24.2数据的离散程度（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦“方差”核心知识点，涵盖定义、计算公式及统计意义。课堂导入从已学的平均数等集中趋势统计量出发，通过甲、乙两种甜玉米产量实例，对比相同平均产量下的波动差异，引出数据离散程度，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，借助数据表格和图形描述直观观察波动，推导方差公式培养推理能力，体现数学思维。结合射击成绩等实例，用方差解决稳定性问题，发展数据观念和应用意识。多样化练习助学生巩固，教师可依托清晰结构提升教学效率。

第1课时 方差 24.2 数据的离散程度 第二十四章 数据的分析 第二十四章 数据的分析 章节导读 平均数 中位数和众数 24.3数据的四分位数 24.1 数据的分析 24.2 数据的离散程度 24.4 数据的分组 1 2 3 理解离差、离差平方和、方差的定义，掌握方差的计算公式，明确方差的代数意义； 深刻理解方差的统计意义； 经历发现数据波动差异→探究刻画波动的方法→推导方差公式→应用方差解决决策问题的统计全过程，提升数据分析能力和数学运算能力. 导入新课 前面我们学习了平均数、中位数、众数，它们是刻画数据集中趋势的统计量。比如甲、乙两种甜玉米，平均产量都是 7500kg/hm²，你会选择种植哪个品种？ 两种甜玉米在 10 块试验田的产量（单位：kg/hm²） 甲种：7650, 7500, 7630, 7400, 7550, 7450, 7680, 7420, 7700, 7500 乙种：7550, 7560, 7480, 7500, 7520, 7500, 7490, 7530, 7500, 7510 两种玉米平均产量相同，但是产量的波动情况一样吗？哪个品种的产量更稳定？ 我们把数据的波动大小称为数据的离散程度，今天我们就来学习刻画数据离散程度的核心统计量 ——方差. 探究一：方差的定义与推导 新知探究 探 究 为了解甲、乙两种甜玉米种子的产量稳定性，专家各用 10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 上面两组数据的平均数分别是 由平均数可知：甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大 新知探究 为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形讲行描述，如下面两幅所示. 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远； 而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近. 因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 新知探究 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大； 当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立. 一般地，有个数据,用表示它们的平均数，我们把 叫作关于平均数 的离差. 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 可知，一组数据的离差和总是 0,因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 新知探究 为了避免正负抵消，我们可以先对离差进行平方，再求和，得到离差平方和： 然而离差平方和受数据个数影响，只适用于数据个数相同的情况。因此我们用离差平方的平均数，也就是方差，来刻画离散程度。 方差公式： 说明：方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能精准刻画数据的离散程度. 典例分析 甲 乙 例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示. 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 【分析】先计算甲、乙两人射击成绩的平均数，再通过方差公式计算方差，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定。 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 典例分析 两名运动员射击成绩的方差分别为 由 可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 即时训练 1.在第60届国际数学奥林匹克比赛中，中国队获团体总分第一名．我国参赛选手比赛分数的方差计算公式：，下列说法正确的是（   ） A．样本容量为38，平均数为6 B．样本容量为6，平均数为6 C．样本容量为38，平均数为38 D．样本容量为6，平均数为38 【分析】解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．根据方差的计算公式即可分析求解． 【详解】解：由方差计算公式可知，样本容量为6，平均数为38，故D符合题意， 故选：D． D 探究二：方差的统计意义 新知探究 思考 结合方差的定义与前面的例题，你能否总结方差的统计意义？ 方差的统计意义： ①方差越大，数据的离散程度越大，波动越大，稳定性越差； ②方差越小，数据的离散程度越小，波动越小，稳定性越好. 我们用样本平均数估计总体平均数，同理，也可以用样本的方差估计总体的方差. 新知总结 方差的定义 1. 离差： 2. 方差公式： （1）方差越大 → 离散程度大 → 波动大 → 稳定性差 （2）方差越小 → 离散程度小 → 波动小 → 稳定性好 3.统计意义 即时训练 2.设甲组数据：6，6，6，6，的方差为，①乙组数据：1，2，3的方差为，则和分别是·多少？ 【分析】是样本数量，是样本平均数．分别计算甲组数据和乙组数据的平均数，再代入方差公式计算方差． 【详解】解：， ， ， ， 所以． 巩固练习 1.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】先比较大小，再根据方差越小，数据越稳定求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又每人10次射击成绩的平均数均是9.1环， ∴射击成绩最稳定的是丁， 故选：D． D 巩固练习 3.参加演讲比赛前，小林和小明在班级中进行赛前训练的10次成绩如图所示，根据图中的信息，他们成绩的方差的大小关系是： _（填“”“”或“”）． 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义可得，数据波动越大，则方差越大，求解即可． 【详解】解：由图可以看出，小林的成绩波动较大， ， 故答案为：． 巩固练习 3.一组数据，，，，中，唯一的众数是，这组数据的方差是 ______． 【分析】先根据众数的定义求出的值，再求出这组数据的平均数，然后根据方差公式计算即可． 【详解】解：由众数的定义得：， 这组数据的平均数为， 则这组数据的方差为． 故答案为：． 巩固练习 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 分数 10 13 12 14 16 4.小明同学参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分如下表，试求出五次成绩的平均值和方差分别为多少？ 五次测试成绩得分表 【分析】本题考查了平均数，方差，先求出平均数，再根据方差公式求方差． 【详解】解：， ． 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 人教版八下数学 数据的离散程度 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 方差的定义 设有 n 个数据 x₁, x₂, ..., xₙ，各数据与它们的平均数 x̄ 的 差的平方 的平均数，叫做这组数据的方差，记作 s²。 2. 方差的计算公式 s² = 1n [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (xₙ - x̄)²] 3. 方差的统计意义 方差用来衡量一组数据的 波动大小： 方差越大，数据的波动越 大，越不稳定。 方差越小，数据的波动越 小，越稳定。 易错点警示 计算平均数出错： 方差计算的前提是准确求出 平均数，若平均数算错，后续步骤全错。 漏掉平方： 公式中是“差的平方”，学生常漏掉 平方，直接计算差的平均数（结果恒为0）。 单位问题： 方差的单位是原数据单位的 平方。在实际问题中，若需单位一致，应使用标准差。 样本容量混淆： 公式前面的系数是 1n，不要漏掉数据个数 n。 解题技巧 1. 列表法计算 当数据较多时，建议采用列表法：第一列写原数据，第二列写与平均数的差，第三列写 差的平方，最后求和取平均。 2. 数据平移性质 若一组数据每个数都加上（或减去）同一个常数 a，则这组数据的方差 不变。 3. 数据伸缩性质 若一组数据每个数都扩大（或缩小）为原来的 k 倍，则这组数据的方差变为原来的 k² 倍。 $