精品解析：重庆凤鸣山中学教共体2025-2026学年七年级下学期半期数学试卷

重庆市凤鸣山中学教共体学校2025-2026学年度下期 2025级数学学科半期考试试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵原方程为， ∴移项，得， 解得：． 2. 为铭记历史传承文化，沙坪坝区将每年的3月30日设立为“沙磁文化日”．下列文字图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：， ∴ 对于A，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，该选项正确． 对于B，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，该选项错误． 对于C，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，该选项错误． 对于D，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，该选项错误． 4. 若三角形的三边长分别是，，．则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．解题思路是利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合选项判断符合条件的值． 【详解】解：∵ 三角形三边长为1，3，， ∴ ， 即 ， A选项中，2不满足，故A选项不符合题意； B选项中，3满足，故B选项符合题意； C选项中，4不满足，故C选项不符合题意； D选项中，5不满足，故D选项不符合题意． 5. 关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的解集在数轴上表示为： 6. 如图，把沿射线方向平移，得到．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，，进而即可求解． 【详解】解：根据平移的性质可得，， ∴ 7. 若关于，的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程组的两个方程相加可得，再整理可得，然后得出关于k的方程，求出解即可． 【详解】解：, 由得， 两边乘以2，得． ∵， ∴， 解得． 8. 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子． 明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即， 若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即， 因此，可列方程组为， 故选：C． 9. 如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 10. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式的和为； ②若是关于的方程的解，则必有； ③若时，整式，则关于的不等式的解集是． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据系数的限制条件，逐个推导验证三个说法即可判断正误． 【详解】解：∵，为自然数，为正整数，；对，为自然数，为正整数， ，逐个验证： ∵为正整数， ∴ ， ，又 ， ∴． 当时，，仅得 ，对应； 当时，，正整数解为 ，对应，； 所有整式的和为： ，故①正确； ∵是方程的解，代入得 ，又 ， 两式相减得，解得，故必有，②正确； 当时，代入得 ，将代入得： ， 整理得． ∵为正整数，仅得 ，，故； 同理，当时，代入得 ，将代入得： ，整理得． ∵为正整数，仅得 ， ，故， 计算 ，不等式 即 ，解得，故③正确． 综上，三个说法都正确． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是方程的解，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：. 12. 由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可 【详解】解：x的2倍可表示为，x的2倍与3的和可表示为， 根据和等于5，列方程为 13. 已知方程，用含的式子表示，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】将x单独放在等号一侧，其余项移到等号另一侧，再通过系数化为1得到结果 【详解】解：对 移项，得 ， 系数化为，得   14. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为__________． 【答案】40 【解析】 【分析】由正多边形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数，最后根据平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图所示， 由题意得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵太阳光线是平行光线， ∴． 15. 关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 【答案】28 【解析】 【分析】先求解方程得到用表示的，根据解为整数判断的性质，再解不等式组得到解集，根据不等式组仅有3个整数解确定的取值范围，结合条件找出所有符合的整数，求和即可． 【详解】解：解方程，得： ． ∵方程的解是整数， ∴为偶数，可得a为奇数． 解不等式组 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得． ∵a为整数，且a为奇数， ∴符合条件的整数a为13，15， ∴满足条件的所有整数a的和为． 16. 一个三位数，满足，则称这个数为“凤鸣数”．则最小的“凤鸣数”是_____；记，若是整数，且也是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是_____． 【答案】 ①. 300 ②. 333 【解析】 【分析】第一空找最小“凤鸣数”，需让百位数字尽可能小，再确定十位和个位；第二空先根据条件化简整除要求，得到c的可能取值，再结合是6的倍数，找出满足条件的最大和最小M，计算差值即可． 【详解】解：对于三位数 ，a 是百位数字，故，且 a,b,c 均为整数， ∵，即，要使M最小，需a尽可能小， 由得，即，故最小，此时，c最小取 0， 因此最小的“凤鸣数”是 300； 由题意得： 条件1：是整数，故是 6 的倍数； 条件2：，因为，代入得是整数，故 是3的倍数． 由，得，其中3的倍数有9,12,15， 对应得， 找满足条件的最小M： 分别为 4,7,10，都不是6的倍数，不符合； 分别为 5,8,11，都不是6的倍数，不符合； ，是6的倍数，符合条件，故最小满足条件的. 找满足条件的最大M： 分别为 10,13,16，都不是6的倍数，不符合； ，是6的倍数，符合条件，故最大满足条件的. 差值为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 解不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ． 【小问2详解】 解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 将不等式①，②的解集表示在同一数轴上，得 不等式组的解集为：． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：由①②，得，解得． 把代入②，得，解得． 原方程组的解为 【小问2详解】 解：原方程组化简，得 由①③，得，解得．④ 将④代入①，得，解得． 原方程组的解为 20. 在学习了三角形的角平分线后，小凤同学进行了更深入的研究．她发现，三角形两个内角的平分线相交所形成的钝角等于与另一个内角的一半之和，可利用三角形内角和定理进行推理得到此结论．根据她的思路完成以下作图与填空： （1）第一步：构造角平分线． 如图，在中，请你利用尺规作图，作的平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）第二步：利用三角形内角和定理进行推理． 已知，是的角平分线，且相交于点．请说明． 解：是的角平分线， ， ① ． 在中， ② ， 【答案】（1） 图见解析 （2）①；②；③． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行作答即可. 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 解：是的角平分线， ，． 在中，， 21. 已知代数式，，解答下列问题： （1）若，则为何值时，代数式与相等？ （2）若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】（1）的值为8时，这两个代数式的值相等 （2）的值为9 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 解这个方程，得． 答：的值为8时，这两个代数式的值相等． 【小问2详解】 解：解方程，得． 由代数式和的值互为相反数，得：． 将代入上式中，得 ． 解这个方程，得． 答：的值为9． 22. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形外角的性质可得，再结合角平分线的定义可得，根据是的高，可得，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可解答． 【小问1详解】 解：是的中线，， ， 的面积为20，是的高， ， ． 【小问2详解】 解：，且，． ， 是的角平分线， ， ， 是的高， ， ， ． 平分， ， ． 23. 为落实教育部2026年人工智能进中小学部署，推进探究式科学教育、培养学生创新实践能力，某校计划采购甲、乙两类AI科学实验套装，为学生实践探究提供支撑．购买1件甲种实验器材与2件乙种实验器材共需220元，购买2件甲种实验器材与3件乙种实验器材共需370元． （1）求甲种实验器材和乙种实验器材的单价； （2）该校计划购买甲种实验器材和乙种实验器材共150件，总费用不超过11500元，那么最多能购买甲种实验器材多少件？ 【答案】（1）甲种实验器材单价为80元，乙种实验器材单价为70元 （2）最多能购买甲种实验器材100件 【解析】 【分析】（1）设甲种实验器材单价为元，乙种实验器材单价为元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种实验器材件，则购买乙种实验器材件，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种实验器材单价为元，乙种实验器材单价为元，　 根据题意，得：， 解这个方程组，得， 答：甲种实验器材单价为80元，乙种实验器材单价为70元． 【小问2详解】 解：设购买甲种实验器材件，则购买乙种实验器材件， 根据题意，得， 解这个不等式，得． 答：最多能购买甲种实验器材100件． 24. 在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． （1）当时，求线段的长度； （2）当的面积恰好等于的面积的时，求的值； （3）当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】（1）当时，线段的长度为2 （2）的值为或 （3）的取值范围是： 【解析】 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【小问1详解】 解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． 【小问2详解】 解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得． ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ． ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ． 综上所述，的取值范围是：． 25. 在中，点是边上一点，连接，． （1）如图1，点在线段上，连接，若关于直线成轴对称，且，求的度数； （2）如图2，在平面内将沿翻折，得到，连接并延长交的外角，的平分线于点，若，请说明； （3）在（2）的条件下，若，在平面内将绕点顺时针旋转一个角度，得到．在这个旋转过程中，直线与的边所在的直线相交于点．当为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，，再由三角形内角和定理可得，再结合，可得，即可求解； （2）由折叠的性质得，，，垂直平分线段，垂足为点， 设，则，根据平行线的性质可得，结合角平分线的定义，可得，从而得到，在中，可得，再由，可得，即可求解； （3）分两种情况，结合旋转的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵关于直线成轴对称， ∴，，． ， ， 在中，， ∴ ， ， ∴， ∴． 在中，； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得，，，垂直平分线段， 设与交于点， 设， ， ∴， ， ， ， 平分， ， ， 在中，， ， ． 在中，， ， ， 在中，， 即 ， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：由（2）得：，，， 由旋转的性质得： ， ， 如图，当 时，此时 ， ∴ ， 即旋转角的度数为； 如图，当 时，此时 ， ∴ ， ∴ ， 即旋转角的度数为； 综上所述，旋转角的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤鸣山中学教共体学校2025-2026学年度下期 2025级数学学科半期考试试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 为铭记历史传承文化，沙坪坝区将每年的3月30日设立为“沙磁文化日”．下列文字图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的三边长分别是，，．则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把沿射线方向平移，得到．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于，的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式的和为； ②若是关于的方程的解，则必有； ③若时，整式，则关于的不等式的解集是． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是方程的解，则的值为_____． 12. 由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 13. 已知方程，用含的式子表示，则_____． 14. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为__________． 15. 关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 16. 一个三位数，满足，则称这个数为“凤鸣数”．则最小的“凤鸣数”是_____；记，若是整数，且也是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是_____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 解不等式（组）： （1） （2） 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列方程组： （1） （2） 20. 在学习了三角形的角平分线后，小凤同学进行了更深入的研究．她发现，三角形两个内角的平分线相交所形成的钝角等于与另一个内角的一半之和，可利用三角形内角和定理进行推理得到此结论．根据她的思路完成以下作图与填空： （1）第一步：构造角平分线． 如图，在中，请你利用尺规作图，作的平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）第二步：利用三角形内角和定理进行推理． 已知，是的角平分线，且相交于点．请说明． 解：是的角平分线， ， ① ． 在中， ② ， 21. 已知代数式，，解答下列问题： （1）若，则为何值时，代数式与相等？ （2）若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 22. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若平分，，，求的度数． 23. 为落实教育部2026年人工智能进中小学部署，推进探究式科学教育、培养学生创新实践能力，某校计划采购甲、乙两类AI科学实验套装，为学生实践探究提供支撑．购买1件甲种实验器材与2件乙种实验器材共需220元，购买2件甲种实验器材与3件乙种实验器材共需370元． （1）求甲种实验器材和乙种实验器材的单价； （2）该校计划购买甲种实验器材和乙种实验器材共150件，总费用不超过11500元，那么最多能购买甲种实验器材多少件？ 24. 在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． （1）当时，求线段的长度； （2）当的面积恰好等于的面积的时，求的值； （3）当是的高，且时，求的取值范围． 25. 在中，点是边上一点，连接，． （1）如图1，点在线段上，连接，若关于直线成轴对称，且，求的度数； （2）如图2，在平面内将沿翻折，得到，连接并延长交的外角，的平分线于点，若，请说明； （3）在（2）的条件下，若，在平面内将绕点顺时针旋转一个角度，得到．在这个旋转过程中，直线与的边所在的直线相交于点．当为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $