专题09利用三角形全等测距离 复习讲义（6大核心题型+重点知识梳理）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期数学.

专题09利用三角形全等测距离复习讲义 高效复习◆重点 1.理解利用三角形全等测距离的核心原理，掌握将实际距离问题转化为三角形全等问题的思路； 2.熟练运用三角形全等判定定理，解决各类实际场景中的距离测量问题； 3.规范解题步骤，明确建模、证明、推导的完整流程，提升几何应用能力； 核心题型◆归纳 题型1添加条件使三角形全等 题型2倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型3旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 题型4垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型5全等三角形综合问题 题型6提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、全等三角形测距离的理论依据 全等三角形的对应边相等，通过构造全等三角形，把无法直接测量的线段（距离），转化为可直接测量的线段，进而求出未知距离。 知识点二、常用三角形全等判定定理 边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等，实际应用中最常用； 角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等； 角角边（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等； 斜边、直角边（HL）：仅适用于直角三角形场景的距离测量。 知识点三、常见实际应用场景及解题思路 测量池塘两端、河两岸两点间距离 方法：在岸边选取合适测点，构造全等三角形，使待测距离为全等三角形的一组对应边； 解题步骤： 明确待测两点，选取便于测量的辅助点，画出构造的几何图形； 标注已知条件，证明构造的两个三角形全等； 根据全等三角形对应边相等，得出待测距离等于可测线段长度； 测量可测线段长度，即为所求未知距离。 知识点四、测量内部无法跨越的两点距离（如建筑物、障碍物两侧） 建模方法：利用中点、平行线、垂直关系，构造全等三角形； 关键技巧：借助公共边、对顶角、直角等隐含条件，快速证明三角形全等。 知识点五、利用标杆、工具测量距离 根据角平分线、垂直、等长线段，构造满足SAS、ASA判定条件的全等三角形，实现间接测量。 知识点六、标准解题步骤（规范答题） 画图建模：根据实际情境，画出对应的几何图形，标注顶点、已知线段和角； 说明构造：阐述辅助点、辅助线的选取方式，以及构造图形的条件； 证明全等：选用合适的全等判定定理，严谨证明两个三角形全等； 推导结论：根据全等三角形对应边相等，建立待测距离与可测距离的等量关系； 得出结果：明确待测距离的长度，完成解题。 知识点七、解题关键技巧 找准构造全等三角形的条件，优先利用公共边、公共角、对顶角、直角、中点、等长线段； 实际测量中，保证构造的三角形边长、角度测量精准，确保结果准确； 优先选择SAS定理进行构造，操作简便、证明快捷； 明确对应关系，避免因对应边混淆导致解题错误。 题型解析◆精准备考 题型1添加条件使三角形全等 1．如图，已知，下列所给条件能证明的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 3．如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 题型2倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 3．（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 题型3旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 3． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 题型4垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 2．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 3．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 题型5全等三角形综合问题 1．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 3．某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，，，，交于点，补充下列（   ）条件，无法得到． A． B． C． D． 2．小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 3．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 4．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 6．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 7．若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 8．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 9．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   10．如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 三、解答题 11．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 12．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 13．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 14．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09利用三角形全等测距离复习讲义 高效复习◆重点 1.理解利用三角形全等测距离的核心原理，掌握将实际距离问题转化为三角形全等问题的思路； 2.熟练运用三角形全等判定定理，解决各类实际场景中的距离测量问题； 3.规范解题步骤，明确建模、证明、推导的完整流程，提升几何应用能力； 核心题型◆归纳 题型1添加条件使三角形全等 题型2倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型3旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 题型4垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 题型5全等三角形综合问题 题型6提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、全等三角形测距离的理论依据 全等三角形的对应边相等，通过构造全等三角形，把无法直接测量的线段（距离），转化为可直接测量的线段，进而求出未知距离。 知识点二、常用三角形全等判定定理 边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等，实际应用中最常用； 角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等； 角角边（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等； 斜边、直角边（HL）：仅适用于直角三角形场景的距离测量。 知识点三、常见实际应用场景及解题思路 1.测量池塘两端、河两岸两点间距离 方法：在岸边选取合适测点，构造全等三角形，使待测距离为全等三角形的一组对应边； 解题步骤： 明确待测两点，选取便于测量的辅助点，画出构造的几何图形； 标注已知条件，证明构造的两个三角形全等； 根据全等三角形对应边相等，得出待测距离等于可测线段长度； 测量可测线段长度，即为所求未知距离。 知识点四、测量内部无法跨越的两点距离（如建筑物、障碍物两侧） 建模方法：利用中点、平行线、垂直关系，构造全等三角形； 关键技巧：借助公共边、对顶角、直角等隐含条件，快速证明三角形全等。 知识点五、利用标杆、工具测量距离 根据角平分线、垂直、等长线段，构造满足SAS、ASA判定条件的全等三角形，实现间接测量。 知识点六、标准解题步骤（规范答题） 画图建模：根据实际情境，画出对应的几何图形，标注顶点、已知线段和角； 说明构造：阐述辅助点、辅助线的选取方式，以及构造图形的条件； 证明全等：选用合适的全等判定定理，严谨证明两个三角形全等； 推导结论：根据全等三角形对应边相等，建立待测距离与可测距离的等量关系； 得出结果：明确待测距离的长度，完成解题。 知识点七、解题关键技巧 找准构造全等三角形的条件，优先利用公共边、公共角、对顶角、直角、中点、等长线段； 实际测量中，保证构造的三角形边长、角度测量精准，确保结果准确； 优先选择SAS定理进行构造，操作简便、证明快捷； 明确对应关系，避免因对应边混淆导致解题错误。 题型解析◆精准备考 题型1添加条件使三角形全等 1．如图，已知，下列所给条件能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A、添加，无法证明，故本选项不符合题意； B、添加，无法证明，故本选项不符合题意； C、添加，满足“边边边”，可证明，故本选项符合题意； D、添加，无法证明，故本选项不符合题意； 2．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 【答案】（答案不唯一，填或亦可） 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 3．如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键；利用全等三角形的证明方法添加条件证明即可． 【详解】解：可添加，证明如下： ，点，在线段上， ， ， ，， ． 题型2倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：延长到E，使，连接，如下图： ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴ 根据三角形的三边关系得∶ ， 即： ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 3．（1）已知，如图中，是边上的中线，求证： （2）中，已知，求的取值范围是________． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，关键是添加辅助线构造全等三角形． （1）可延长到，使，连接，则得，进而在中利用三角形三边关系证明即可； （2）根据全等三角形的性质及三角形三边关系求解即可． 【详解】证明：延长到，使，连接， 是边上的中线， 在和中， （） 在中，则， 即， （2）解：在中，， 由（1）知，，， ，， ， 题型3旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=，由旋转的性质推出≌，求出∠FAE=∠BAD=，即可得到答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=， 由旋转得≌， ∴∠FAB=∠EAD， ∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴∠FAE=∠BAD=， ∴旋转角的度数是， 故选：B． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°至AB′，连接B'C，则△AB′C的面积为 _____． 【答案】 【分析】根据题意过点B'作B'H⊥AC于H，由全等三角形的判定得出△ACB≌△B'HA（AAS），得AC＝B'H＝4，则有S△AB'C＝AC•B′H即可求得答案． 【详解】解：过点B'作B'H⊥AC于H， ∴∠AHB'＝90°，∠BAB'=90°， ∴∠HAB'+∠HB'A＝90°，∠BAC+∠CAB'＝90°， ∴∠HB'A＝∠CAB， 在△ACB和△B'HA中， ， ∴△ACB≌△B'HA（AAS）， ∴AC＝B'H， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， ∴AC＝B'H＝4， ∴S△AB'C＝AC•B′H＝×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质和旋转的性质以及勾股定理，根据题意利用全等三角形的判定证明△ACB≌△B'HA是解决问题的关键． 3． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型4垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 1．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCF，AB=BC， 又∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴为等腰直角三角形， 故选：D 2．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 3．如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【答案】(1)方案见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的性质设计图形即可； （2）利用“”即可证明方案的可行性． 【详解】（1）解：如图所示： 过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E 测量线段的长即可． （2）证明：∵，， ∴ ， ∵C为的中点， ∴， ∴在和中： ∴， ∴． 题型5全等三角形综合问题 1．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 且， ， 在和中，， ， ， 故②正确； 由②可知， ， 由②可知， ， ， ， ， ， 故③不成立； 如下图所示，过点作， 则四边形是矩形， 由②可知， ， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ， 由②可知， ， ， ； 综上所述，结论正确的有①②④． 2．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上向点运动，同时，点在线段上从点向点运动；已知点的运动速度是．则经过__________，与全等． 【答案】1或4 【分析】设运动的时间为，由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当△△，则有，同样可得出的方程，可求出的值． 【详解】解：设运动的时间为，分两种情况： ①当，时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点运动， ； ②当，时，， 由题意得：， 解得：， 综上，经过或，与全等． 3．某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【答案】小明的证明不正确，正确的证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，利用已知条件，发掘隐含条件，通过添加辅助线创造条件来判定三角形全等，切记一定要规避 “” 陷阱．因为, 不属于某个三角形的一条边，所以不能直接运用这个条件．连接，先利用证明，得到，再通过证出． 【详解】解：小明的证明不正确． 正确方法如下：如图，连接， 在和中， , ∴, ∴, 在和中， , ∴． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，，，，交于点，补充下列（   ）条件，无法得到． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理，结合已知条件和公共边，逐一分析各选项即可得出结论； 【详解】解：，， ， 在和中，已知公共边， 选项 A、若，利用可证，不符合题意； 选项 B、若，利用可证，不符合题意； 选项 D、若，利用可证，不符合题意； 选项 C、与 为对顶角，始终相等，无法得到边或角的相等关系，不能判定，符合题意． 2．小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则，由题意可得，证明，得出，再由三角形三边关系得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴边上的中线长可能是， 故选：C． 3．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 4．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件利用证明，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】 解：A．在和中， ， ， 故选项A不符合题意； B．， ， 即， 在和中， ， ， 故选项B不符合题意； C．， ， ， 即， 故选项C不符合题意； D．与是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等， ∴选项D符合题意． 二、填空题 5．如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一 、 ） 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵点在同一直线上，， ∴， ∴； 又∵， 根据平行线的性质，得 此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可： 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等，以上均正确 综上， 答案不唯一，，、 都正确． 6．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是____________． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依据全等三角形的对应边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 7．若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 8．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 9．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 10．如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可分当点E在直线的上方时，当点E在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可分：当点E在直线的上方时， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为； 当点E在直线的下方时， 同理可得：， ∴， ∴点E的运动时间为； 综上所述：当点E运动或时，有； 故答案为：或． 三、解答题 11．如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是___________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①或③ (2)证明见解析 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【详解】（1）解：选①或③； （2）解：选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 12．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 13．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 14．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $