10.4 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕事件的相互独立性、条件概率与全概率公式三大高考核心考点，按概念-性质-公式的逻辑层次构建知识体系，通过知识清单系统梳理、自主诊断基础检测、命题点例题精讲与跟踪训练等环节，帮助学生突破概率问题分析难点，体现复习教学的系统性与针对性。 资料特色在于衔接教材改编真题，如例2结合数学竞赛情境，通过学霸笔记总结独立事件判断的定义法、条件概率计算的两种方法，培养学生数学思维与模型观念。设置基础巩固到能力提升的分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第四节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 知识清单 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与________，与________，与也都相互独立． 2．条件概率 (1)概念：设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称________________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝________； ②概率的乘法公式：P(AB)＝________． (3)性质：设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝________； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________； ③设和B互为对立事件，则P＝________． 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，B(Ω)＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝____________，此公式为全概率公式． 【常用结论】 1．如果A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． 2．若P(A)>0，当且仅当事件A与B相互独立时，P(B|A)＝P(B)． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B相互独立．(　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　) (3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　) (4)若A，B相互独立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则A，B都不发生的概率为0.3.(　　) 2．(人教A版必修二P251例2改编)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为(　　) A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72 3．(人教A版选修三P46例1改编)在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为(　　) A． B． C． D． 4．(人教A版选修三P50例4改编)学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　相互独立事件 考向1　相互独立事件的判断 例1 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率． (2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与与B，与也相互独立． 　跟踪训练　(多选)(衔接·人教A版必修二P249T1改编)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第1枚正面朝上”，事件B＝“至少有一枚反面朝上”，事件C＝“两枚都正面朝上”，事件D＝“两枚硬币朝上的面相同”，则(　　) A．事件A与事件C独立 B．事件B与事件C对立 C．事件B与事件D互斥 D．事件A与事件D独立 考向2　相互独立事件的概率 例2 2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为. (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面求解较麻烦(如“至多”“至少”问题)或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P267T8改编)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为________． 命题点二　条件概率 例3 (1)(2026·南京模拟)从编号1～7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)＝(　　) A．　　　B． C．　　　D． (2)(2026·沧州模拟)已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件A1表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件A2表示第2次摸出的小球中有红球，则P(A2|A1)＝(　　) A． B． C． D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝； (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再在事件A发生的条件下，求事件B包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝. 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修三P48T2改编)从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为(　　) A． B． C． D． (2)(衔接·人教A版选修三P48T3改编)在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个．现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为(　　) A． B． C． D． 命题点三　全概率公式 例4 (1)(2026·阳江模拟)医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014.若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为(　　) A．0.03 B．0.024 C．0.02 D．0.018 (2)现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球、2个黑球，2号罐子中装有2个红球、3个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，，n)． (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)． (3)代入全概率公式计算． 　跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修三P52练习T2改编)两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品不是次品的概率为(　　) A．0.956 B．0.966 C．0.044 D．0.036 (2)(衔接·人教A版选修三P53T5改编)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是________． 第四节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)P(A)P(B)　(2)　B 2．(1)P(B|A)＝　(2)①　②P(A)P(B|A)　 (3)①1　②P(B|A)＋P(C|A)　③1－P(B|A) 3.(Ai)P(B|Ai) 自主诊断 1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．解析：两人都脱靶的概率为P＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02. 答案：A 3．解析：设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，所以P(A)＝，P(AB)＝×＝，则P(B|A)＝＝＝. 答案：C 4．解析：根据题意设A1表示“第1天去A餐厅用餐”，B1表示“第1天去B餐厅用餐”，A2表示“第2天去A餐厅用餐”，由题意P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7. 答案：0.7 考教衔接·活用教材 例1　解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁).故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：根据题意，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，则A＝{(正，正)，(正，反)}，B＝{(正，反)，(反，正)，(反，反)}，C＝{(正，正)}，D＝{(正，正)，(反，反)}，依次分析选项：对于A，AC＝{(正，正)}，则P(AC)＝，而P(A)＝＝，P(C)＝，则P(AC)≠P(A)P(C)，事件A、C不相互独立，A错误；对于B，由对立事件的定义，事件B与事件C对立，B正确；对于C，B∩C＝{(反，反)}，B、C可以同时发生，不是互斥事件，C错误；对于D，P(A)＝＝，P(D)＝＝，A∩D＝{(正，正)}，则P(AD)＝，有P(AD)＝P(A)P(D)，事件A、D相互独立，D正确．故选BD. 答案：BD 例2　解析：(1)设乙能解出该题的概率为p1，丙能解出该题的概率为p2， 因为甲、丙都能解出该题的概率为，所以×p2＝，解得p2＝. 因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为，所以(1－)×p1＝，解得p1＝. 所以乙、丙各自解出该题的概率是，. (2)甲、乙、丙3人都没有解出该题的概率是 (1－)×(1－)×(1－)＝××＝， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率是1－＝． 跟踪训练　解析：根据题意，设事件A＝“李华最终通过面试”，则其对立事件为“李华没有通过面试”，则P()＝(1－)×(1－)×(1－)＝，则P(A)＝1－P()＝，即李华最终通过面试的概率为. 答案： 例3　解析：(1)第一次抽到3或6的概率为，所以P(A)＝，当第一次抽到3时，第二次可抽4，5，6，7，共4种情况；当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况，所以P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝＝.故选A. (2)因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球，又因为事件A1发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球．P(A2|A1)＝＝＝.故选A. 答案：(1)A　(2)A 跟踪训练　解析：(1)记“第一次抽到K牌”为事件A，“第二次抽到K牌”为事件B.根据题意可得P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，因此所求概率为P(B|A)＝＝＝. (2)设第一次摸出白球为事件A，第二次摸出黑球为事件B，则第一次摸出黑球为事件.∵P(B)＝P(AB)＋P(B)＝×＋×＝，∴P(A)＝＝＝. 答案：(1)D　(2)B 例4　解析：(1)设事件A＝“居民患有这种地方性疾病”，事件B1＝“居民有良好卫生习惯”，事件B2＝“居民没有良好卫生习惯”．由题意，P(B1)＝0.6，P(B2)＝0.4，P(A)＝0.014，P(A|B1)＝0.01，由全概率公式，可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)，即0.014＝0.6×0.01＋0.4×P(A|B2)，解得P(A|B2)＝0.02，即没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.02.故选C. (2)设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”，事件B1表示“从1号罐子中取出的球是红球”，事件B2表示“从1号罐子中取出的球是黑球”，P(B1)＝，P(B2)＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝. 答案：(1)C　(2) 跟踪训练　解析：(1)设事件B＝“任取一件产品不是次品”，事件Ai＝“产品取自第i批，i＝1，2”，A1与A2互斥，由题意可知P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.96，∴这件产品不是次品的概率为P(B)＝0.4×0.95＋0.6×0.96＝0.956. (2)记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，由题意可得P(E)＝＝0.25，P(F)＝＝0.35，P(G)＝＝0.4，P(D|E)＝0.06，P(D|F)＝0.05，P(D|G)＝0.04，由全概率公式可得P(D)＝P(E)·P(D|E)＋P(F)·P(D|F)＋P(G)·P(D|G)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.048 5. 答案：(1)A　(2)0.048 5 学科网（北京）股份有限公司 $