 +39 则AA3=AN+NM+MA,=号+4+2-号+ 5 5； 故满足以点小，小，D为顶点的三角形是以AD为腰的等腰三角形时，平移的距离为号 或号+2或程+a 5 5 5.(1)证明：如图1所示： B D 图1 由点D,点E的平移得：BD=CE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠ABD=∠ACE, BD=CE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) (2)解：①以点A为圆心，以适当的长为半径画弧交AB,AC于点M,N, ②分别以M,N为圆心，以大于MW的长为半径画弧，两弧交于点K, ③作射线AK交BC于点F,则点F为所求，如图2①所示： 理由如下： B F 图2① 由作图可知：∠BAF=LCAF, 在△BAF和△CAF中， (LABF=∠ACF AB=AC LBAF=∠CAF ∴△BAF兰△CAF(ASA), .SABAF SACAF,BF CF =BC, 由(1)可知：△ABD≌△ACE, S△ABD=S△ACE, 当点D在BF上，点E在CF上时，如图2②所示： DE E 图2② 此时S△BAF-S△ABD=S△CAF-S△ACE, S△ADF=S△AEF, 当点D在CF上，点E在BF上时，如图2③所示： B EFD 图2③ 此时S△ABD-S△BAF=S△ACE-S△CAF' ·S△ADF=S△AEF, 综上所述：点F为所求作的点， 故答案为：2 (3)①解：AG经过(2)中所作的点F,此时LBEG的度数为45°，理由如下： 如图3所示： B G 图3 由(2)可知：△BAF≌△CAF,∠BAF=∠CAF, ∴.∠AFB=∠AFC, .∠AFB+∠AFC=180° ·∠AFB=∠AFC=90°， ∠BAF=∠CAF=45°=∠ACB=∠ABC, 由翻折的性质得：∠GAE=∠CAE=22.5°，∠AEG=∠AEC, ∴∠CAG=LGAE+∠CAE=45°， AG经过点F; 在△AEC中，∠CAE=22.5°，∠ACB=45°， ∴∠AEC=180°-(LCAE+∠ACB)=112.5, ∴.∠AEG=∠AEC=112.5°， LAEB是△AEC的外角， ∴LAEB=LCAE+∠ACB=67.5°， .∠BEG=∠AEG-∠AEB=112.5°-67.5°=45°， 故答案为：经过；45； ②∠CAE、∠ACB、∠BEG之间的数量关系是：2LACB+∠BEG+2LCAE=180或 2LACB+2LCAE-∠BEG=180°， 理由如下： 依题意有以下两种情况： (I)当点E在CF上时，点G在BC的下方，如图3①所示： 图3① 由三角形的外角性质得：∠AEB=∠CAE+LACB, 由翻折的性质得：∠AEG=∠AEC=∠AEB+∠BEG=∠CAE+∠ACB+∠BEG, ~∠AEC+∠CAE+∠ACB=180, ·∠CAE+LACB+∠BEG+LCAE+LACB=180°， 即2LACB+∠BEG+2LCAE=180°； (II)当点E在BF上时，点G在BC的上方，如图3②所示： B EF 图3② 由三角形的外角性质得：∠AEB=∠CAE+∠ACB, 由翻折的性质得：∠AEG=∠AEC=∠AEB-∠BEG=∠CAE+LACB-∠BEG, ∠AEC+∠CAE+∠ACB=180°， .∠CAE+∠ACB-∠BEG+∠CAE+∠ACB=180°， ·.2LACB+2LCAE-LBEG=180°， 6.(1)解：a=60°，∠BCA=90, LA=90°-60°=30， LADE=x°， ∠BED=180°-∠AED=∠A+∠ADE=30°+x°； (2)解：当A'EIBC时，延长A'E,交AC于点G,如图所示： B D A'E II BC, LDGA'=180°-∠ACB=90°， 在△ABC中，∠BCA=90°，∠B=a, LBAC=90°-a, 根据折叠可得：∠DA'E=∠BAC=90°-a,LADE=LA'DE, ∠ADA'=90°-∠DA'E=a, 1 1 :ADE=2ADE=ADA=: 当A'DIBC时， A A'D II BC, LADA'=∠ACB=90°， 根据折叠可得：∠ADB=∠ADE=ADA=×90°=45， 2 综上，LADE=a或45； (3)解：AC=8,CD=3, AD=AC-CD=8-3=5, 根据折叠可得：DE⊥AA', ..LAFD =90, 在AD上取点G,使DG=FG,则LGDF=∠GFD, LGDF+∠FAD=90°，∠DFG+∠AFG=90°， ∠FAD=∠AFG, .AG=FG, FG=DG=AG=AD=是 FG和AD为定值， :当FG⊥AD时，△ADF面积最大， 1 当△ADF面积最大时，SACDF=CDX FG=X3×;=5 4 B 7.(1)解：以点B为圆心，BC为半径画弧，交BD于C,分别以C和C为圆心，BC为半径画 圆，连接两圆的交点，交CD于点E,连接CE; B 将△BCE沿BE翻折，点C的对应点为C, ·∠CBE=∠CBE, .∠CBD=60°， .∠CBE=30°； (2)解：①若点C落在△ABD内（包含△ABD的边）， ·∠CBE的值最大时，C落在AB上，∠CBE的值最小时，C落在BD上， 由(1)可知，C落在BD上时，∠CBE=30°， C落在AB上时，由折叠得，∠CBE=∠CBE=ABC=45, 则∠CBE的最大值与最小值的和为75°； ②设LCBD=a,∠BEC=B, 将△BCE沿BE翻折，点C的对应点为C', BEC=∠BEC'=B, ∴∠CED=180°-2B, .∠ABC=90°，∠CBD=60°， ∴.∠ABD=30°， ∴∠ABC=30°-a, 如图，过点C作CM‖AB, A B D .AB II CD, .C'M II CD, ·LECM=∠CED=180°-2β， C'M II AB, ∠BCM=LABC=30°-a, :∠BCE=∠C=90°， ∴.∠BC'M+LEC'M=(180°-2)+(30°-a)=90°， 则a=120°-2B,即∠CBD=120°-2∠BEC; (3)设LBEC=B,∠DAF=0, 则∠BAD'=90°-2B,∠BAF=90°-0， 若点D'落在△BCD内（包含△BCD的边），点C'落在△ABD内（包含△ABD的边），则△A DF与△BCE的边可能存在AF ICE,AD'IICE,BE WI FD',BC'WI FD'四种情况， 情况一：当AF I C'EE时，∠AFC=∠CEC=2B, AB II CD, ∴∠BAF+∠AFC=90°-0+2B=180°， 则2B-0=90°，即2LBEC-∠DAF=90°； 情况二：当AD'ICE时，延长AD交CD于点N,∠ANC=∠CEC=2B, B D NE C .AB II CD. ∴∠BAN+∠ANC=90°-20+2B=180°， 则B-0=45°，即∠BEC-∠DAF=45°； 情况三：当BE WI FD'时，∠D'FC=∠BEC=B,则∠DFD'=180°-B, 将△ADF沿AF翻折，点D的对应点为D', AFD=LAFD-90 AB I CD, ÷∠BAF=CAFD=90°-0=90号 则B=20,即∠BEC=2LDAF; 情况四：当BC‖FD时， ∠AD'F=90°，∠BCE=90°， AD'⊥FD',CE⊥BC, .AD'll C'E 此时，∠BEC-∠DAF=45°； 综上，2LBEC-∠DAF=90°或∠BEC-∠DAF=45或LBEC=2LDAF 8.(1)解：①当点B与点C重合时， BE=BC=2×8=4: ②如图2，当点B与点A重合时， 设CE=x, 则BE=AE=BC-CE=8-x, 在Rt△AEC中， AC2+CE2=AE2, 62+x2=(8-x)2, 7 解得x=4: GB=子 1 1 721 ∴SA△ACE=2AC.CE=2×6×4=4; (2)解：当点B落在AC的三等分点时，分两种情况： 如下图，~点B落在AC的三等分点， BC=AG=号x6=4, 由翻折得：BE=BE, ∴CE=BC-BE=8-BE, 在Rt△CEB'中，CB2+CE2=B'E2, 即42+(8-BE)2=BE2, 解得：BE=5; B B 如下图，点B落在AC的三等分点， BC=AC=3×6=2, 由翻折可得：BE=BE, ·CE=BC-BE=8-BE, 在Rt△CEB中，CB2+CE2=B'E2, 即22+(8-BE)2=BE2, 解得：BB=子 综上所述：BE的长为5或 (3)解：~四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=90°，AD=BC=20,CD=AB=12, 由折叠得，AF=AD=20,EF=DE, 在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2, 即122+BF2=202, 解得：BF=16, 又BC=20, .CF=BC-BF=20-16=4, 设CE=X,则DE=EF=CD-CE=12-x, 在Rt△ECF中，CF2+CE2=EF2, 42+x2=(12-x)2, 解得x=台即GE=台 9.(1)解：①△ABC是等边三角形， AB=AC,∠B=∠BAC=60°， ~点F为BC的中点， ∠BAF=2BAC=30, 由折叠的性质可得，DA=DF, ∠DFA=∠BAF=30, ∠ADF=180°-∠BAF-∠DFA=120°； ②证明：由①可知，∠ADF=120, ∠BDF=180°-∠ADF=60°， 又∠B=60°， .∠BFD=180°-∠B-∠BDF=60°， ·△BDF为等边三角形； (2)证明：△ABC是等边三角形， LA=∠B=∠C=60°， LBDF+∠BFD=180°-∠B=120°， 由折叠的性质可得，AD=DF,AE=EF,∠DFE=∠A=60°， .∠BFD+∠CFE=180°-∠DFE=120°， ∠BDF=∠CFE △BFE一△CEF, 器- .AD=DF,AE=EF, (3)解：设AE=x, 四边形ABCD是正方形， ∠A=∠B=∠C=90°，AB=BC=8, ..BE =AB-AE=8-x, 由折叠的性质可得，AE=EG=x,∠EGI=∠A=90°， ~点G是BC的中点， BG=CG=BC=4, 在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2, (8-x)2+42=x2, 解得x=5, .BE=8-X=3, .∠BEG+∠BGE=180°-∠B=90°，∠BGE+∠CGI=180°-∠EGI=90°， ∠BEG=∠CGI, △BGE一△CIG, 品-品即- GI=3 20 10.(1)解：EF=DF+BE, 理由：由折叠可得，△CBE兰△CGE,△CBF≌△CGF, :BE=GE,DF=GF,∠CGE=∠B=90°，∠CGF=∠D=90°， .∠CGE+∠CGF=180°， 点E,G,F三点共线， EF =GE +GF, 2.EF=DF BE; (2)解：DE2=BE2+AD2,理由： 如图所示，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，得到△BCF,连接EF, D 由旋转可得，△ACD≌△BCF, AD=BF,CD=CF,∠ACD=∠BCF,∠A=LCBF=45°， .∠ACB=90°，∠DCE=45°， LACD+∠BCE=45°， LBCF+∠BCE=45°，即LECF=45°， ∠DCE=∠ECF, 在△DCE和△FCE中， CE=CE ∠DCE=∠ECF, CD=CF ·△DCE≌△FCE(SAS), ..DE EF, LEBF=∠ABC+∠CBF=45°+45°=90°， 在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2, .DE2=BE2 +AD2; (3)解：如图所示，将△ACD沿AC翻折得到△ACF,将△BCD沿BC翻折得到△BCE,延 长FA,BE交于点H, D H AD=AF=6,CD=CF,∠AFC=90°， BD=BE=4,CD=CE,∠BEC=90°， ..CE=CF, .∠ACB=45°， .∠ECF=2∠ACB=90°， LAFC=∠BEC=∠ECF=90°， :四边形ECFH是正方形， ..FH=EH=CF=CE=CD, 设CD=x,则AH=X-6,BH=x-4,AB=AD+DB=10, 在Rt△ABH中，由勾股定理，得(x-6)2+(x-4)2=102, 整理得x2-10x-24=0, 解得x1=12,x2=-2(舍去)， CD=12, S△ABc=2×AB×CD=2×10×12=60. 11.(1)解：如图1，口ABFD即为所求， 连接AF,BD相交于点O,连接EO并延长交DF于点G, 则点G即为所求， 图1 (2)解：如图2，取点B关于AC的对称点B,连接AB,取AB与网格线的交点M, 则点M即为所求. 图2 (3)解：如图2，在点A下方取格点G,过点G作AB的平行线GH,取GH与网格线的交点K, 连接MK并延长，交AC于点N,交BC于点T, B 图2 此时EN+NT=MN+NT=MT,为最小值， 则点N,T即为所求 12.(1)解：y=ax2+6ax-16a=a(x+3)2-25a, 当x=0时，y=-16a,M(-3,-25a), C(0,-16a), 将抛物线L1绕原点0旋转180得到抛物线L2, ∴D(0,16a),N(3,25a). (2)解：①N(3,25a), :抛物线L2的解析式为y=-a(x-3)2+25a=-ax2+6ax+16a, 联立L1、L2的解析式得，{，y=ax+6ar-16a ly =-ax2+6ax +16a .ax2+6ax-16a=-ax2+6ax+16a, 整理得，2ax2=32a, .a>0, x2=16, 解得：x=±4， 当x=4时，y=24a,当x=-4时，y=-24a, A(-4,-24a),B(4,24a), C(0,-16a),D(0,16a), :CD=16a-(-16a)=32a, 四边形ACBD的面积为32， CD·(xg-x4)=32,即2×32a×[4-(-4】=32, 解得：a= ②a= L1的解析式为y=2+-4,L2的解析式为y=2+x+4,A(-4,-6)B(4,6, ~将抛物线L1,L2位于直线AB上方的图象（包含A,B两点）记为L, 2x2+3x-4x>4) 1 3 y +2x+4(-4≤x≤4)， 2+x-4x<-4到 3 2 .-3-2n≤x≤-3+n, -3-2n≤-3+n, 解得：n≥0， -3-2n≤-3，-3+n≥-3， 当-3-2m≤-4，-3≤-3+n≤4时，此时，2≤n≤7，最小值为-6， 当x=-3+n时为最大值时， ~函数y2的最大值与最小值的差等于10， -(-3+m)2+2(-3+m)+4-(-6)=10, 解得：n1=3,n2=9(舍去)， 当x=-3-2n时为最大值时， (-3-2m)2+3(-3-2m)-4-(-6)=10, 解得：m=里2=-（舍去， 2 当m1=时，-3+n=-3+, 2 x(-3+要)°+×(-3+受+4=照>4， 216 m1=时，不符合题意， 2 当-4<-3-2n<-3时，0<n<2 1 -3<-3+n<- 当x=时，y=×(-)+×(-3+4=8 1 5、2,3 此时函数y2的最大值与最小值的差不能等于10，此种情况不存在， 当-3+n>4时，n>7,-3-2n<-17, 同理可得，此时函数y2的最大值与最小值的差大于10； 综上所述，n的值为3 13.（1)解：h(x)的图像上存在不同的两点(m,n)与(2-m,n), 函数h)的对称轴为直线x=m+2-m=1, 2 由题意知，h(x)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2-(2a-b)x+a-b+c, -（2ab）=1, 2a 解得，b=0; (2)解：由题意知，h(x)=a(x-1)2+b(x-1)+c, h(x)的图像经过原点， h(0)=0,即a-b+c=0, :.b=a+c, g(x)=ax2+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c), 当x=-1时，9(-1)=0， ∴g(x)的图像经过一定点P,P(-1,0): (3)解：由(1)(2)可知，b=0,b=a+c, ∴.C=-a, h(x)=a(x-1)2-a=ax(x-2) 令ax(x-2)=0, 解得，x=0或x=2, ∴A(2,0), ~9(x)的图像与y轴的交点为点B, B(0,c), 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为 平行四边形； 当AP为对角线时，则AP的中点(，0)为对称中心， ∴C(1,-c), 当x=1时，f(1)=1-1=0≠-c,此时不存在； 当AP为边时，AP II BC,AP=BC=3, xc=±3， 当xc=3时，C3,2,此时对称中心坐标为(，生习，即(1,1)： 当xc=-3时c(-3,-到，此时对称中心坐标为(，)，(--2) 综上所述，存在，对称中心坐标为(1,1)或(--2) 14.解：（1)连接AP, BC⊥AD,BC是⊙P的直径， 10=00=9=5, 在Rt△A0P中，0P=1,则AP=OP2+A02=2, BP=CP=AP=2, xB=-1-2=-3,xc=-1+2=1, “点B坐标(-3,0)，点C坐标为(1,0). (2)根据旋转的性质，AB和AC两边旋转180°后得到MC和MB. .ABIIMC,ACIIMB, :四边形ACMB的四个内角都是直角，形状为矩形， 根据题意点A和M关于点P中心对称.假设点A、M、P三点向右平移一个单位长度，点A 就与坐标原点0重合， 根据中心对称的性质，xM+1=-(xA+1),yM=一y4 xM=0-2=-2,yM=V3 点M坐标为(-23) (3)在Rt△BME和Rt△BGE中，点Q为斜边BE的中点， ∴BQ=MQ=GQ, ∠MBQ=∠QMB,LGBQ=LBGQ, ∴.∠MQG=∠MQE+∠GQE=2∠MBQ+2∠GBQ=2∠MBC, tan-MBG =tan-ACO-3 .∠MBC=60°， ∴.∠MQG=2×60°=120°， 故∠MQG的大小为定值120°。 15.(1)解：①由题意得(-9+3站十00 解得：6二3， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. ②如图： 当x=0,y=3, C(0,3), 设直线BC表达式为：y=kx+b(k≠O), 代入c0,3,830得：古吉0， 解得：化。=3， 直线BC表达式为y=-x+3, 设P(n,-n2+2n+3)(0<n<3), 则E(n,-n+3), :PE=-n2+2n+3-(-n+3)=-n2+3n,PC=yn2+(-n2+2n+3-3)2=n vn2-4n+5, .-n2+3n=yn2-4n+5, n>0, .-n+3=yn2-4n+5, 解得：n=2, P(2,3) (2)解：由题意可知，该抛物线关于直线x=1对称. b3-1 -2x0=2=1, b=2, :抛物线的解析式为y=-x2+2x+c, 设点F的坐标为[t,-(t-x1)(t-x2], 则点G(t,0), ∴GD.GE=(t-x1)(x2-t)=-(t-x1)(t-x2)=c. FG=-(t-x1)(t-x2): :.FG=c, “点F,C关于直线x=1对称. t=2, ∴点F(2,c) 当x=-1时，y=-1-2+c=c-3, A(-1,c-3), 设直线FA的解析式为y=k1x+b1, 则观-2欢43 解得：(6。之 直线FA的解析式为y=x+c-2, 当y=0时，x+c-2=0, X=2-C, ∴点N(2-c,0), 分情况讨论： ①如图a, N 图a 当点R,N关于点A对称，则AN=AF时，生”=c-3, 解得c=6 ②如图b, 图b 当点A,F关于点N对称，则AN=FN时，3+=0， 2 解得c=2 3 综上：c=6或c=2 3 16,(1)解：①证明：线段CD绕点C顺时针旋转90得到CE, LDCE=90°，CD=CE, 又LACB=90°， .∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, .∠ACD=∠BCE ACD=2BCE AC=BC CD=CE ·△ACD≌△BCE(SAS); ②过点D作DM⊥BD交BC的延长线于点M,DP⊥CB于点P,如图所示： N 在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AB=6W2, LABC=45°，AC=BC=6, ∠DMB=45°， :△DMB为等腰直角三角形， ..DM=DB, 线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段DF, LCDF=90°，CD=DF, LMDC=∠BDF=90°-∠BDC, ·△MDC≌△BDF(SAS), MC=BF=2,∠DMC=∠DBF=45°， MB=8,∠CBF=90°， :DP BP =MB=4, 1 S△BDF=S△MDc=2MC-DP=2X2×4=4; (2)过点A作MA⊥AC且MA=AC,连接MB、MH,如图所示： M G B ~线段CA绕点C逆时针旋转30得到线段CG, LACG=30°，AC=CG, LAGC=∠CAG=75°， LACB=90°，AC=BC, ∠GCB=90°+30°=120°，∠CGB=∠CBG=30°， .∠AGH=75°-30°=459 .AH⊥AG, ∠AGH=∠AHG=45°， ..AG AH, .GH=2AH, MA⊥AC, ∠MAC=∠GAH=90°， .∠MAH=∠GAC 又MA=AC, :△AMH=△ACG(SAS), ∴.MH=CG,∠AMH=∠ACG=30°， ..MA AC=BC, 又LMAC=LACB=90°， ..AM II BC, :四边形ACBM为平行四边形， :四边形ACBM为正方形， ∴LAMB=90, LBMH=90°-30°=60°， △MHB为等边三角形， :.BH=BM=MH, :.BH=BC, .BG=GH+BH :.BG=2AH BC. 17.(1)解：DE2=BD2+EC2, 理由：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC=∠C=45°，∠BAD+∠EAC=45°， ∴LDAE=∠BAC-(LBAD+∠EAC)=45°， 将△AEC绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，得到△AGB连接GD, D E C 则BG=CE,AG=AE,LGAB=∠EAC,LGBA=∠C=45. .∠BAD+∠EAC=45°， .∠GAD=∠GAB+∠BAD=45°=∠DAE, 在△AGD和△AED中， AG=AE,∠GAD=∠EAD,AD=AD, ∴.△AGD≌△AED(SAS), ..DE=GD, .∠GBD=∠GBA+∠ABC=90°， :在Rt△GBD中，由勾股定理得， GD2=GB2+BD2,即DE2=BD2+EC2； (2)解：在等腰直角△ABC中， ∠BAC=90°，AB=AC,LABC=∠C=45°，∠BAD+∠EAC=30° ∴∠DAE=∠BAC-(LBAD+∠EAC)=90°-30°=60° 又AF平分LDAE, ∠DAF=∠PAE=DAE=30, 将△AEC绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，得到△AGB,连接GD. D E C 则BG=CE,AG=AE,LGAB=∠EAC,LGBA=∠C=45°. .AF=AE, ..AG=AF, .∠BAD+∠EAC=309 ·∠GAD=∠GAB+∠BAD=30°=∠DAF 在△AGD和△AFD中， AG=AF,∠GAD=∠FAD,AD=AD, ∴.△AGD≌△AFD(SAS) .DF=GD ~∠GBD=LGBA+∠ABC=90° 在Rt△GBD中，由勾股定理得 GD2=GB2+BD2,DF2=BD2 +EC2; (3)解：∠BAC=135°，AB=AC, .∠ABC+∠C=180°-∠BAC=45°， 又~AE绕点A顺时针旋转45得线段AF ∴.∠EAF=45°，AF=AE, .∠BAD+∠EAC=45°， ∴∠DAF=∠BAC-(LBAD+∠EAC)-∠EAF=135°-45°-45°=45°， 将△AEC绕点A顺时针旋转135°，使AC与AB重合，得到△ANB,连接ND. 则BN=CE=V2,AN=AE,∠NAB=∠EAC,∠NBA=∠C. ∴∠NBD=∠ABC+∠NBA=45°，∠NAD=∠NAB+∠BAD=45°=∠DAF,AN=AF, :在△AND和△AFD中， AN=AF,∠NAD=∠FAD,AD=AD, ∴.△AND≌△AFD(SAS) .DN DF, 过点N作NH⊥BD于点H, “△NHB为等腰直角三角形， BN BH=NH=2=1,2NHD=90°， BD=4, :DH=BD-BH=3, 在Rt△NHD中，由勾股定理得DN=VWH2+DH2=V10 ..DF DN =10 18.(1)解：①~四边形ABCD是正方形，AC为对角线， LB=∠D=90°，AB=AD,∠DAC=∠BCA=45°， .∠PAC=∠QAC .∠BAC-∠PAC=∠DAC-∠QAC LBAP=∠DAQ, △ABP≌△ADQ(ASA) ②设AC,PQ交于点H, D B '△ABP≌△ADQ ..AP=AQ,BP=DQ, 四边形ABCD是正方形， .BC=DC,∠B=90°，∠BAC=45 :.BC-BP DC-DQ, :.CP=CQ, AC垂直平分PQ, ∠AHP=90°=∠A, ∠PAQ=45°=∠BAC, LPAQ-∠PAC=∠BAC-LPAC, ∠BAP=∠QAC, ∠PAC=∠QAC, .∠BAP=∠CAP, 又AP=AP △ABP≌△AHP(AAS), ..AH=AB=2, 即点A到PQ的距离是2. (2)解：点A到PQ的距离不变，仍是2，理由如下： ~四边形ABCD是正方形， LD=∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AB=AD, 如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90至△ABT的位置. D ○ B P AQ=AT,∠QAT=90°，∠ABT=∠D=90°， ∠ABT+∠ABC=180, .C、B、T三点共线； ∠PAQ=45°， ∴∠PAT=∠QAT-∠PAQ=45°. LPAT=∠PAQ., 又AP=AP, △PAT兰△PAQ(SAS), AB⊥BC,AB=2,即点A到PT的距离为2， 点A到PQ的距离为2. (3)解：四边形ABCD是正方形，边长为2， .LABM=∠ACQ=∠BAC=45°，AB=BC=CD=2, AC =AB2+BC2=2v2; LBAC=∠PAQ=45°， ·∠BAM=∠CAQ, ∴.△BAM△CAQ. .BM-CQ. 由题意可知点Q是CD边的三等分点， 当CQ=CD=时，BM=号 当CQ=CD=时，BM=22, 3 综上，BM的长为号碳号 3 19.（1)解：如图所示， ~将射线DE绕点D逆时针旋转60与线段BC交于点F, ∠EDF=60°； 如图，连接BD, ◇ E B 在菱形ABCD中，∠BAD=60°， ..AD=AB,AD II BC, :△ABD是等边三角形， AD=DB,∠ADB=60°=∠EDF, LADE=∠BDF, AD lI BC, LDBC=∠ADB=60°=LA, .△ADE≌△BDF(ASA), ∠AED=∠DFB: (2)解：由(1)得，△ADE≌△BDF, ..AE=BF; (3)解：如图，过点E作EG⊥AD于点G,连接EF,BD, 由(1)得，△ABD是等边三角形， ..AB=AD=3, .BE =AB=2, 如图，当点E在线段AB上时， D G A E B AE=AB-BE=3-2=1, LBAD=60°，EG⊥AD, ∠AEG=30°， AG-AE- DG=AD-AG=3--多GE=aB2-A8= 2 .DE =DG2 GE2=7, 由（1)得，△ADE=△BDF, ..DE DF, 由旋转得，∠EDF=60°， ·△EDF是等边三角形， .EF =DE=7; 如图，当点E在段线AB的延长线上时， D G 入 A B AE=AB+BE=3+2=5, LBAD=60°，EG⊥AD, ∠AEG=30°， AG-AE- DG-AD-AG-3--GE-VAR2-AG- 21 .DE =DG2+GE2=19 由(1)得，△ADE兰△BDF, :.DE DF, 由旋转得，∠EDF=60°， “△EDF是等边三角形， ..EF=DE=19 综上所述，EF的长为y7或√19. 20.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C (0,3), 将C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c,得c=3, 将点A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3, 得(v8+3站3 解得6=2， 抛物线的解析式y=-x2+2x+3. (2)设直线CB的解析式为y=kx+d, 将8(3,0、C03)代入y=x+d,待0吉d, 解得=3， 故直线CB解析式为y=-x+3, 0C=0B=3, ∴△B0C是等腰直角三角形， 故LBC0=45°， GEll y轴，GF⊥BC, .∠GEF=∠BC0=45°，∠GFE=90°， ·△GEF是等腰直角三角形， ..EF=FG, 则GE=VGF2+EF2=V2EF, 即EP=PG=GE, 故△GEF的周长为EF+FG+GE=2GE+GE+GE=(W2+1)GE. 设点G(m,-m2+2m+3),则点E(m,-m+3),其中0<m<3, :6B=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-(m-)+号 故当m=时，GE有最大值为} 当m=，-+2×+3=+3- 3 此时点G的坐标为()，点E的坐标为()， 故当点G的坐标为(，)，点E的坐标为(G,》时，△GF的周长最大， 此时EF=FG=x?=2, 2 4 8 则△GEF的面积为2GF.EF=号×2×2= 8 8 641 (3)-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 故抛物线y=-x2+2x+3的顶点D的坐标为(1,4)： 连接DD'、DB,设DP与BQ交点为点H,如图2： 图2 ~△DPQ沿PQ翻折得△D'PQ, DD'⊥PQ,PD=PD',DQ=D'Q,∠DPQ=∠D'PQ, 点P是线段BD的中点，B(3,0)、D(1,4), PB=PD=PD',点P的坐标为(2,2)， ∠PBD'=∠PD'B, LDPD'=∠DPQ+∠D'PQ=2LDPQ,∠DPD'=∠PBD'+∠PD'B=2LPBD', ∴LDPQ=LPBD', :.QP II BD', LPQH=∠D'BH, 点H为线段DP的中点， ..PH D'H, ∠PQH=∠D'BH,∠PHQ=∠DHB,PH=D'H, ∴△PQH≌△D'BH(AAS), :.PQ BD' QP II BD',PQ BD', :四边形BPQD是平行四边形， :.BP D'Q, :.D'Q=DQ=PB=PD PD', DP2=(2-1)2+(2-4)2=5, 即DQ2=DP2=5 ~点Q是线段BC上一动点，且直线CB解析式：y=-x+3, 故设点Q的坐标为(q,-q+3),且0<q<3, 则DQ2=(q-1)2+(-q+3-4)2, 即(q-1)2+(-q+3-4)2=5, 解得q1=兰92=（舍去>， 2 故点Q的坐标为(9，-+3) △AOC绕点O逆时针旋转60°得到△A'OC, ∴LA0A'=60°，∠C0C=60°，0A=0A'=1,0C=0C=3, 故点A到y的距离为0A×c0s60=1×-到x轴的距离为0A×5in60=1X5 21 2 点C到轴的距离为0C×sin60°=3×号-，到x轴的距离为0C×cos60~=3×-号 22 “点4的坐标为(--习点C的坐标为(-，) 此时点小、C的横坐标相差(-习)=二，纵坐标相号（←习=， 点小、Q的横坐标相差-(-)=6兰，纵坐标相差-+3-(-匀)=6一6+， 当四边形TCA'Q为平行四边形时，如图：A'C‖TQ,A'C'=TQ, 此时点T与点Q的横坐标相差33二，纵坐标相差5，且点Q的坐标为(9，-+3) 2 故点T的横坐标为6331=6-33+1，纵坐标为-6+3+3+5=9-6+3， 2 2 2 2 2 2 点T的坐标为(6-33+1,9-=6+图)： 2 2 当四边形TACQ为平行四边形时，如图：A'C‖TQ,A'C=TQ, 此时点T与点Q的横坐标相差33二，纵坐标相差2，且点Q的坐标为(-+3) 故点T的横坐标为+331=6+33-1，纵坐标为-6+3-3+3=3-6-3 2 2 2 2 2 点T的坐标为(6+33-1,3-63 2 2 当四边形TCQA'为平行四边形时，如图：TA'ICQ,TA'=CQ, 此时点T与点C的横坐标相差6兰，纵坐标相差一+点，且点C的坐标为(-) 故点T的横坐标为-6士=355，纵坐标为号一+5=6- 22 2 2 点T的坐标为(33,6-1,6-3-）： 2 综上所述，以点Q、A'、C、T为顶点的四边形是平行四边形时，点T的坐标为 (6-3+1,96回成(6+含3-1，-9成(356-，6--) 2 2 2