全等三角形的性质、全等三角形中的动点存在性问题讲义-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

本初中数学讲义聚焦全等三角形的性质与动点存在性问题，系统梳理全等三角形对应边、角相等及周长、面积等延伸性质，进而过渡到动点存在性问题的判定依据与分类讨论对应顶点，构建从基础到综合应用的递进学习支架。 资料精选多地期中期末真题作为例题与变式训练，通过分类讨论动点对应关系培养推理意识，借助等量转化提升几何直观，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，落实数学思维与应用意识的培养。

全等三角形的性质、全等三角形中的动点存在性问题讲义 全等三角形的性质、全等三角形中的动点存在性问题讲义 考点目录 全等三角形的性质 全等三角形中的动点存在性问题 考点一 全等三角形的性质 【知识点解析】 知识点 1. 核心性质：全等三角形对应边相等、对应角相等 1. 延伸性质：周长相等、面积相等、对应中线/高线/角平分线全部相等 1. 书写规范：对应顶点顺序必须一致，避免边角对应错乱 1. 常用推论：可直接推平行、垂直、角相等、线段相等 解题原理 利用全等带来的全部等量关系，实现线段、角度之间等量转化，完成求值、证平行、证垂直。 解题思路 1. 找准全等三角形，按顺序确定对应边、对应角 1. 直接套用性质得出相等线段与相等角 1. 结合平行线、直角、外角定理进一步推导结论 1. 代入线段长度、角度进行计算求解 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 例2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 例3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点B，C，D在同一直线上，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等得出，，即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 例4．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，，则的周长为_____． 【答案】 16 【分析】根据全等三角形的性质得到，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴的周长为． 例5．（25-26七年级下·山西·期中）如图，已知，若，，则的长为_____． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解： ， ． 例6．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【答案】15 【分析】由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 变式2．（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 变式3．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应边相等先得到的长，再根据线段差求解即可． 【详解】，， ， ， ． 变式4．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，B、E、C、F在一条直线上，若，则_____ ． 【答案】4 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 变式5．（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，，，，则的长是 _______ ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 变式6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，是的角平分线，，若，则___________． 【答案】 【分析】先根据角平分线的定义得出，再根据全等三角形的性质得出． 【详解】解：是的角平分线，即平分， ， ， ． 考点二 全等三角形中的动点存在性问题 【知识点解析】 知识点 1. 判定依据：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 1. 动点类型：点在线段、射线、直线上运动 1. 核心要点：分类讨论对应顶点，位置不同对应关系不同 1. 隐含条件：固定边长、固定角度、公共边、公共角 解题原理 固定一组边角条件，设出动点线段长度，根据全等对应关系列等式，求出动点位置与运动时间。 解题思路 1. 定不变量：找出图形中固定不变的边与角 1. 设未知数：设动点路程、运动时间，表示出动点线段长 1. 分类讨论：分多种顶点对应情况讨论全等 1. 列等量方程：根据对应边相等列方程求解 1. 检验取舍：验证解是否符合动点运动范围，舍去不合理答案 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，，点从点出发向以每秒的速度运动；点从点出发向点以每秒的速度运动．点在点出发后开始运动，其中一点到达点时两点都停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_____秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．根据题意可得，分别表示出的代数式，列出方程求解，即可求得t值． 【详解】解：点N从B到C的时间：，点N出发4秒后，点M开始运动，则点M到点C的时间为：， 则时，两点停止运动， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等， ∴只存在， ∴， 根据题意，得，， ∴，， ∴， 解得（符合题意）． 则当秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 故答案为：． 例2．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是_______． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用全等三角形对应边相等列方程是解题的关键． 设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，则，，，，根据题意分两种情况讨论：①，，②，，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为， 则，，，， 若， 则，， ，， 解得：，； 若， 则，， ，， 解得：，； 综上，的运动速度是或， 故答案为：或． 例3．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 例4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 例5．（25-26八年级上·四川南充·月考）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，且． (1) (用含的代数式表示)． (2)如图 2，当点 从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿 向点 运动，是否存在这样的值，使得以 、、 为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析； 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． （1）根据题意求出，然后根据计算即可； （2）分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点P的速度是， ∴后， ， 故答案为：； （2）由题意得：，， 只存在和两种情况， 当时， ，， ， ， 解得，，， 当时， ，， ， ， 解得，， 综上所述，当或时，和全等． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 2或3 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：；或． 变式2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为____时，与全等． 【答案】2或3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的运用，理解全等三角形的性质，正确列方程求解是关键，根据题意，分类讨论，列方程求解即可． 【详解】解：，点是中点， ∴， 设点运动时间为， ∴，则， 当时 ，， ∴， 解得，， 此时， ∴点的运动速度为； 当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或， 故答案为：2或3 ． 变式3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）由得到，然后列方程求解即可； （4）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；； （2）解：当时，P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）如图所示， ∵ ∴ ∴ ∴； （4）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以的速度向终点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)若，求所有满足条件的值． 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)当或4时， 【分析】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． （1）根据点从点出发、点从点出发的速度、结合图形解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点从点运动至点、从点返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 当时，； （2）解：由题意得，， 当时，有，即，此时无解； 当时，有，即， 解得； （3）解：当时，， 则，即， 解得， 当时，， 则，即， 解得， 综上所述：当或4时，． 变式5．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，设运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示） (2)若存在值，可以使与全等．求的值． 【答案】(1)； (2)的值为2.4或2． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． （1）根据题意列出式子即可； （2）分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $全等三角形的性质、全等三角形中的动点存在性问题讲义 全等三角形的性质、全等三角形中的动点存在性问题讲义 考点目录 全等三角形的性质 全等三角形中的动点存在性问题 考点一 全等三角形的性质 【知识点解析】 知识点 1. 核心性质：全等三角形对应边相等、对应角相等 1. 延伸性质：周长相等、面积相等、对应中线/高线/角平分线全部相等 1. 书写规范：对应顶点顺序必须一致，避免边角对应错乱 1. 常用推论：可直接推平行、垂直、角相等、线段相等 解题原理 利用全等带来的全部等量关系，实现线段、角度之间等量转化，完成求值、证平行、证垂直。 解题思路 1. 找准全等三角形，按顺序确定对应边、对应角 1. 直接套用性质得出相等线段与相等角 1. 结合平行线、直角、外角定理进一步推导结论 1. 代入线段长度、角度进行计算求解 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点E、C为线段上的点，满足，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点B，C，D在同一直线上，，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例4．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，，则的周长为_____． 例5．（25-26七年级下·山西·期中）如图，已知，若，，则的长为_____． 例6．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 变式2．（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 变式3．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，，，，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 变式4．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，B、E、C、F在一条直线上，若，则_____ ． 变式5．（25-26八年级上·福建福州·月考）如图，，，，则的长是 _______ ． 变式6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，是的角平分线，，若，则___________． 考点二 全等三角形中的动点存在性问题 【知识点解析】 知识点 1. 判定依据：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 1. 动点类型：点在线段、射线、直线上运动 1. 核心要点：分类讨论对应顶点，位置不同对应关系不同 1. 隐含条件：固定边长、固定角度、公共边、公共角 解题原理 固定一组边角条件，设出动点线段长度，根据全等对应关系列等式，求出动点位置与运动时间。 解题思路 1. 定不变量：找出图形中固定不变的边与角 1. 设未知数：设动点路程、运动时间，表示出动点线段长 1. 分类讨论：分多种顶点对应情况讨论全等 1. 列等量方程：根据对应边相等列方程求解 1. 检验取舍：验证解是否符合动点运动范围，舍去不合理答案 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，中，，，，点从点出发向以每秒的速度运动；点从点出发向点以每秒的速度运动．点在点出发后开始运动，其中一点到达点时两点都停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_____秒时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等． 例2．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动，当点P运动结束时，点Q随之结束运动，当点P和点Q运动到某处时有与全等，则Q的运动速度是_______． 例3．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 例4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 例5．（25-26八年级上·四川南充·月考）如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为，且． (1) (用含的代数式表示)． (2)如图 2，当点 从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿 向点 运动，是否存在这样的值，使得以 、、 为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 变式2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为____时，与全等． 变式3．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，______；______（用含t的代数式表示）； (2)当时，的面积______； (3)连接、，当时，求t的值； (4)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积． 变式4．（25-26八年级上·河北衡水·阶段检测）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以的速度向终点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)若，求所有满足条件的值． 变式5．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，设运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示） (2)若存在值，可以使与全等．求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $