10.3随机事件与概率讲义——2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦随机事件与概率高考核心考点，系统整合样本空间、事件关系、古典概型及概率性质等知识，按“知识清单-自主诊断-命题点探究”逻辑构建体系。通过考点梳理夯实基础，方法指导（如互斥对立事件判断）突破难点，真题训练（链接2022、2024新高考卷）提升应用，实现系统性针对性复习。 资料以“考教衔接”为亮点，用定义法与集合法分析事件关系培养数学思维，结合骰子抛掷、卡片比赛实例讲解古典概型强化模型观念。设置分层练习配合即时反馈，助力学生高效掌握概率计算，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第三节　随机事件与概率 知识清单 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件； ②表示：大写字母A，B，C，…； ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 2．事件的关系与运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 ________ 并事件(和事件) A与B至少一个发生 ________或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 ________或AB 互斥(互不相容) A与B不能 同时发生 A∩B＝________ 互为对立 A与B有且仅 有一个发生 A∩B＝________， A∪B＝________ 3.古典概型 (1)古典概型的定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①有限性：样本空间的样本点只有________； ②等可能性：每个样本点发生的可能性________． (2)古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 4．概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝________． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝________，P(A)＝________． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝________________． 【常用结论】 1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件． 2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　) (2)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生．(　　) (3)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(　　) (4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　) 2．(必修二P235T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是(　　) A.至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶 3．(必修二P238例9改编)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到黄球的概率是(　　) A． B． C． D． 4．(必修二P243例11改编)从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝，设C＝“抽到红花色”，则P(C)＝________；设D＝“抽到黑花色”，则P(D)＝________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　随机事件关系的判断 例1 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则(　　) A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)定义法判断互斥事件、对立事件：不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． (2)集合法 ①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 　跟踪训练　袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是(　　) A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．至少有一个白球；红、黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球 命题点二　随机事件的概率 考向1　古典概型 例2 (1)(链接·2022年新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　　) A． B． C． D． (2)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自必修二P246T8)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是(　　) A． B． C． D． 学霸笔记：求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)，以及排列、组合法． 　跟踪训练　(2026·沧州模拟)从1～10这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率(　　) A． B． C． D． 考向2　互斥事件与对立事件的概率 例3 将一枚质地均匀的正方体骰子(点数分别为1，2，3，4，5，6)连续抛掷三次，求下列事件的概率． (1)点数都为奇数； (2)至少出现一次3点． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． (2)间接求解法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便． 　跟踪训练　(衔接·必修二P247T13改编)某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为________；命中的环数不超过5环的概率为________． 考向3　用频率估计概率 例4 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时 间(分钟) [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60] 选择L1 的人数 6 12 18 12 12 选择L2 的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率： (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：概率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 　跟踪训练　(衔接·必修二P261T2)用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4，重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数(如下表)，如果再抛掷一次，则估计标记3的面落在桌面上的概率为________． 四面体的面 1 2 3 4 频数 22 18 21 39 第三节　随机事件与概率 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)①基本结果　(2)①子集 2．A⊆B　A　A　∅　∅　Ω 3．(1)①有限个　②相等　(2)＝ 4．P(A)＋P(B)　1－P(A)　1－P(B)　P(A)＋P(B)－P(A 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．解析：连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶，②只有一次中靶，③两次都没中靶；设事件P：至少一次中靶，则P＝{①，②}，对于A，事件A：至多一次中靶，则A＝{②，③}，P＝{②}，不互斥，不对立；对于B，事件B：两次都中靶，则B＝{①}，P＝{①}，不互斥，不对立；对于C，事件C：只有一次中靶，则C＝{②}，P＝{②}，不互斥，不对立；对于D，事件D：两次都没中靶，则D＝{③}，P＝∅，且P＝{①，②，③}，互斥且对立． 答案：D 3．解析：由题意可给这五个球分别标上号码，红球为1，2，黄球为3，4，5，可得从中不放回地依次随机摸出2个球，基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，其中摸出的2个球都是黄球的基本事件有(3，4)，(3，5)，(4，5)，共3个，故摸出的2个球都是黄球的概率为． 答案：C 4．解析：因为C＝A且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＝.因为C与D互为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－＝. 答案： 考教衔接·活用教材 例1　解析：根据题意，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，包含“骰子向上的点数为2”、“骰子向上的点数为3”、“骰子向上的点数为5”，三个基本事件；事件2表示“骰子向上的点数为合数”，包含“骰子向上的点数为4”、“骰子向上的点数为6”，两个基本事件；事件3表示“骰子向上的点数大于2”，包含“骰子向上的点数为3”、“骰子向上的点数为4”、“骰子向上的点数为5”、“骰子向上的点数为6”，四个基本事件，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，包含“骰子向上的点数为1”、“骰子向上的点数为2”，两个基本事件，依次分析选项：对于A，事件1与事件3可能同时发生，不是互斥事件，A错误；对于B，事件1与事件2互为互斥事件，但不是对立事件，B错误；对于C，事件2与事件3可能同时发生，不是互斥事件，C错误；对于D，事件3与事件4互为对立事件，D正确．故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不是；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不是；对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C是；对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不是． 答案：C 例2　解析：(1)从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有＝21种结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D. (2)不妨设甲四轮比赛中所选卡片顺序固定，即四轮比赛所选卡片依次为1，3，5，7，此时乙有 ＝7种选法，共有1＋3＋7＝11种选法． 当甲得3分时，甲第一轮的数字小，其他三轮的数字大，有1种选法． 故甲的总得分不小于2的概率P＝＝. 答案：(1)D　(2) 真题探源　解析：从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个，即(1，3，5)，(1，3，7)，(1，3，9)，(1，5，7)，(1，5，9)，(1，7，9)，(3，5，7)，(3，5，9)，(3，7，9)，(5，7，9)，其中能构成三角形的基本事件有3个，即(3，5，7)，(3，7，9)，(5，7，9)，故所求概率P＝. 答案：A 跟踪训练　解析：由题意知1～10中的素数为2，3，5，7，共4个，所以所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率为P＝＝.故选B. 答案：B 例3　解析：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷3次的试验，含有的基本事件总数为63个，点数都为奇数的事件A含有的基本事件数为33个， 所以点数都为奇数的事件概率P(A)＝＝. (2)事件B＝“至少出现一次3点”，其对立事件＝“没有出现3点”， 事件含有的基本事件数为53个，则P(B)＝1－P()＝1－＝， 所以至少出现一次3点的概率为. 跟踪训练　解析：用X表示命中的环数，则命中的环数大于8环的概率为P(X>8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.3＋0.2＝0.5，命中的环数不超过5环的概率为P(X≤5)＝1－P(X≥6)＝1－0.1－0.15－0.25－0.3－0.2＝0. 答案：0.5　0 例4　解析：(1)调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车站有12＋12＋16＋4＝44(人)， 因此40分钟内不能赶到火车站的频率为0.44， 用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为0.44． (2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站， 依题意，P(A1)＝＝0.6，P(A2)＝＝0.5， 由P(A1)>P(A2)，得甲应选择路径L1； P(B1)＝＝0.8，P(B2)＝＝0.9， 由P(B1)<P(B2)，得乙应选择路径L2， 所以甲应选择路径L1，乙应选择路径L2. 跟踪训练　解析：标记3的面落在桌面上的频率为＝0.21，故其概率的估计值为0.21. 答案：0.21 学科网（北京）股份有限公司 $