第二次月考2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦数学核心素养，覆盖分式运算、平行四边形性质、动态几何等八年级下册重点，通过基础巩固（如因式分解）、能力提升（如阅读材料题）、创新应用（如工程问题）的梯度设计，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5题|分式值变化、多边形内角和、平行四边形面积关系|结合几何直观，考查概念辨析| |填空题|8题|因式分解、完全平方式、分式方程无解问题|注重运算能力，设置附加题提升区分度| |解答题|17题|动态几何（如点运动问题）、工程应用（如绿化费用计算）、推理证明（如平行四边形判定）|融合模型意识与推理能力，阅读材料题（如配方法）培养创新思维|

第二次月考2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一．选择题（共5小题） 1．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 2．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 3．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　） A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定 4．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C．4＝9 D． 5．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣3 二．填空题（共8小题） 6．当x＝　 　 时，分式的值为零． 7．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m＝　 　 ，n＝　 　 ． 8．若x2+2（m﹣1）x+36是完全平方式，则m＝　 　 ． 9．要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是　 　 ． 10．若关于x的方程无解，则m的值为 　 　 ． 11．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是　 　 ． 12．附加题：已知，则　 　 ． 13．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 三．解答题（共17小题） 14．分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 15．解分式方程：． 16．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状． 17．阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A） ∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2＝a2+b2（C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　 ； （2）错误的原因为：　 　 ； （3）本题正确的结论为：　 　 ． 18．利用因式分解计算：（1）（1）（1）…（1）（1）…（1） 19．先化简：（a+1），并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 20．已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 21．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式：x2+2x﹣3； （2）求多项式x2+6x﹣9的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2[1+x] ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是　 　 法，共应用了　 　 次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2010，则需要应用上述方法　 　 次，分解因式后的结果是　 　 ． （3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数），必须有简要的过程． 23．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？ （2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 24．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 25．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：∠DHF＝∠DEF． 26．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 27．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC＝EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 28．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长． 29．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求BQ的长，（用含t的代数式表示） （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值 （3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值． 30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 第二次月考2025-2026学年北师大版八年级数学下册 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【分析】x，y分别变成原来的3倍，就是变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系． 【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：， 则分式的值变为原来的． 故选：B． 【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 2．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180＝1080， 解得n＝8． ∴这个多边形的边数是8． 故选：C． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决． 3．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　） A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定 【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝DC，而△CMB的面积为SCD•高，△ADM的面积为S1MA•高，△CBM的面积为S2BM•高，这样得到S1+S2MA•高BM•高（MA+BM）•高AB•高＝S，由此则可以推出S，S1，S2的大小关系． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC， ∵△CMB的面积为SDC•高，△ADM的面积为S1MA•高，△CBM的面积为S2BM•高， 而它们的高都是等于平行四边形的高， ∴S1+S2AD•高BM•高（MA+BM）•高AB•高CD•高＝S， 则S，S1，S2的大小关系是S＝S1+S2． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式，分别表示出图形面积是解题关键． 4．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C．4＝9 D． 【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间＝9小时． 【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：． 所列方程为：9． 故选：A． 【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 5．若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．3 B．1 C．0 D．﹣3 【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a≤3，再解分式方程2，根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣2且a≠2，进而得到满足条件的整数a的值之和． 【解答】解：解不等式组，可得， ∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣10， ∴﹣4＜a≤3， 解分式方程2，可得y（a+2）， 又∵分式方程有非负数解， ∴y≥0，且y≠2， 即（a+2）≥0，（a+2）≠2， 解得a≥﹣2且a≠2， ∴﹣2≤a≤3，且a≠2， ∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3， ∴满足条件的整数a的值之和是1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 二．填空题（共8小题） 6．当x＝　﹣3　 时，分式的值为零． 【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【解答】解：要使分式由分子x2﹣9＝0解得：x＝±3． 而x＝﹣3时，分母x﹣3＝﹣6≠0． x＝3时分母x﹣3＝0，分式没有意义． 所以x的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 7．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m＝　6　 ，n＝　1　 ． 【分析】将（x+5）（x+n）展开，得到，使得x2+（n+5）x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可． 【解答】解：∵（x+5）（x+n）＝x2+（n+5）x+5n， ∴x2+mx+5＝x2+（n+5）x+5n ∴， ∴， 故答案为：6，1． 【点评】本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可． 8．若x2+2（m﹣1）x+36是完全平方式，则m＝　7或﹣5　 ． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+36是完全平方式， ∴m﹣1＝±6， 解得：m＝7或﹣5， 故答案为：7或﹣5 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9．要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是a≥﹣3且a≠±1　 ． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，a+3≥0且a2﹣1≠0， 解得a≥﹣3且a≠±1． 故答案为：a≥﹣3且a≠±1． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 10．若关于x的方程无解，则m的值为 　﹣1或5或　 ． 【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案． 【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3， 可得：（m+1）x＝5m﹣1， 当m+1＝0时，一元一次方程无解， 此时m＝﹣1， 当m+1≠0时， 则x±4， 解得：m＝5或， 综上所述：m＝﹣1或5或， 故答案为：﹣1或5或． 【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键． 11．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是m＜0，且m≠﹣2　 ． 【分析】先解方程，再利用方程的解大于1，且x≠2求解即可． 【解答】解：方程两边乘x﹣2得：x+m＝2﹣x， 移项得：2x＝2﹣m， 系数化为1得：x， ∵方程的解大于1， ∴1，且2，解得m＜0，且m≠﹣2． 故答案为：m＜0，且m≠﹣2． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是不要漏掉分式方程有意义的条件． 12．附加题：已知，则　1　 ． 【分析】根据题意可得到a+b＝4ab，而所求代数式可以化简为，把前面的等式代入即可求出其值． 【解答】解：∵， ∴a+b＝4ab， 则1． 【点评】主要考查了分式的化简式求值问题．分式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取关于ab，与a+b的关系，然后把所求的分式变形整理出题设中的形式，利用“整体代入法”求分式的值． 13．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 　3　 ． 【分析】只要证明△BOE≌△DOF，可得S阴影＝S△AODS平行四边形ABCD，再根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，据此即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠OBE＝∠ODF， ∵∠BOE＝∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴S阴影＝S△AODS平行四边形ABCD， ∵AB＝3，AC＝4，BC＝AD＝5， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴S阴影＝S△AODS平行四边形ABCD＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 三．解答题（共17小题） 14．分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可． 【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m） ＝（m﹣2）（x2﹣y2） ＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 15．解分式方程：． 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解答】解：原方程两边同乘以（x﹣1），得﹣3＝x﹣5（x﹣1）， 去括号，得﹣3＝x﹣5x+5， 移项，得﹣x+5x＝5+3， 合并同类项，得4x＝8， 解得x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 16．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状． 【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状． 【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0 ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0 （a﹣b）2+（b﹣c）2＝0 ∴a﹣b＝0且b﹣c＝0 即a＝b＝c，故该三角形是等边三角形． 【点评】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状． 17．阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A） ∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2＝a2+b2（C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：C ； （2）错误的原因为：　没有考虑a＝b的情况　 ； （3）本题正确的结论为：　△ABC是等腰三角形或直角三角形　 ． 【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题； （2）根据题目中B到C可知没有考虑a＝b的情况； （3）根据题意可以写出正确的结论． 【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得， 错误步骤的代号为：C， 故答案为：C； （2）错误的原因为：没有考虑a＝b的情况， 故答案为：没有考虑a＝b的情况； （3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形， 故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面． 18．利用因式分解计算：（1）（1）（1）…（1）（1）…（1） 【分析】把每个括号内利用平方差分解因式，再分别求和差后进行求积即可． 【解答】解： （1）（1）（1）…（1）（1）…（1） ＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）+…+（1）（1） ． 【点评】本题主要考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题的关键． 19．先化简：（a+1），并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在0，﹣1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【解答】解：（a+1） ， 当a＝0时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20．已知关于x的分式方程 （1）若方程的增根为x＝1，求m的值 （2）若方程有增根，求m的值 （3）若方程无解，求m的值． 【分析】方程去分母转化为整式方程， （1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可； （2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值； （3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可． 【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1）， 去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1， 移项合并得：（m+1）x＝﹣5， （1）∵x＝1是分式方程的增根， ∴1+m＝﹣5， 解得：m＝﹣6； （2）∵原分式方程有增根， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x＝﹣2或x＝1， 当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6； 综上，m＝1.5或﹣6； （3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1； 当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m， 综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 21．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式：x2+2x﹣3； （2）求多项式x2+6x﹣9的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质即可求解． 【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）； （2）x2+6x﹣9＝x2+6x+（）29＝（x+3）2﹣18， ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2﹣18≥﹣18， ∴多项式x2+6x﹣9的最小值为﹣18； （3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， ∴a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0， 即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25﹣9﹣16﹣25+50＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长为3+4+5＝12． 【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2[1+x] ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是　提取公因式　 法，共应用了　2　 次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2010，则需要应用上述方法　2010　 次，分解因式后的结果是　（1+x）2011 ． （3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数），必须有简要的过程． 【分析】（1）首先提取公因式（1+x），再次将[1+x+x（1+x）]提取公因式（1+x），进而得出答案； （2）根据（1）种方法即可得出分解因式后的结果； （3）参照上式规律即可得出解题方法，求出即可． 【解答】解：（1）根据已知可以直接得出答案： 故答案为：提取公因式，2； （2）2010，（1+x）2011； （3）解：原式＝（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）（n﹣1）]， ＝（1+x）2[1+x+x（1+x）x（1+x）（n﹣2）]， ＝（1+x）n+1． 【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，做题的关键是：①正确找到公因式，②注意观察寻找规律． 23．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？ （2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可； （2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可． 【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得： 4， 解得：x＝50， 经检验x＝50是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2）， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2； （2）设应安排甲队工作y天，根据题意得： 0.4y0.25≤8， 解得：y≥10， 答：至少应安排甲队工作10天． 【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验． 24．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量＝1． （2）把在工期内的情况进行比较． 【解答】解：（1）设乙队单独完成需x天． 根据题意，得：20+（）×24＝1． 解这个方程得：x＝90． 经检验，x＝90是原方程的解． ∴乙队单独完成需90天． 答：乙队单独完成需90天． （2）设甲、乙合作完成需y天，则有（）×y＝1． 解得，y＝36， ①甲单独完成需付工程款为60×3.5＝210（万元）． ②乙单独完成超过计划天数不符题意， ③甲、乙合作完成需付工程款为36×（3.5+2）＝198（万元）． 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 25．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）求证：∠DHF＝∠DEF． 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可； （2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF＝∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH＝AD，FH＝AF，再根据等边对等角可得∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA，然后求出∠DHF＝∠BAC，等量代换即可得到∠DHF＝∠DEF． 【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点， ∴DE、EF都是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，DE∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形； （2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴∠DEF＝∠BAC， ∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高， ∴DH＝AD，FH＝AF， ∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA， ∵∠DAH+∠FAH＝∠BAC， ∠DHA+∠FHA＝∠DHF， ∴∠DHF＝∠BAC， ∴∠DHF＝∠DEF． 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 26．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， 在△DEO和△BOF中， ∴△DOE≌△BOF． （2）解：结论：四边形EBFD是矩形． 理由：∵OD＝OB，OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD＝EF， ∴四边形EBFD是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 27．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC＝EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论； （2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB＝2AF ∴AF＝BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC＝EF； （2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝60°，AC＝AD， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90° 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC＝EF，AC＝AD， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键． 28．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长． 【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG＝AC＝4，GF＝CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解． 【解答】解：∵AD、AE分别是其角平分线和中线， ∴∠GAF＝∠CAF，BD＝DC， ∵CG⊥AD， ∴∠AFG＝∠AFC＝90°， 在△AGF和△ACF中， ， ∴△AGF≌△ACF（ASA）， ∴AG＝AC＝6，GF＝CF， 则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2． 又∵BE＝CE， ∴EF是△BCG的中位线， ∴EFBG＝1． 【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF＝CF是关键． 29．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求BQ的长，（用含t的代数式表示） （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值 （3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值． 【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP＝CQ＝t，则BQ即可用t表示； （2）由题意知AP∥BQ，根据AP＝BQ，列出方程即可得解； （3）方法一：如图，先求出OA和OE的长，若O在线段AP的垂直平分线上，则AE，在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，列方程可得t的值． 方法二：如图，连接AQ，CP，证明四边形AQCP为平行四边形，由面积法求出AQ，由勾股定理求出BQ的长，则可得出CQ的长，则可求出答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠PAO＝∠QCO， ∵∠AOP＝∠COQ， ∴△APO≌△CQO（ASA）， ∴AP＝CQ＝t， ∵BC＝5， ∴BQ＝5﹣t； （2）∵AP∥BQ， 当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形， 即t＝5﹣t， t， ∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形； （3）t， 方法一：如图， Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5， ∴AC4， ∴AO＝COAC＝2， ∵， ∴AB•AC＝BC•EF， ∴3×4＝5×EF， ∴， ∴， ∵OE是AP的垂直平分线， ∴AEAPt，∠AEO＝90°， 由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2， ∴， ∴t或（舍）， ∴当t秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 方法二：如图，连接AQ，CP， ∵AP＝CQ，AP∥CQ， ∴四边形AQCP为平行四边形， ∵O在线段AP的垂直平分线上， ∴OA＝OP， ∴AC＝PQ， ∴四边形AQCP为矩形， ∴∠AQC＝90°， 同方法一求出EF＝AQ， ∴BQ， ∴QC＝BC﹣BQ＝5， ∴， ∴当t秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案． 【解答】解：∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝8， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得： 3t﹣8＝6﹣t， 解得：t＝3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得： 8﹣3t＝6﹣t， 解得：t＝1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $