12.4定理（第一课时）课件 2025-2026学年苏科版七年级下册数学

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理，涵盖定理证明、外角推论及直角三角形锐角关系等核心内容。课堂导入从小学已知“三角形内角和180°”切入，通过“如何证明”的问题衔接，引导学生从拼图经验过渡到几何证明，搭建直观到逻辑的学习支架。 其亮点在于以推理意识和几何直观为核心，通过延长BC作平行线、过顶点作平行线等多种辅助线方法证明定理，渗透转化思想。小结采用层级结构梳理命题、定理、推论关系，帮助学生构建知识体系。学生能提升逻辑推理与创新意识，教师可借助多样化案例优化教学路径。

12.4 定理（第一课时） 在小学，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时我们用什么办法来说明这个结论的？ 那我们该如何来证明这个命题的正确性呢？ 创设情境，提出问题 证明：三角形三个内角的和等于180°. 研究问题，形成新知 弄清条件与结论 根据条件画出图形 结合图形，写出已知求证 写出证明过程 证明：三角形三个内角的和等于180°. 研究问题，形成新知 C B A 问题1：（1）这个命题的条件是什么？结论是什么？ （2）根据命题的条件怎么画图形？ （3）结合图形，怎么写已知、求证？ 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 研究问题，形成新知 C B A E D 1 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， ∴ ∠A =∠1， ∠B =∠2. 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴ ∠A +∠B +∠ACB = 180°. 问题2：从“拼图”的过程中，你能发现证明的思路吗？ (两直线平行，内错角相等) (两直线平行，同位角相等) (平角的定义) （等量代换） 2 追问：你还可以从不同的角度考虑作辅助线的过程吗？ 研究问题，形成新知 C B A E D 1 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 方法2：如图，延长 BC 到 D，过点 C 作 ∠DCE=∠B 2 追问：你还可以从不同的角度考虑作辅助线的过程吗？ 方法3：如图，延长 BC 到 D，过点 C 作 ∠ACE=∠A ...... 研究问题，形成新知 C B A E D 1 2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明：过点 C 作 DE∥BA， ∴ ∠A =∠1， ∠B =∠2. 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. (两直线平行，内错角相等) (两直线平行，内错角相等) (平角的定义) （等量代换） 问题3：你还有其他的方法吗？ 研究问题，形成新知 C B A E 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明：过点 C 作 CE∥BA， ∴ ∠A =∠1， ∠B +∠BCE= 180°. 又∵ ∠BCE=∠ACB +∠1 , ∴∠B +∠ACB +∠A = 180°. 问题3：你还有其他的方法吗？ 1 (两直线平行，内错角相等) (两直线平行，同旁内角互补) （等量代换） 转化思想 180° 借助“平行线”的“移角” 功能 构造平角 构造互补的同旁内角 追问：多种方法证明的核心是什么？ C B A 研究问题，形成新知 研究问题，形成新知 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem). 作用：定理可以作为证明后续命题的依据. 三角形内角和定理： A B C 符号语言： 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 研究问题，形成新知 三角形三个内角的和等于180°． 利用新知，解决问题 例1 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A B C 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD＝∠A＋∠B. ∴∠ACD＝180°－∠ACB， ∠A＋∠B＝180°－∠ACB (等式性质). ∴∠ACD＝∠A＋∠B (等量代换). 证明：∵∠ACD ＋∠ACB＝180° (平角的定义)， ∠A＋∠B ＋∠ACB ＝180° (三角形内角和定理)， 利用新知，解决问题 例1 证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A B C 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A、∠B是与它不相邻的两个内角. 求证：∠ACD＝∠A＋∠B. 方法2：过点C作 CE∥BA， ∵∠A＝∠ACE (两直线平行，同位角相等)， ∠B ＝∠DCE (两直线平行，内错角相等)， E ∵∠ACD ＝∠ACE＋∠DCE (已知)， ∴∠ACD ＝∠A＋∠B (等量代换). 像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论. 三角形内角和定理的推论： 符号语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＝∠A＋∠B. D A B C 推论和定理一样，也可以作为后续证明的依据. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 利用新知，解决问题 例2 如图，△ABC是直角三角形，其中∠C＝90°. 那么两个锐角有怎样的数量关系呢？ ∴∠A＋∠B ＋90°＝180° ∴∠A＋∠B＝90° (等式性质). 解：∵在△ABC中， ∠A＋∠B＋∠C ＝180° (三角形内角和定理) 又∵∠C＝90° (已知)， A C B 直角三角形两个锐角互余. 利用新知，解决问题 例2（2）写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明. 解：逆命题为“如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”. A C B 已知：如图，△ABC中，∠A与∠B互余 . 证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)， 求证：△ABC是直角三角形. ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B) (等式性质). ∵∠A与∠B互余(已知)， ∴ ∠A＋∠B＝90° (互余的定义). ∴△ABC是直角三角形 (直角三角形的定义). ∴∠C＝180°－90° ＝90° (等量代换). 课堂小结，反思提升 定理、推论都可以作为后续证明的依据. 通过本节课的学习，你有哪些收获？你对这些知识有什么新的认识？ 命题 证明 假命题 真命题 定理 推论 课堂小结，反思提升 通过本节课的学习，你有哪些收获？你对这些知识有什么新的认识？ 三角形内角和 定理 （三角形三个内角的和等于180°） 三角形内角和定理的推论 （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 直角三角形 （直角三角形两锐角互余； 两角互余的三角形是直角三角形） 从一般到特殊 从内角到外角 多边形内角和 ？ 多边形外角和 ？ 逆向思考 $