第05讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题（知识点+大题型+过关测）（寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版数学七年级下册（云南专用）

第05讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题 思维导图 知识点1：猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1） ∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN， ∴PQ∥AM∥BN， ∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB， 即：∠APB＝∠A+∠B． （2） 根据（1）中结论同理可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律同理可得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 知识点2：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】 (1)在图1中，过P作AM∥PQ， ∵AM∥BN， ∴PQ∥BN∥AM， ∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°； （2）在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN， ∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； （3）在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律同理可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 知识点3：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】 （1） 在图1中，过E作AB的平行线EF， ∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD， ∴EF∥CD∥AB， ∴∠3+∠FED＝180°， 即：∠3+∠2+∠FEB＝180°， ∴∠1=∠2+∠3. （3） 在图2中，过E作AB的平行线EF， （4） ∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠3=∠FEC， 即：∠3-∠2=∠FEB， ∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 知识点4：羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】 （1） 在图1中，过C作AB的平行线CF， ∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE， ∴CF∥DE∥AB， ∴∠=∠FCD， ∵∠=∠FCD-∠FCB， ∴∠=∠-∠. （2） 在图2中，过C作AB的平行线CF， ∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE， ∴CF∥DE∥AB， ∴∠+∠FCD=180°， ∵∠FCD=∠+∠FCB， ∴∠+∠+∠-∠=180°. 注意;羊角模型的证明也可“不”添加其他辅助线，直接利用邻补角与三角形内角和为180°去进行等量代换。 知识点5：蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】 （1）在图1中，过C作AB的平行线CF， ∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE， ∴CF∥DE∥AB， ∴∠+∠FCD=180°， ∵∠=∠FCD+∠FCB， ∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF， ∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB， ∴∠=∠FCD， ∵∠=∠FCD+∠FCB， ∴∠+∠=∠+180° 【题型1 猪蹄模型（M型）与锯齿模型】 例1．（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 例2．（23-24七年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务．   “猪蹄模型”巧解复杂题目 观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形抽象地称为“猪蹄模型”．猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．如图1，，E为之间的一点，连接，可以得到． 证明：如图2，过点E作． ，（依据1）， （依据2），， ． 拓展应用：如图3，，平分，将线段沿方向平移至．若，平分，求的大小． 任务： (1)材料中的依据1是指：________________，依据2是指：________________． (2)根据材料提供的方法，直接写出拓展应用的结果． 变式1．（23-24七年级下·陕西西安·月考）已知， (1)如图，求； (2)如图，求； (3)如图，求． 变式2．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【题型2 铅笔头模型】 例3．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 例4．（23-24七年级下·山西运城·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．归纳模型：若，如图①“”型和如图②铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图①，，之间的数量关系是________． （2）如图②，，之间的数量关系是________． 【问题迁移】 （3）如图③，，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． （4）如图④，，、分别是、的角平分线，探索、之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图⑤，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点落在直线上，过点作直线，且满足． （5）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 变式1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）【图形感知】 如图1，，点在直线上，点在直线上，点为、之间一点．      （1）如图2，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图①，过点作， ∵，（已知）， ∴_________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，， ∴（等式性质） ∴． （2）如图3，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面结论的推理思路可得、、之间的关系是________； 【结论应用】直接利用上述结论进行证明； （3）如图4，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点．猜想并证明与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图5，已知，与两个角的角平分线相交于点． 若，，设，________．（用含有，的代数式表示） 变式2.（23-24七年级下·山西吕梁·月考）综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 【题型3 牛角模型】 例5．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 例6．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 变式1．直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【题型4 羊角模型】 例7．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 例8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 【题型5 蛇形模型（“5”字模型）】 例9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例10．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 变式2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 过关检测 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向，从C岛看A、B两岛的视角是（　　）度 A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 8．（25-26七年级上·海南海口·期末）如图，小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是 ． 9．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 10．（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 12．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 13．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程．证明：过点B作， ∴___________（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（   ）， ∴___________， ∵， ∴． 【类比探究】 （2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线、之间的点，连接、、、，平分，平分，设，，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3） 如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线、之间一点，连接、，平分，平分，，已知，试探究的度数 1．B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． 过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了平行线的判定定理、平行线的性质定理以及角的和差关系．根据同位角相等两直线平行可得，以及两直线平行，内错角相等得，再结合两直线平行，同旁内角互补得，即可解题． 【详解】解：， ， ， 又， ， ．故选． 5．C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查方位角及平行线的判定与性质，熟练掌握方位角及平行线的性质是解题的关键；过点作，由题意易得，则有，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．/度 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点C作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． 故答案为：． 9． 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了平行线的性质，通过作平行线将角进行转化是解题的关键． 过点作，过点作，通过“两直线平行，同旁内角互补”得，进而得，根据、与、 的数量关系，得出的和，结合辅助线的平行关系，将、转化为、，即可得的度数． 【详解】解：如图，过点作，过点作，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．(1) (2) (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (4)这两个角的度数为，或，． 【分析】本题考查了平行线的性质以及角度关系的推理和计算，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （2）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （3）根据（1）（2）的数量关系即可得出结论； （4）根据（3）的结论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：用一句话归纳的结论为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设另一个角为，则这个角为， 当这两个角相等时， ， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 当这两个角互补时， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 综上所述：这两个角的度数为，或，． 12．(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（1）见解析；（2）；（3） 【详解】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质和判定填空作答即可． （2）因为平分，平分，所以，，根据（1）的，，进行角的等量代换，即可作答． （3）先根据平分，平分，所以，，因为，得，再结合以及（1）的结论进行角的等量代换，即可作答． 【解答】（1）证明：过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，平行于同一直线的两直线平行，； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴由（1）可得，， ∴； ∴的度数为． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴由（1）可得． ∴ ． ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $